Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết đặc trưng của ánh xạ thương-dãy. Chứng minh mối quan hệ giữa ánh xạ thương- dãy với sự bất biến của cs∗-mạng, cs0-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương-dãy.
Định lí 2.4.1 ([8]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục theo dãy và toàn ánh. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.
1) f là ánh xạ thương-dãy;
2) Nếu {yn} là dãy hội tụ trong Y, thì tồn tại dãy {xi} hội tụ trong X
sao cho {f(xi)} là dãy con của {yn};
3) Nếu A⊂ Y, thì ta có
f([f−1(A)]seq) = [A]seq;
4) Nếu A⊂ Y và y ∈ [A]seq, thì
f−1(y)∩ [f−1(A)]seq 6= ∅;
5) Nếu A ⊂ Y và y ∈ [A]seq, thì tồn tại x ∈ f−1(y) sao cho nếu V là lân cận dãy của x, thì
y ∈ [f(V)∩A]seq;
6) Nếu A ⊂ Y và y ∈ [A]seq, thì tồn tại x ∈ f−1(y) sao cho nếu V là lân cận dãy của x, thì f(V)∩ A6= ∅;
7) Với mỗi y ∈ Y, nếu U là lân cận dãy của f−1(y) trong X, thì f(U)
là lân cận dãy của y;
8) Với mỗi y ∈ Y, nếu
f−1(y) ⊂U ⊂ X
Chứng minh. (1) =⇒(2). Theo Định lí 2.3.3.
(2) =⇒(3). Giả sử A ⊂Y, khi đó
• f([f−1(A)]seq) ⊂ [A]seq.
Giả sử y ∈ f([f−1(A)]seq). Khi đó, tồn tại x ∈ [f−1(A)]seq sao cho y = f(x). Suy ra
x ∈ f−1(y)∩[f−1(A)]seq.
Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ f−1(A) hội tụ đến x trong X. Nhờ tính liên tục theo dãy của ánh xạ f ta suy ra {f(xn)} là dãy trong A hội tụ đến f(x) =y trong Y. Như vậy, y ∈ [A]seq, kéo theo
f([f−1(A)]seq) ⊂ [A]seq.
• [A]seq ⊂ f([f−1(A)]seq).
Giả sử y ∈ [A]seq, khi đó tồn tại dãy {yn} ⊂ A hội tụ đến y trong Y. Mặt khác, nhờ (2) ta suy ra rằng tồn tại dãy {xi} trong X hội tụ tới x ∈ X nào đó sao cho {f(xi)} là một dãy con của {yn} trong Y. Bởi vì yn →y trong Y nên f(xi) → y trong Y. Mặt khác, vì f liên tục theo dãy nên f(xi) → f(x) trong Y. Do đó, f(x) = y. Hơn nữa, vì {f(xi)} ⊂ A nên {xi} ∈ f−1(A). Suy ra x ∈ [f−1(A)]seq, kéo theo
y = f(x) ∈ f([f−1(A)]seq). Như vậy, [A]seq ⊂ f([f−1(A)]seq).
(3) =⇒(4). Giả sử rằng với mọi A ⊂ Y, ta có f([f−1(A)]seq) = [A]seq.
Khi đó, nếu y ∈ [A]seq, thì y ∈ f([f−1(A)]seq). Do đó, ta suy ra rằng tồn tại x∈ [f−1(A)]seq sao cho y = f(x). Như vậy,
x ∈ f−1(y)∩[f−1(A)]seq, và (4) thỏa mãn.
(4) =⇒(5). Giả sử rằng A⊂ Y và y ∈ [A]seq. Nhờ (4) ta suy ra f−1(y)∩[f−1(A)]seq 6= ∅.
Ta lấy x ∈ f−1(y) ∩[f−1(A)]seq, kéo theo x ∈ [f−1(A)]seq. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ f−1(A) sao cho xn →x ∈ X. Nếu V là lân cận dãy của x, thì tồn tại m ∈ N sao cho xn ∈ V với mọi n > m. Suy ra
f(xn) ∈ f(V)∩A.
Bởi vì f liên tục theo dãy nên {f(xn)} là dãy hội tụ đến f(x) trong Y. Do đó, ta thu được
y = f(x) ∈ [f(V)∩A]seq.
(5) =⇒ (6). Giả sử rằng (5) thỏa mãn, y ∈ [A]seq và V là lân cận dãy của x. Nhờ (5) ta suy ra
y ∈ [f(V)∩A]seq.
Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ f(V)∩ A sao cho xn → x. Điều này chứng tỏ rằng f(V)∩A 6= ∅.
(6) =⇒ (7). Giả sử rằng y ∈ Y và U là một lân cận dãy của f−1(y) trong X. Nếu f(U) không là lân cận dãy của y, thì
y ∈ Y \(f(U))seq = [Y \f(U)]seq.
Nhờ khẳng định (6) ta suy ra tồn tại x ∈ f−1(y) sao cho nếu V là một lân cận dãy của x, thì
f(V)∩(Y \f(U)) 6= ∅. Bởi vì U là lân cận dãy của x nên ta cũng có
f(U)∩(Y \f(U)) 6= ∅.
Nhờ mâu thuẫn này ta suy ra khẳng định (7) được thỏa mãn.
(7) =⇒ (8). Giả sử rằng (7) thỏa mãn, y ∈ Y và f−1(y) ⊂ U với U là tập mở dãy trong X. Khi đó, U là lân cận dãy của f−1(y). Nhờ (5) ta suy
ra rằng f(U) là lân cận dãy của y trong Y.
(8) =⇒(1). Giả sử rằng khẳng định (8) thỏa mãn và U ⊂Y là tập mở theo dãy. Khi đó, nhờ tính liên tục theo dãy của f là suy ra f−1(U) là tập mở theo dãy trong X. Nếu y ∈ U, thì f−1(y) ⊂ f−1(U).
Bây giờ, ta chứng tỏ rằng U = f(f−1(U)). Thật vậy,
◦ Giả sử y ∈ f(f−1(U)), khi đó tồn tại x ∈ f−1(U) sao cho y = f(x). Như vậy, ta thu được y ∈ U. Bởi thế, f(f−1(U)) ⊂ U.
◦ Giả sử y ∈ U, khi đó vì f là toàn ánh nên tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x). Suy ra
x ∈ f−1(y) ⊂ f−1(U). Do đó, y ∈ f(f−1(U)). Như vậy, U ⊂f(f−1(U)).
Bởi vì f−1(U) là tập mở dãy nên nhờ khẳng định (8) ta suy ra rằng U = f(f−1(U)) là lân cận dãy củay. Do đó, U ⊂ (U)seq, nghĩa làU là tập mở theo dãy trong Y. Điều này chứng tỏ rằngf là ánh xạ thương-dãy. Định lí 2.4.2 ([8]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
1) f là ánh xạ thương-dãy;
2) Nếu B là cs∗-mạng của X, thì f(B) là cs∗-mạng của Y;
3) Nếu B là cs0-mạng của X, thì f(B) là cs0-mạng của Y;
4) Nếu B là wsn-mạng của X, thì f(B) là cs0-mạng của Y.
Chứng minh. (1) =⇒(2). Giả sử f là ánh xạ thương-dãy vàB làcs∗-mạng của X. Khi đó, nếu y ∈ U ∈ τY và {yn} là dãy hội tụ đến y trong Y, thì theo Định lí 2.4.1, tồn tại dãy hội tụ {xi} trong X sao cho {f(xi)} là dãy con của {yn}. Giả sử rằng {xi} hội tụ đến x. Khi đó,
Bởi vì B là cs∗-mạng của X nên tồn tại B ∈ B và dãy con {xik} của {xi}
sao cho
{x} ∪ {xik : k ∈ N} ⊂ B ⊂f−1(U). Khi đó, ta suy ra rằng
{y} ∪ {f(xik) : k ∈ N} ⊂ f(B) ⊂ U. Điều này chứng tỏ rằng f(P) là cs∗-mạng của Y.
(1) =⇒(3). Chứng minh tương tự (1) =⇒ (2).
(2) =⇒(4) và (3) =⇒(4). Hiển nhiên.
(4) =⇒ (1). Giả sử rằng f không là ánh xạ thương-dãy. Khi đó, nhờ Định lí 2.4.1 (4) ta suy ra tồn tại A ⊂ Y và y ∈ [A]seq sao cho
f−1(y)∩[f−1(A)]seq = ∅. (2.3) Bây giờ, với mỗi x ∈ X ta đặt
Bx = n U \f−1(y) : U là một lân cận mở của xo, f(x) 6= y, n U \f−1(A) : U là một lân cận mở của xo, f(x) =y, và đặt B = S
x∈X Bx. Khi đó, B là wsn-mạng của X. Thật vậy, giả sử x ∈ U ∈ τX. Khi đó,
• Nếuf(x) 6= y, thì U\f−1(y) ∈ Bx. Bởi vì f là ánh xạ liên tục và {y}
đóng trong Y nên f−1(y) là tập đóng trong X. Mặt khác, vì U ∈ τ nên U \f−1(U) ∈ τ. Hơn nữa, vì f(x) 6= y nên x /∈ f−1(y), kéo theo x ∈ U \f−1(y). Như vậy, U là lân cận mở của x trong X. Do đó, nếu ta đặt B = U \f−1(y), thì B ∈ Bx, B là lân cận dãy của x và B ⊂ U.
• Nếu f(x) = y, thì theo Bổ đề 2.1.8, ta có
Do đó, X \f−1(A) là lân cận dãy của x. Bởi vì x ∈ U ∈ τ và U \f−1(A) = U ∩(X \f−1(A))
nên ta suy ra U \ f−1(A) ∈ Bx là lân cận dãy của x. Nếu ta đặt B = U \f−1(A), thì B là lân cận dãy của x và B ⊂ U.
Như vậy, B là wsn-mạng của X.
Bởi vì khẳng định (4) thỏa mãn nên ta suy ra rằng f(B) là cs0-mạng của Y. Nếu y ∈ A, thì f−1(y) ⊂ f−1(A). Ta lấy x ∈ f−1(y) và xn = x với mọi n∈ N, khi đó {xn}là dãy trong f−1(A) hội tụ đến x. Điều này chứng tỏ rằng x∈ [f−1(A)]seq, kéo theo
x ∈ f−1(y)∩[f−1(A)]seq.
Điều này mâu thuẫn với (2.3). Như vậy, y /∈ A, kéo theo y ∈ [A]seq \A.
Do đó, tồn tại dãy{yn} ⊂ Ahội tụ đếny trongY. Bởi vì f(P) làcs0-mạng của Y nên tồn tại B ∈ B và yn ∈ A\ {y} sao cho {y, yn} ⊂ f(B). Bởi vì y ∈ f(B) nên ta suy ra
B ∩f−1(y) 6= ∅.
Do đó, tồn tại x ∈ B ∩ f−1(y), kéo theo y = f(x). Nhở cách đặt Bx ta suy ra tồn tại lân cận mở U của x sao cho B = U \ f−1(A), kéo theo B ⊂ X \f−1(A). Do đó,
yn ∈ f(B)∩A = ∅.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng f là một ánh xạ thương-dãy.
Định lí 2.4.3 ([8]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ thương-dãy và liên tục. Khi đó, nếu P là cs∗-mạng của X, thì f(P) là cs∗-mạng của Y.
Chứng minh. Giả sử y ∈ V ∈ σ, và {yn} là dãy hội tụ đến y trong Y. Khi đó, vì f là ánh xạ thương-dãy nên theo Định lí 2.3.3 ta suy ra tồn tại dãy
{xi} hội tụ đến x trong X sao cho xi ∈ f−1(yni) với mọi i ∈ N. Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục nênf−1(V) ∈ τ. Hơn nữa, vì P là cs∗-mạng của X nên tồn tại dãy con {xik} của {xi} sao cho
{x}S
{xik : k ∈ N} ⊂ P ⊂ f−1(V).
Bởi vì f là ánh xạ liên tục nên y = f(x). Do đó, ta thu được
{y}S
{ynik : k ∈ N} ⊂ P ⊂ f−1(V).
KẾT LUẬN
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu về ánh xạ thương-dãy trong không gian topo, luận văn đã đạt được những kết quả như sau.
• Trình bày lại một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết một số kết quả của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn.
• Trình bày và chứng minh chi tiết về một số tính chất mạng và mối quan hệ giữa chúng.
• Trình bày và chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền-dãy, ánh xạ thương-dãy.
• Chứng minh chi tiết đặc trưng của ánh xạ thương-dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương-dãy với sự bất biến của cs∗-mạng, cs0-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương-dãy.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] T. V. An, L. Q. Tuyen (2011), On an affirmative answer to S. Lin’s problem, Topology and its Applications, 158, 1567–1570.
[2] A. V. Arhangel’skii (1963), Some types of factor mappings and the re- lations between classes of topological spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 153 (1963) 743–746.
[3] R. J. Boone, F. Siwiec (1976), Sequentially quotient mappings, Czechoslov. Math. J. 26, 174–182.
[4] R. Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin. [5] Y. Ikeda, C. Liu, Y. Tanaka (2002),Quotient compact images of metric
spaces, and related matters, Topology and its Applications, 122 (1–2), 237–252.
[6] S. Lin, Z. Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings, At- lantis Press.
[7] S. Lin (2007), Some problems on generalized metrizable spaces, in: E. Pearl (Ed.), Open Problems in Topology II, 2007, pp. 731–736.
[8] S. Lin, X. Liu (2020),Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications, 272, 107090.
TRUO'NG E)~I HQC su· PH~M
S6:~/QD-DHSP Da N[mg, ngiry do thitng "f nam 2020
QUYETf>lNH
V~ vi~c giao d~ tai va trach nhi~m hrr6'ng din lu~n van th:;ac si HIEU TRUONG TRUONG DAI HOC SU PHAM . . . . -J>Hf>N
Ciin cu Nghi dfnh sb 32/CP ngay 04/4/1994 ci1a Chinh phu vJ vi¢c thimh /qp Dqi h9c Da Nang;
Ciin cfr Quydt afnh sb 6950/QD-DHDN ngay OJ/1212014 ciia Giam dbc Dqi h9c Da Nang ban hanh Quy afnh nhi¢m Wt, quyJn hc;m ciia Dqi h9c Di1 Nang, eek C<Y SCI giao d1,1c &;ii h9c thanh vien va cac dcm vi trtrc tlnujc;
Ciin czr Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT ngay 15/5/2014 cua B9 Giao due va -Dao ((JO vJ vifc ban hanh Quy chi Dao f{JO trinh d9 thqc sl;
Ciin CU' Quydt afnh 1060/QD-DHSP ngay 01/11/2016 cita Hifu trucrng Tririmg Dqi h9c Stl' phqm -DHDN vJ vifc ban hanh Quy afnh dao tqo trivln1<5 thc;1c sl;
Xet aJ nghi cua 6ng Tru&ng phong Phong Dao tqo.
QUYETDlNH:
f>i~u 1: Giao cho h9c vien Le Thi Di~p, nganh Toan giai tich, lap K37.TGT
thµc hi~n d~ tai lu~n van Tinh chit cua anh x:;a thrrO'ng-day, du6'i sµ hu6'ng dfrn cua TS. Lu-O"ng Quiic Tuy~n, Tnrimg f>:;ai hQc Srr ph:;am -f>:;ai hQc f>a Ning.
f>i~u 2: H9c vien va nguoi hu6'ng dfrn c6 ten a Di~u 1 duqc huang cac quy~n lqi va thµc hi~n nhi~m V\l dung theo Quy ch€ dao t~o trinh d(> th~c sT do BQ Giao dvc va Dao t~o ban hanh va Quy dinh v~ dao t~o trinh d(> th~c sT cua Truong D~i hQc
Su ph~m - D~i hQc Da N~ng.
Di~~ 3: Thu truang ~ac don vi lien q_uan; nguoi hu6'ng dfrn lu~n van va h9c vien c6 ten o Dieu l can ctr Quyet dinh thi han~
Nui 11/1011:
- Nlur Di~u 3 (d~ tlwc hi~n);
HltU TRUONG
- BGH (d~ bi~t);
- Luu: VT, OT.~
PGS.TS. LUU TRANG
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Tính chất của ánh xạ thương-dãy
2. Ngành: Toán giải tích Lớp K37.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2049 /QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI
ĐỒNG
1. TS. Lê Hải Trung Chủ tịch 2. TS. Tôn Thất Tú Thư ký 3. TS. Phạm Quý Mười Phản biện 1 4. PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2 5. PGS.TS. Nguyễn Thành Chung Ủy viên a. Thành viên có mặt: 05 b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
Luận văn đạt yêu cầu, đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết quả bảo vệ và cấp bằng thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích cho học viên.
- Các thuật ngữ Việt hoá cần dùng thống nhất, xem lại lời giải trang 11, ở bổ đề 1.1.10 phát biểu “và đẳng thức không xảy ra” là không chính xác.
- Chỉnh sửa theo góp ý của hội đồng. Đặc biệt theo ý kiến của hai phản biện. c) Các ý kiến khác:
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.7 Bằng chữ: Tám phẩy bảy 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
TS. Tôn Thất Tú
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
=====&&&=====
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện)
Đề tài: Tính chất của ánh xạ thương - dãy
Chuyên ngành: Toán giải tích . Mã ngành: 8.46.01.02 Họ và tên học viên: Lê Thị Diệp
Người nhận xét: Phạm Quý Mười
Đơn vị công tác: Trường ĐH Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.
NỘI DUNG NHẬN XÉT
I. Tính cấp thiết của đề tài
Năm 1976, R.J. Boone và F. Siwiec đã đưa ra khái niệm ánh xạ thương dãy. Đây là một khái niệm mở rộng của ánh xạ thương trong không gian topo. Sử dụng khái niệm này cùng với khái niệm liên tục theo dãy, các tác giả đã chứng minh được nhiều kết quả cho ánh xạ thương dãy và ánh xạ liên tục theo dãy. Các kết quả này tương tự như các đặc trưng của ánh xạ thương và ánh xạ liên tục. Sau đó, nhiều tác giả khác nhau tiếp tục nghiên cứu các đặc trưng của ánh xạ thương dãy cho các không gian với các tính chất khác nhau và đạt được nhiều kết quả thú vị, có khả năng ứng dụng trong các bài toán khoa học kĩ thuật. Chính vì vậy, học viên đã lựa chọn để nghiên cứu lĩnh vực này là khá phù hợp.
II. Cơ sở khoa học và thực tiễn
Các kết quả trong luận văn được chứng minh chặt chẽ hoặc được trích dẫn rõ ràng; các ví dụ được chọn lọc và trình bày phù hợp với từng nội dung nghiên cứu và các lĩnh vực ứng dụng cụ thể. Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học và thực tiễn.
III. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa trên các kết quả đã được chứng minh chặt chẽ trong toán học giải tích. Trên cơ sở đó, tác giả phân loại, sắp xếp và trình bày các kết quả chính liên quan đến nội dung nghiên cứu và trình bày chứng minh chi tiết, rõ ràng các kết quả này, kèm theo các ví dụ minh họa.
IV. Kết quả nghiên cứu
Luận văn có độ dài 52 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Phần nội dung, luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Tác giả trình bày lí thuyết cơ bản về không gian Topo. Ở đây, học viên giới thiệu về không gian topo, các khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phần trong và bao đóng cùng với các tính chất của chúng; Luận văn cũng giới thiệu một số tiên đề tách, không gian compact và ánh xạ liên tục cùng với một số tính chất cơ bản của chúng.
Chương 2: Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, học viên tập trung trình bày một số tính chất mạng trên không gian topo và tính chất của ánh xạ liên tục theo dãy. Trên cơ sở