Hình 2.1. Sự lan truyền xung laser qua môi trường [11].
Xét một môi trường hoạt chất có chiều dài L (từ z = 0 đến z = L) là tập hợp các phân tử có mức năng lượng (Hình 2.1). Các đại lượng được lấy trung bình theo chiều ngang (trục x và y). Môi trường được giả thiết đồng nhất quang học và có nồng độ N. Tổng số phân tử ở trạng thái cơ bản N1 và số phân tử ở trạng thái kích thích N2 được coi là không đổi [1, 14].
Giả sử môi trường được bơm bởi bức xạ có bước sóng p với cường độ Ip, xung laser tín hiệu có bước sóng s truyền qua môi trường với cường độ Is.
Gọi 𝜎𝑒𝑝, 𝜎𝑎𝑝 tương ứng là tiết diện phát xạ và tiết diện hấp thụ của môi trường tại bước sóng bơm p.
Gọi 𝜎𝑒𝑠, 𝜎𝑎𝑠 tương ứng là tiết diện phát xạ và tiết diện hấp thụ của môi trường tại bước sóng tín hiệu s.
𝑣 là tốc độ lan truyền của xung laser trong môi trường.
là thời gian sống của phân tử ở trạng thái kích thích.
Áp dụng các phương trình tốc độ (2.12a), (2.12b) ta viết được phương trình biểu diễn sự truyền xung tín hiệu và xung bơm qua môi trường như sau:
𝜕 𝜕𝑧𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 1 𝑣 𝜕 𝜕𝑡𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) = [𝜎𝑒𝑝𝑁2(𝑧, 𝑡) − 𝜎𝑎𝑝𝑁1(𝑧, 𝑡)]𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) (2.13a) 𝜕 𝜕𝑧𝐼𝑠(𝑧, 𝑡) +1 𝑣 𝜕 𝜕𝑡𝐼𝑠(𝑧, 𝑡) = [𝜎𝑒𝑠𝑁2(𝑧, 𝑡) − 𝜎𝑎𝑠𝑁1(𝑧, 𝑡)]𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)(2.13b) 𝜕 𝜕𝑡𝑁2(𝑧, 𝑡) = 𝑣[𝜎𝑎𝑝𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 𝜎𝑎𝑠𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)]𝑁1(𝑧, 𝑡) −𝑣[𝜎𝑒𝑝𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 𝜎𝑒𝑠𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)]𝑁2(𝑧, 𝑡) −𝑁2(𝑧,𝑡) 𝜏 (2.13c) N = N1(z,t) + N2(z,t) (2.13d) Sử dụng phép biến đổi tọa độ: z’ = z và t’ = t - z/𝑣 với t’ được gọi là thời gian địa phương của xung. Hệ phương trình vi phân (2.13a), (2.13b), (2.13c) trở thành:
𝜕 𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑝 = (𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑁2− 𝜎𝑎𝑝𝑁 (2.14a) 𝜕 𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑠 = (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)𝑁2− 𝜎𝑎𝑠𝑁 (2.14b 𝜕 𝜕𝑡𝑁2 = − 𝑣[(𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝐼𝑝 + (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)𝐼𝑠]𝑁2 +(𝜎𝑎𝑝𝐼𝑝 + 𝜎𝑎𝑠𝐼𝑠)𝑁 −𝑁2 𝑣𝜏 (2.14c)
Từ hai phương trình (2.14a) và (2.14b) ta có:
𝑁2 = 1
𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝(𝜕𝑙𝑛𝐼𝑝
𝜕𝑧′ + 𝜎𝑎𝑝𝑁) = 1
𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠(𝜕𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜕𝑧′ + 𝜎𝑎𝑠𝑁) (2.15) Thay biểu thức (2.15) vào phương trình (2.14c) ta được:
𝜕2𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜕𝑧′𝜕𝑡′ = − 𝜕
𝜕𝑧′[(𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)(𝐼𝑝 + 𝐼𝑠) + 1
𝑣𝜏𝑙𝑛𝐼𝑠] − 1
𝑣𝜏𝜎𝑎𝑠𝑁 (2.16) Lấy tích phân một lớp phương trình (2.16) theo z’ ta được:
𝜕
𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑠 + (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)(𝐼𝑝 + 𝐼𝑠) + 1
𝑣𝜏(𝑙𝑛𝐼𝑠 + 𝜎𝑎𝑠𝑁) = Ψ(𝑡′) (2.17) Trong đó Ψ(𝑡′) là một hàm tùy ý chỉ có biến t’. Tại lối vào của môi trường, z’ = 0, ta có các điều kiện biên 𝐼𝑝(𝑡′, 𝑧′ = 0) = 𝐼𝑝0(𝑡′) và 𝐼𝑠(𝑡′, 𝑧′ = 0) = 𝐼𝑠0(𝑡′). Các đại lượng này chính là cường độ xung bơm và cường độ xung tín hiệu đi vào môi trường. Sử dụng các điều kiện biên này ta có:
Ψ(𝑡′) = 𝜕
𝜕𝑡′𝑙𝑛𝐼𝑠0(𝑡′) + (𝜎𝑒𝑠+ 𝜎𝑎𝑠) (𝐼𝑝0(𝑡′) + 𝐼𝑠0(𝑡′)) + 1
𝑣𝜏𝑙𝑛𝐼𝑠0(𝑡′) (2.18) Lấy tích phân một lớp phương trình (2.15) theo z’ ta được:
𝑙𝑛𝐼𝑝
𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝 − 𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠+ (𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝−𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝)𝑁𝑧′
(𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝)(𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠) = ψ(t′) (2.19) Trong đó ψ(t′) là một hàm tùy ý chỉ có biến t’, nó được xác định bằng cách thay điều kiện biên tại z’ = 0 vào phương trình (2.19):
ψ(t′) = 𝑙𝑛𝐼𝑝0 𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝− 𝑙𝑛𝐼𝑠0 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 Thay vào (2.19) ta có: 𝑙𝑛𝐼𝑝 −(𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑙𝑛𝐼𝑠 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 + (𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝 − 𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝)𝑁𝑧′ 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 = 𝑙𝑛𝐼𝑝0 − (𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑙𝑛𝐼𝑠0 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 Đặt: 𝑘 = 𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝−𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝 𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠 và 𝛾 = 𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝 𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠 Thay vào (2.19) ta có: =>𝑙𝑛𝐼𝑝 − 𝛾𝑙𝑛𝐼𝑠 + 𝑘𝑁𝑧′ = 𝑙𝑛𝐼𝑝0− 𝛾𝑙𝑛𝐼𝑠0 =>𝑙𝑛 𝐼𝑝 𝐼𝑝0 − 𝛾𝑙𝑛 𝐼𝑠 𝐼𝑠0 = −𝑘𝑁𝑧′ =>𝑙𝑛 (𝐼𝑝 𝐼𝑝0(𝐼𝑠0 𝐼𝑠)𝛾) = −𝑘𝑁𝑧′
Do phương trình luôn được thỏa mãn với mọi t’ và z’ nên:
𝐼𝑝 = 𝐼𝑝0(𝑡′)exp (−𝑘𝑁𝑧′) ( 𝐼𝑠
𝐼𝑠0(𝑡′))𝛾 (2.20) Thay (2.20) vào (2.17) và sử dụng (2.18), đánh giá kết quả thu được tại z’= z = L, biến đổi ta được:
dG
dt =v(σes+σas)G[Ip0(t)(1-e-kNLGγ)-Is0(t)(G-1)]-1
Trong đó G = G(t) là độ khuếch đại tại thời điểm t của môi trường:
G(t)=Is(t+
L
v, z=L)
Is0(t)
Phương trình (2.21) là phương trình cơ bản biểu diễn sự trao đổi năng lượng giữa xung bơm và xung tín hiệu. Nó mô tả các đặc điểm chủ yếu của sự khuếch đại xung laser ngắn trong cấu hình bơm dọc.
Nếu tính đến môi trường khuếch đại cần phải được bơm trước khi xung tín hiệu đi vào, ta tính đến sự trễ của xung tín hiệu so với xung bơm, khi đó phương trình (2.21) bổ sung thêm độ trễ t của xung bơm.
dG
dt =v(σes+σas)G[Ip0(t+Δt)(1-e-kNLGγ)-Is0(t)(G-1)]-1
τG[lnG+σasNL] (2.22) Khi xung tín hiệu chưa đi vào môi trường (Is0 = 0), năng lượng của xung bơm được tích lũy trong môi trường. Khả năng khuếch đại của môi trường được đánh giá thông qua độ khuếch đại ban đầu G0:
dG0
dt =v(σes+σas)G0[Ip0(t+Δt)(1-e-kNL𝐺0𝛾)]-1
τG0[lnG0+σasNL] (2.23) Nếu quan tâm đến xác suất Q mà một photon bơm được môi trường hấp thụ sẽ đóng góp vào quá trình khuếch đại tín hiệu thì cần thêm vào (2.23) số hạng Q. Ta thêm Q vào (2.23) mà không thêm vào (2.22) là vì ta giả thiết rằng ASE chỉ xuất hiện trong khoảng thời gian xung tín hiệu không có mặt trong môi trường khuếch đại.
dG0
dt =v(σes+σas)G0[QIp0(t+Δt)(1-e-kNL𝐺0𝛾)]-1
τG0[lnG0+σasNL] (2.24) Khi đó độ khuếch đại ban đầu G0 được tính theo công thức:
G0 = exp[(𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠) ∫ 𝑁0𝐿 2(𝑧′, −∞)𝑑𝑧′ − 𝜎𝑎𝑠𝑁𝐿] (2.25) Trong trường hợp bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua, xung tín hiệu đi nhiều lần qua cùng một thể tích khuếch đại trong thời gian bơm (bơm liên tục). Tín hiệu ra của lần khuếch đại thứ nhất bị suy giảm một phần do mất mát tuyến tính sẽ là tín hiệu vào cho lần khuếch đại thứ hai. Tín hiệu ra ở lần khuếch đại thứ hai lại trở thành tín hiệu vào cho lần khuếch đại thứ ba … Khi tính đến sự mất mát tuyến tính do sự phản xạ không hoàn toàn của các gương, cường độ tín hiệu ở lối vào của lần khuếch đại thứ (n + 1) liên hệ với tín hiệu ra của lần truyền thứ n theo biểu thức:
𝐼𝑠(𝑛+1) = 𝛼𝑚𝐼𝑠(𝑛) (2.26)
Các phương trình (2.22), (2.24), (2.25) cho phép tính toán động học khuếch đại xung laser trong bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua. Cụ thể: Phương trình (2.24) dùng để xác định độ khuếch đại ban đầu; Phương trình (2.22) dùng để tính toán quá trình khuếch đại; Biểu thức (2.26) để liên kết các lần truyền qua liên tiếp.