đại, phương trình khuếch đại
Quá trình lan truyền xung laser qua môi trường (khuếch đại hoặc hấp thụ) là một quá trình phức tạp và chịu ảnh hưởng của nhiều tham số [1, 14].
Một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong vật lí laser để nghiên cứu sự tương tác giữa môi trường vật chất với trường bức xạ của xung ánh sáng là phương pháp bán cổ điển (còn gọi là phương pháp bán lượng tử). Theo phương pháp này ta coi trường điện từ như một sóng cổ điển được biểu diễn bằng phương trình Maxwell còn môi trường như một tập hợp các nguyên tử hoặc phân tử với các mức năng lượng rời rạc được mô tả bằng lý thuyết lượng tử.
Theo mô hình bán cổ điển, điện trường E(r,t) của sóng ánh sáng cưỡng bức trong môi trường, các momen lưỡng cực pi theo các quy luật của lý thuyết lượng tử. Các momen này tập hợp thành độ phân cực vĩ mô P(r, t). Độ phân cực này tác động như một số hạng nguồn trong vế phải của phương trình sóng. Điều kiện tự phù hợp đòi hỏi rằng trường đáp ứng E’(r, t) phát sinh bởi sự phân cực phải bằng trường tới E(r,t). Việc mô tả thuận tiện nhất momen lưỡng cực điện cưỡng bức là dựa trên ma trận mật độ chứ không phải phương trình Schrodinger, bởi vì nó thuận tiện cho việc lấy trung bình thống kê trên các momen lưỡng cực để thu được độ phân cực vĩ mô. Với một hệ “nguyên tử” có hai mức năng lượng i và j, ma trận mật độ liên hệ với hàm sóng của “nguyên tử” như sau: 𝜌(𝑡) = [𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑗𝑖 𝜌𝑖𝑗 𝜌𝑗𝑗] = [𝑎𝑎∗ 𝑎∗𝑏 𝑎𝑏∗ 𝑏𝑏∗]
(t) = a(t)i + b(t)j
Như vậy, các yếu tố không chéo của ma trận mật độ liên quan với momen lưỡng cực của nguyên tử còn các yếu tố chéo cho biết xác suất nguyên tử ở trạng thái i hoặc j.
Trong gần đúng bán cổ điển, ta có thể viết các phương trình cơ bản mô tả tương tác vật chất - ánh sáng như sau:
2.1.1. Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝛒(𝐫, 𝐭)
Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝜌(𝑟, 𝑡):
𝑖ℏ𝜕𝜌
𝜕𝑡 = [𝐻, 𝜌] (2.1)
Trong đó, H là Hamiltonian không nhiễu loạn H0 và Hamiltonian tương tác H’:
H = H0 + H’ (2.2)
Hamiltonian không nhiễu loạn theo phương trình 𝐻0|𝑘⟩ = 𝐸𝑘|𝑘⟩, trong đó Ek là năng lượng trạng thái dừng tương ứng với trạng thái |𝑘⟩. Trong gần đúng lưỡng cực, Hamiltonian tương tác là H’ = - E, với là toán tử momen lưỡng cực ( = -er đối với một electron).
Các yếu tố ma trận của các giao hoán tử đối với hai trạng thái |𝑖⟩ và |𝑗⟩ là:
⟨𝑖|[𝐻0, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻0𝜌 − 𝜌𝐻0|𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐸𝑖𝜌 − 𝜌𝐸𝑖|𝑗⟩ = ℏ𝜔𝑖𝑗𝜌𝑖𝑗 ⟨𝑖|[𝐻′, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻′𝜌 − 𝜌𝐻′|𝑗⟩
= ∑ (𝐻𝑘 𝑖𝑘′ 𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝐻𝑘𝑗′ )
= −𝐸 ∑ (𝜇𝑘 𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗)
Thay các biểu thức trên và (2.2) vào (2.1), biến đổi ta thu được hai phương trình đối với các yếu tố chéo của ma trận mật độ:
𝜕𝜌𝑖𝑗 𝜕𝑡 = − (𝑖𝜔𝑖𝑗 + 1 𝑇2) 𝜌𝑖𝑗 + 𝐸 𝑖ℏ∑ (𝜌𝑘 𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗) (2.3a) 𝜕𝜌𝑖𝑖 𝜕𝑡 = −𝜌𝑖𝑖−𝜌𝑖𝑖𝑒 𝑇1 + 𝐸 𝑖ℏ∑ (𝜌𝑘 𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑖) (2.3b) Trong đó, ij là tần số của photon ứng với chuyển dời giữa hai mức T1 và T2 tương ứng là thời gian tắt dần trạng thái kích thích (thời gian hồi phục dọc) và độ phân cực (thời gian phục hồi ngang). Giá trị của T1 và T2 có ảnh hưởng nhiều đến quá trình tương tác giữa trường bức xạ với môi trường.
Bảng 2.1 trình bày các giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học. Trong phương trình (2.3b), 𝜌𝑖𝑖𝑒 là giá trị cân bằng của yếu tố chéo (tức là giá trị chéo của toán tử mật độ cân bằng nhiệt, khi đó tất cả các yếu tố không chéo của ma trận bằng 0).
Bảng 2.1. Giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học [1].
Môi trường T1[s] T2[s]
Nguyên tử được pha tạp trong môi trường rắn 10-3 - 10-6 10-11 - 10-14
Phân tử màu được pha trong dung môi hữu cơ 10-8 - 10-12 10-13 - 10-14
Bán dẫn 10-4 - 10-12 10-12 - 10-14
2.1.2. Độ phân cực vĩ mô của môi trường
Độ phân cực vĩ mô của môi trường được tính bằng tổng của tất cả các momen lưỡng cực riêng lẻ [11, 23]:
P = 1
𝑉∑ 〈𝜇〉𝑖 𝑖 = 𝑁𝑣∑𝑖,𝑘𝜌̅̅̅̅̅̅̅̅𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖 (2.4) Gạch ngang bên trên biểu thị các đại lượng được lấy trung bình theo mật độ Nv. Áp dụng công thức cho giá trị kỳ vọng của một toán tử A, 〈𝐴〉 = 𝑇𝑟(𝜌𝐴), cho biểu thức (2.4) rồi thay vào phương trình (2.3a) ta thu được phương trình cho độ phân cực của môi trường đồng nhất có hai mức năng lượng:
𝑑2𝑃
𝑑𝑡2 + 2
𝑇2.𝑑𝑃
𝑑𝑡 + 𝜔212 𝑃 = 2𝜔21
3ℏ |𝜇12|2(𝑁1− 𝑁2)𝐸 (2.5) Trong đó, N1 - N2 = Nv(𝜌̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅11 − 𝜌22)= - N là hiệu độ tích lũy giữa hai mức trong một đơn vị thể tích, nó tuân theo phương trình (suy ra từ (2.3b)):
𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = 2 ℏ𝜔21 𝜕𝑃 𝜕𝑡𝐸 (2.6)
Thực tế, đây là phương trình cân bằng năng lượng trong đó vế phải chứa sự mất mát năng lượng của trường để làm phân cực môi trường. N0 là hiệu độ tích lũy giữa hai mức khi chưa có trường bức xạ tới.
2.1.3. Phương trình sóng một chiều
Phương trình sóng một chiều đối với điện trường được cưỡng bức bởi độ phân cực P(z,t) là: 𝜕2𝐸 𝜕𝑧2 −1 𝑐 𝜕2𝐸 𝜕𝑡2 = 4𝜋 𝑐2 𝜕2𝑃 𝜕𝑡2 (2.7)
Tuy nhiên, phương trình này đã bị phức tạp một cách không cần thiết đối với đa số trường hợp thực tiễn. Chẳng hạn, ngay cả đối với các xung có độ rộng cỡ vài chục femtô giây, đường bao của xung là một hàm thay đổi chậm so với tần số sóng. Vì vậy, với sóng quang học được phân cực thẳng, khi đó cả điện trường và độ phân cực có thể biểu diễn ở dạng vô hướng:
E =1
2{𝐸 ̃exp[i(0t - k0z) + …] P =1
2{𝑃 ̃exp[i(0t - k0z) + …]
Trong đó k0 = 0/c là số sóng. Thay các biểu thức trên vào phương trình (2.7) ta thu được: 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑧 +1 𝑐 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑡 = −2𝑖𝜋𝑘0𝑃̃ (2.8) Ở đây, ta đã bỏ qua các số hạng 𝜕2𝐸̃ 𝜕𝑧2, 𝜕2𝐸̃ 𝜕𝑡2, 𝜕2𝑃̃
𝜕𝑡2. Cũng trong cùng điều kiện đó các phương trình (2.5) và (2.6) trở thành: 𝜕𝑃̃ 𝜕𝑡 + 𝑃̃ 𝑇2 = 𝑖|𝜇12|2 3ℏ 𝑁𝐸̃ (2.9a) 𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = −1 ℏ𝐼𝑚(𝑃̃𝐸̃∗) (2.9b)
Ở đây, ta đã giả thiết rằng 21 = 0. Điều này có nghĩa tương tác giữa xung ánh sáng với môi trường là tương tác cộng hưởng.
Các phương trình (2.8) và (2.9a), (2.9b) tạo thành hệ phương trình mô tả sự tương tác cộng hưởng giữa trường bức xạ với môi trường hai mức. Nếu 𝑃̃ thay đổi ít trong khoảng thời gian cỡ T2 ta thu được gần đúng phương trình tốc độ, có nghĩa khi độ rộng phổ của tín hiệu là hẹp so với 𝑇2−1. Đối với hệ laser xung điều này có nghĩa là thời gian tắt pha T2 không đáng kể so với độ rộng xung (T2 << t), hay nói cách khác, sự tương tác giữa xung laser với môi trường là không kết hợp. Như vậy bỏ qua 𝜕𝑃̃
𝜕𝑡 trong phương trình (2.9a) ta thu được:
𝑃̃ = 𝑖𝑁|𝜇12|2𝑇2 3ℏ 𝐸̃ (2.10) Phương trình (2.8) và (2.9b) trở thành: 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑧 +1 𝑐 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑡 = −2𝜋𝜔0|𝜇12|2𝑇2 3ℏ𝑐 ∆𝑁𝐸̃ (2.11a)
𝜕
𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0
𝑇1 = −|𝜇12|2𝑇2
3ℏ2 ∆𝑁|𝐸̃|2 (2.11b)
Nhân cả hai vế của (2.11a), (2.11b) với 𝐸̃∗ ta được:
𝜕𝐼 𝜕𝑧+1 𝑐 𝜕𝐼 𝜕𝑡 = 𝜎∆𝑁𝐼 (2.12a) 𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = −2𝜎∆𝑁𝐼 (2.12b)
Trong đó I = (𝑐/8𝜋ℏ𝜔0)|𝐸̃|2[photon.cm-2.s-1] là mật độ thông lượng photon (cường độ bức xạ) và 𝜎 = 4𝜋𝜔0|𝜇12|2𝑇2/3ℏ𝑐 là tiết diện chuyển dời (ở tần số 0). Các phương trình (2.12a), (2.12b) tạo nên hệ phương trình tốc độ đối với hệ hai mức. Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát khi 0 21, hằng số thời gian T2 trong biểu thức sẽ được thay bằng các hàm vạch g(21, 0).
Hệ phương trình tốc độ (2.12a), (2.12b) cho phép mô tả đáp ứng của cả “máy phát” và bộ khuếch đại bức xạ quang học. Mặc dù các phương trình đó mô tả động học của hai mức, cấu trúc đơn giản của nó cho phép tổng quát hóa trong trường hợp cần phải tính đến các mức năng lượng khác.