đại, phương trình khuếch đại
Quá trình lan truyền xung laser qua môi trường (khuếch đại hoặc hấp thụ) là một quá trình phức tạp và chịu ảnh hưởng của nhiều tham số [1, 14].
Một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong vật lí laser để nghiên cứu sự tương tác giữa môi trường vật chất với trường bức xạ của xung ánh sáng là phương pháp bán cổ điển (còn gọi là phương pháp bán lượng tử). Theo phương pháp này ta coi trường điện từ như một sóng cổ điển được biểu diễn bằng phương trình Maxwell còn môi trường như một tập hợp các nguyên tử hoặc phân tử với các mức năng lượng rời rạc được mô tả bằng lý thuyết lượng tử.
Theo mô hình bán cổ điển, điện trường E(r,t) của sóng ánh sáng cưỡng bức trong môi trường, các momen lưỡng cực pi theo các quy luật của lý thuyết lượng tử. Các momen này tập hợp thành độ phân cực vĩ mô P(r, t). Độ phân cực này tác động như một số hạng nguồn trong vế phải của phương trình sóng. Điều kiện tự phù hợp đòi hỏi rằng trường đáp ứng E’(r, t) phát sinh bởi sự phân cực phải bằng trường tới E(r,t). Việc mô tả thuận tiện nhất momen lưỡng cực điện cưỡng bức là dựa trên ma trận mật độ chứ không phải phương trình Schrodinger, bởi vì nó thuận tiện cho việc lấy trung bình thống kê trên các momen lưỡng cực để thu được độ phân cực vĩ mô. Với một hệ “nguyên tử” có hai mức năng lượng i và j, ma trận mật độ liên hệ với hàm sóng của “nguyên tử” như sau: 𝜌(𝑡) = [𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑗𝑖 𝜌𝑖𝑗 𝜌𝑗𝑗] = [𝑎𝑎∗ 𝑎∗𝑏 𝑎𝑏∗ 𝑏𝑏∗]
(t) = a(t)i + b(t)j
Như vậy, các yếu tố không chéo của ma trận mật độ liên quan với momen lưỡng cực của nguyên tử còn các yếu tố chéo cho biết xác suất nguyên tử ở trạng thái i hoặc j.
Trong gần đúng bán cổ điển, ta có thể viết các phương trình cơ bản mô tả tương tác vật chất - ánh sáng như sau:
2.1.1. Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝛒(𝐫, 𝐭)
Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝜌(𝑟, 𝑡):
𝑖ℏ𝜕𝜌
𝜕𝑡 = [𝐻, 𝜌] (2.1)
Trong đó, H là Hamiltonian không nhiễu loạn H0 và Hamiltonian tương tác H’:
H = H0 + H’ (2.2)
Hamiltonian không nhiễu loạn theo phương trình 𝐻0|𝑘⟩ = 𝐸𝑘|𝑘⟩, trong đó Ek là năng lượng trạng thái dừng tương ứng với trạng thái |𝑘⟩. Trong gần đúng lưỡng cực, Hamiltonian tương tác là H’ = - E, với là toán tử momen lưỡng cực ( = -er đối với một electron).
Các yếu tố ma trận của các giao hoán tử đối với hai trạng thái |𝑖⟩ và |𝑗⟩ là:
⟨𝑖|[𝐻0, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻0𝜌 − 𝜌𝐻0|𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐸𝑖𝜌 − 𝜌𝐸𝑖|𝑗⟩ = ℏ𝜔𝑖𝑗𝜌𝑖𝑗 ⟨𝑖|[𝐻′, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻′𝜌 − 𝜌𝐻′|𝑗⟩
= ∑ (𝐻𝑘 𝑖𝑘′ 𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝐻𝑘𝑗′ )
= −𝐸 ∑ (𝜇𝑘 𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗)
Thay các biểu thức trên và (2.2) vào (2.1), biến đổi ta thu được hai phương trình đối với các yếu tố chéo của ma trận mật độ:
𝜕𝜌𝑖𝑗 𝜕𝑡 = − (𝑖𝜔𝑖𝑗 + 1 𝑇2) 𝜌𝑖𝑗 + 𝐸 𝑖ℏ∑ (𝜌𝑘 𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗) (2.3a) 𝜕𝜌𝑖𝑖 𝜕𝑡 = −𝜌𝑖𝑖−𝜌𝑖𝑖𝑒 𝑇1 + 𝐸 𝑖ℏ∑ (𝜌𝑘 𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑖) (2.3b) Trong đó, ij là tần số của photon ứng với chuyển dời giữa hai mức T1 và T2 tương ứng là thời gian tắt dần trạng thái kích thích (thời gian hồi phục dọc) và độ phân cực (thời gian phục hồi ngang). Giá trị của T1 và T2 có ảnh hưởng nhiều đến quá trình tương tác giữa trường bức xạ với môi trường.
Bảng 2.1 trình bày các giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học. Trong phương trình (2.3b), 𝜌𝑖𝑖𝑒 là giá trị cân bằng của yếu tố chéo (tức là giá trị chéo của toán tử mật độ cân bằng nhiệt, khi đó tất cả các yếu tố không chéo của ma trận bằng 0).
Bảng 2.1. Giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học [1].
Môi trường T1[s] T2[s]
Nguyên tử được pha tạp trong môi trường rắn 10-3 - 10-6 10-11 - 10-14
Phân tử màu được pha trong dung môi hữu cơ 10-8 - 10-12 10-13 - 10-14
Bán dẫn 10-4 - 10-12 10-12 - 10-14
2.1.2. Độ phân cực vĩ mô của môi trường
Độ phân cực vĩ mô của môi trường được tính bằng tổng của tất cả các momen lưỡng cực riêng lẻ [11, 23]:
P = 1
𝑉∑ 〈𝜇〉𝑖 𝑖 = 𝑁𝑣∑𝑖,𝑘𝜌̅̅̅̅̅̅̅̅𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖 (2.4) Gạch ngang bên trên biểu thị các đại lượng được lấy trung bình theo mật độ Nv. Áp dụng công thức cho giá trị kỳ vọng của một toán tử A, 〈𝐴〉 = 𝑇𝑟(𝜌𝐴), cho biểu thức (2.4) rồi thay vào phương trình (2.3a) ta thu được phương trình cho độ phân cực của môi trường đồng nhất có hai mức năng lượng:
𝑑2𝑃
𝑑𝑡2 + 2
𝑇2.𝑑𝑃
𝑑𝑡 + 𝜔212 𝑃 = 2𝜔21
3ℏ |𝜇12|2(𝑁1− 𝑁2)𝐸 (2.5) Trong đó, N1 - N2 = Nv(𝜌̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅11 − 𝜌22)= - N là hiệu độ tích lũy giữa hai mức trong một đơn vị thể tích, nó tuân theo phương trình (suy ra từ (2.3b)):
𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = 2 ℏ𝜔21 𝜕𝑃 𝜕𝑡𝐸 (2.6)
Thực tế, đây là phương trình cân bằng năng lượng trong đó vế phải chứa sự mất mát năng lượng của trường để làm phân cực môi trường. N0 là hiệu độ tích lũy giữa hai mức khi chưa có trường bức xạ tới.
2.1.3. Phương trình sóng một chiều
Phương trình sóng một chiều đối với điện trường được cưỡng bức bởi độ phân cực P(z,t) là: 𝜕2𝐸 𝜕𝑧2 −1 𝑐 𝜕2𝐸 𝜕𝑡2 = 4𝜋 𝑐2 𝜕2𝑃 𝜕𝑡2 (2.7)
Tuy nhiên, phương trình này đã bị phức tạp một cách không cần thiết đối với đa số trường hợp thực tiễn. Chẳng hạn, ngay cả đối với các xung có độ rộng cỡ vài chục femtô giây, đường bao của xung là một hàm thay đổi chậm so với tần số sóng. Vì vậy, với sóng quang học được phân cực thẳng, khi đó cả điện trường và độ phân cực có thể biểu diễn ở dạng vô hướng:
E =1
2{𝐸 ̃exp[i(0t - k0z) + …] P =1
2{𝑃 ̃exp[i(0t - k0z) + …]
Trong đó k0 = 0/c là số sóng. Thay các biểu thức trên vào phương trình (2.7) ta thu được: 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑧 +1 𝑐 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑡 = −2𝑖𝜋𝑘0𝑃̃ (2.8) Ở đây, ta đã bỏ qua các số hạng 𝜕2𝐸̃ 𝜕𝑧2, 𝜕2𝐸̃ 𝜕𝑡2, 𝜕2𝑃̃
𝜕𝑡2. Cũng trong cùng điều kiện đó các phương trình (2.5) và (2.6) trở thành: 𝜕𝑃̃ 𝜕𝑡 + 𝑃̃ 𝑇2 = 𝑖|𝜇12|2 3ℏ 𝑁𝐸̃ (2.9a) 𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = −1 ℏ𝐼𝑚(𝑃̃𝐸̃∗) (2.9b)
Ở đây, ta đã giả thiết rằng 21 = 0. Điều này có nghĩa tương tác giữa xung ánh sáng với môi trường là tương tác cộng hưởng.
Các phương trình (2.8) và (2.9a), (2.9b) tạo thành hệ phương trình mô tả sự tương tác cộng hưởng giữa trường bức xạ với môi trường hai mức. Nếu 𝑃̃ thay đổi ít trong khoảng thời gian cỡ T2 ta thu được gần đúng phương trình tốc độ, có nghĩa khi độ rộng phổ của tín hiệu là hẹp so với 𝑇2−1. Đối với hệ laser xung điều này có nghĩa là thời gian tắt pha T2 không đáng kể so với độ rộng xung (T2 << t), hay nói cách khác, sự tương tác giữa xung laser với môi trường là không kết hợp. Như vậy bỏ qua 𝜕𝑃̃
𝜕𝑡 trong phương trình (2.9a) ta thu được:
𝑃̃ = 𝑖𝑁|𝜇12|2𝑇2 3ℏ 𝐸̃ (2.10) Phương trình (2.8) và (2.9b) trở thành: 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑧 +1 𝑐 𝜕𝐸̃ 𝜕𝑡 = −2𝜋𝜔0|𝜇12|2𝑇2 3ℏ𝑐 ∆𝑁𝐸̃ (2.11a)
𝜕
𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0
𝑇1 = −|𝜇12|2𝑇2
3ℏ2 ∆𝑁|𝐸̃|2 (2.11b)
Nhân cả hai vế của (2.11a), (2.11b) với 𝐸̃∗ ta được:
𝜕𝐼 𝜕𝑧+1 𝑐 𝜕𝐼 𝜕𝑡 = 𝜎∆𝑁𝐼 (2.12a) 𝜕 𝜕𝑡∆𝑁 +∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = −2𝜎∆𝑁𝐼 (2.12b)
Trong đó I = (𝑐/8𝜋ℏ𝜔0)|𝐸̃|2[photon.cm-2.s-1] là mật độ thông lượng photon (cường độ bức xạ) và 𝜎 = 4𝜋𝜔0|𝜇12|2𝑇2/3ℏ𝑐 là tiết diện chuyển dời (ở tần số 0). Các phương trình (2.12a), (2.12b) tạo nên hệ phương trình tốc độ đối với hệ hai mức. Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát khi 0 21, hằng số thời gian T2 trong biểu thức sẽ được thay bằng các hàm vạch g(21, 0).
Hệ phương trình tốc độ (2.12a), (2.12b) cho phép mô tả đáp ứng của cả “máy phát” và bộ khuếch đại bức xạ quang học. Mặc dù các phương trình đó mô tả động học của hai mức, cấu trúc đơn giản của nó cho phép tổng quát hóa trong trường hợp cần phải tính đến các mức năng lượng khác.
2.2. Hệ phương trình khuếch đại laser
Hình 2.1. Sự lan truyền xung laser qua môi trường [11].
Xét một môi trường hoạt chất có chiều dài L (từ z = 0 đến z = L) là tập hợp các phân tử có mức năng lượng (Hình 2.1). Các đại lượng được lấy trung bình theo chiều ngang (trục x và y). Môi trường được giả thiết đồng nhất quang học và có nồng độ N. Tổng số phân tử ở trạng thái cơ bản N1 và số phân tử ở trạng thái kích thích N2 được coi là không đổi [1, 14].
Giả sử môi trường được bơm bởi bức xạ có bước sóng p với cường độ Ip, xung laser tín hiệu có bước sóng s truyền qua môi trường với cường độ Is.
Gọi 𝜎𝑒𝑝, 𝜎𝑎𝑝 tương ứng là tiết diện phát xạ và tiết diện hấp thụ của môi trường tại bước sóng bơm p.
Gọi 𝜎𝑒𝑠, 𝜎𝑎𝑠 tương ứng là tiết diện phát xạ và tiết diện hấp thụ của môi trường tại bước sóng tín hiệu s.
𝑣 là tốc độ lan truyền của xung laser trong môi trường.
là thời gian sống của phân tử ở trạng thái kích thích.
Áp dụng các phương trình tốc độ (2.12a), (2.12b) ta viết được phương trình biểu diễn sự truyền xung tín hiệu và xung bơm qua môi trường như sau:
𝜕 𝜕𝑧𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 1 𝑣 𝜕 𝜕𝑡𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) = [𝜎𝑒𝑝𝑁2(𝑧, 𝑡) − 𝜎𝑎𝑝𝑁1(𝑧, 𝑡)]𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) (2.13a) 𝜕 𝜕𝑧𝐼𝑠(𝑧, 𝑡) +1 𝑣 𝜕 𝜕𝑡𝐼𝑠(𝑧, 𝑡) = [𝜎𝑒𝑠𝑁2(𝑧, 𝑡) − 𝜎𝑎𝑠𝑁1(𝑧, 𝑡)]𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)(2.13b) 𝜕 𝜕𝑡𝑁2(𝑧, 𝑡) = 𝑣[𝜎𝑎𝑝𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 𝜎𝑎𝑠𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)]𝑁1(𝑧, 𝑡) −𝑣[𝜎𝑒𝑝𝐼𝑝(𝑧, 𝑡) + 𝜎𝑒𝑠𝐼𝑠(𝑧, 𝑡)]𝑁2(𝑧, 𝑡) −𝑁2(𝑧,𝑡) 𝜏 (2.13c) N = N1(z,t) + N2(z,t) (2.13d) Sử dụng phép biến đổi tọa độ: z’ = z và t’ = t - z/𝑣 với t’ được gọi là thời gian địa phương của xung. Hệ phương trình vi phân (2.13a), (2.13b), (2.13c) trở thành:
𝜕 𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑝 = (𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑁2− 𝜎𝑎𝑝𝑁 (2.14a) 𝜕 𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑠 = (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)𝑁2− 𝜎𝑎𝑠𝑁 (2.14b 𝜕 𝜕𝑡𝑁2 = − 𝑣[(𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝐼𝑝 + (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)𝐼𝑠]𝑁2 +(𝜎𝑎𝑝𝐼𝑝 + 𝜎𝑎𝑠𝐼𝑠)𝑁 −𝑁2 𝑣𝜏 (2.14c)
Từ hai phương trình (2.14a) và (2.14b) ta có:
𝑁2 = 1
𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝(𝜕𝑙𝑛𝐼𝑝
𝜕𝑧′ + 𝜎𝑎𝑝𝑁) = 1
𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠(𝜕𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜕𝑧′ + 𝜎𝑎𝑠𝑁) (2.15) Thay biểu thức (2.15) vào phương trình (2.14c) ta được:
𝜕2𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜕𝑧′𝜕𝑡′ = − 𝜕
𝜕𝑧′[(𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)(𝐼𝑝 + 𝐼𝑠) + 1
𝑣𝜏𝑙𝑛𝐼𝑠] − 1
𝑣𝜏𝜎𝑎𝑠𝑁 (2.16) Lấy tích phân một lớp phương trình (2.16) theo z’ ta được:
𝜕
𝜕𝑧′𝑙𝑛𝐼𝑠 + (𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠)(𝐼𝑝 + 𝐼𝑠) + 1
𝑣𝜏(𝑙𝑛𝐼𝑠 + 𝜎𝑎𝑠𝑁) = Ψ(𝑡′) (2.17) Trong đó Ψ(𝑡′) là một hàm tùy ý chỉ có biến t’. Tại lối vào của môi trường, z’ = 0, ta có các điều kiện biên 𝐼𝑝(𝑡′, 𝑧′ = 0) = 𝐼𝑝0(𝑡′) và 𝐼𝑠(𝑡′, 𝑧′ = 0) = 𝐼𝑠0(𝑡′). Các đại lượng này chính là cường độ xung bơm và cường độ xung tín hiệu đi vào môi trường. Sử dụng các điều kiện biên này ta có:
Ψ(𝑡′) = 𝜕
𝜕𝑡′𝑙𝑛𝐼𝑠0(𝑡′) + (𝜎𝑒𝑠+ 𝜎𝑎𝑠) (𝐼𝑝0(𝑡′) + 𝐼𝑠0(𝑡′)) + 1
𝑣𝜏𝑙𝑛𝐼𝑠0(𝑡′) (2.18) Lấy tích phân một lớp phương trình (2.15) theo z’ ta được:
𝑙𝑛𝐼𝑝
𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝 − 𝑙𝑛𝐼𝑠
𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠+ (𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝−𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝)𝑁𝑧′
(𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝)(𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠) = ψ(t′) (2.19) Trong đó ψ(t′) là một hàm tùy ý chỉ có biến t’, nó được xác định bằng cách thay điều kiện biên tại z’ = 0 vào phương trình (2.19):
ψ(t′) = 𝑙𝑛𝐼𝑝0 𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝− 𝑙𝑛𝐼𝑠0 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 Thay vào (2.19) ta có: 𝑙𝑛𝐼𝑝 −(𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑙𝑛𝐼𝑠 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 + (𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝 − 𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝)𝑁𝑧′ 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 = 𝑙𝑛𝐼𝑝0 − (𝜎𝑒𝑝 + 𝜎𝑎𝑝)𝑙𝑛𝐼𝑠0 𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠 Đặt: 𝑘 = 𝜎𝑒𝑠𝜎𝑎𝑝−𝜎𝑎𝑠𝜎𝑒𝑝 𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠 và 𝛾 = 𝜎𝑒𝑝+𝜎𝑎𝑝 𝜎𝑒𝑠+𝜎𝑎𝑠 Thay vào (2.19) ta có: =>𝑙𝑛𝐼𝑝 − 𝛾𝑙𝑛𝐼𝑠 + 𝑘𝑁𝑧′ = 𝑙𝑛𝐼𝑝0− 𝛾𝑙𝑛𝐼𝑠0 =>𝑙𝑛 𝐼𝑝 𝐼𝑝0 − 𝛾𝑙𝑛 𝐼𝑠 𝐼𝑠0 = −𝑘𝑁𝑧′ =>𝑙𝑛 (𝐼𝑝 𝐼𝑝0(𝐼𝑠0 𝐼𝑠)𝛾) = −𝑘𝑁𝑧′
Do phương trình luôn được thỏa mãn với mọi t’ và z’ nên:
𝐼𝑝 = 𝐼𝑝0(𝑡′)exp (−𝑘𝑁𝑧′) ( 𝐼𝑠
𝐼𝑠0(𝑡′))𝛾 (2.20) Thay (2.20) vào (2.17) và sử dụng (2.18), đánh giá kết quả thu được tại z’= z = L, biến đổi ta được:
dG
dt =v(σes+σas)G[Ip0(t)(1-e-kNLGγ)-Is0(t)(G-1)]-1
Trong đó G = G(t) là độ khuếch đại tại thời điểm t của môi trường:
G(t)=Is(t+
L
v, z=L)
Is0(t)
Phương trình (2.21) là phương trình cơ bản biểu diễn sự trao đổi năng lượng giữa xung bơm và xung tín hiệu. Nó mô tả các đặc điểm chủ yếu của sự khuếch đại xung laser ngắn trong cấu hình bơm dọc.
Nếu tính đến môi trường khuếch đại cần phải được bơm trước khi xung tín hiệu đi vào, ta tính đến sự trễ của xung tín hiệu so với xung bơm, khi đó phương trình (2.21) bổ sung thêm độ trễ t của xung bơm.
dG
dt =v(σes+σas)G[Ip0(t+Δt)(1-e-kNLGγ)-Is0(t)(G-1)]-1
τG[lnG+σasNL] (2.22) Khi xung tín hiệu chưa đi vào môi trường (Is0 = 0), năng lượng của xung bơm được tích lũy trong môi trường. Khả năng khuếch đại của môi trường được đánh giá thông qua độ khuếch đại ban đầu G0:
dG0
dt =v(σes+σas)G0[Ip0(t+Δt)(1-e-kNL𝐺0𝛾)]-1
τG0[lnG0+σasNL] (2.23) Nếu quan tâm đến xác suất Q mà một photon bơm được môi trường hấp thụ sẽ đóng góp vào quá trình khuếch đại tín hiệu thì cần thêm vào (2.23) số hạng Q. Ta thêm Q vào (2.23) mà không thêm vào (2.22) là vì ta giả thiết rằng ASE chỉ xuất hiện trong khoảng thời gian xung tín hiệu không có mặt trong môi trường khuếch đại.
dG0
dt =v(σes+σas)G0[QIp0(t+Δt)(1-e-kNL𝐺0𝛾)]-1
τG0[lnG0+σasNL] (2.24) Khi đó độ khuếch đại ban đầu G0 được tính theo công thức:
G0 = exp[(𝜎𝑒𝑠 + 𝜎𝑎𝑠) ∫ 𝑁0𝐿 2(𝑧′, −∞)𝑑𝑧′ − 𝜎𝑎𝑠𝑁𝐿] (2.25) Trong trường hợp bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua, xung tín hiệu đi nhiều lần qua cùng một thể tích khuếch đại trong thời gian bơm (bơm liên tục). Tín hiệu ra của lần khuếch đại thứ nhất bị suy giảm một phần do mất mát tuyến tính sẽ là tín hiệu vào cho lần khuếch đại thứ hai. Tín hiệu ra ở lần khuếch đại thứ hai lại trở thành tín hiệu vào cho lần khuếch đại thứ ba … Khi tính đến sự mất mát tuyến tính do sự phản xạ không hoàn toàn của các gương, cường độ tín hiệu ở lối vào của lần khuếch đại thứ (n + 1) liên hệ với tín hiệu ra của lần truyền thứ n theo biểu thức:
𝐼𝑠(𝑛+1) = 𝛼𝑚𝐼𝑠(𝑛) (2.26)
Các phương trình (2.22), (2.24), (2.25) cho phép tính toán động học khuếch đại xung laser trong bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua. Cụ thể: Phương trình (2.24) dùng để xác định độ khuếch đại ban đầu; Phương trình (2.22) dùng để tính toán quá trình khuếch đại; Biểu thức (2.26) để liên kết các lần truyền qua liên tiếp.
2.3. Các tham số sử dụng trong mô phỏng tính toán 2.3.1. Xung tín hiệu cần khuếch đại 2.3.1. Xung tín hiệu cần khuếch đại
Xung laser tín hiệu được đưa vào bộ khuếch đại có bước sóng 1064 nm, được phát ra từ hệ laser khóa mode xung ngắn Nd:YVO4 sử dụng gương hấp thụ bão hòa SESAM. Độ rộng xung laser 10 ps, ở tần số lặp lại khoảng 8,8 MHz với công suất trung bình là 300 mW. Chùm laser tín hiệu được chuẩn trực với đường kính tiết diện cỡ 100 m, phù hợp với tiết diện vùng môi trường được bơm. Giả sử xung tín hiệu có dạng Gausian, theo công thức:
𝐼(𝑡) = 𝐼𝑠𝑜exp (−4𝑙𝑛2(𝑡−𝑡𝑜)2
∆𝑡2 ) (2.27) trong đó Iso là cường độ đỉnh xung; t0 là thời gian tại đó cường độ xung đạt cực đại Iso;
t là độ rộng xung tín hiệu.
Để tính phân bố photon trong một xung laser tín hiệu, tôi sử dụng công thức 𝐼𝑠𝑜 = 𝐸𝑜
ℎ𝑓 trong đó Eo là năng lượng đỉnh xung laser; h là hằng số Planck (6,625x10-34 J/s); f là tần số laser. Với công suất trung bình của laser 1064 nm là 300 mW, độ rộng xung 10 ps và tần số lặp lại 8,8 MHz kết quả là Iso=1,87x1013 photon.cm-2.ns-1. Xung laser tín hiệu được trình bày trên Hình 2.2.
Hình 2.2. Xung laser tín hiệu.
Cư ờ ng đ ộ (s ố ph ot on .cm -2 .ns -1 ) Thời gian (ps)
2.3.2. Môi trường khuếch đại
Môi trường khuếch đại được sử dụng là môi trường Nd:YVO4, tinh thể có dạng hình lập phương, kích thước 3x3x3 mm, đã được cắt phù hợp cho việc bơm quang học bằng laser diode, theo cấu hình bơm dọc. Các tham số của môi trường được thể hiện trong Bảng 2.2.
Bảng 2.2. Các tham số của môi trường Nd:YVO4 sử dụng trong hệ khuếch đại laser xung cực ngắn nhiều lần truyền qua [7 ].
Thông số Giá trị
Môi trường khuếch đại Nd:YVO4 (CASIX, Trung Quốc) Chiết suất môi trường 1064 nm: 1,9573 (n0) 2,1652 (ne) 808 nm: 1,9721 (n0) 2,1858 (ne) Thời gian sống huỳnh quang, 90 s
Độ rộng phổ khuếch đại 0,96 nm (257 GHz, 1064 nm) Tiết diện hấp thụ tại bước sóng bơm, 𝜎𝑎𝑝 25.10-20 cm2
Tiết diện phát xạ tại bước sóng bơm, 𝜎𝑒𝑝 25.10-23 cm2
Tiết diện hấp thụ tại bước sóng laser, 𝜎𝑎𝑠 2,5.10-22 cm2 Tiết diện phát xạ tại bước sóng laser, 𝜎𝑒𝑠 2,5.10-19 cm2
Kích thước tinh thể 3x3x3 mm
Mật độ ion Nd3+ trên đơn vị thể tích 1,26.1020 atm.cm3 (Nd: 1%) Xác suất photon bơm góp vào khuếch