Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết về một số tính chất mạng và mối quan hệ giữa chúng.
Định nghĩa 2.1.1 ([4]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, 1) Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến x trong X nếu với mọi lân cận U
của x, tồn tại m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ m} ⊂ U.
2) U là được gọi là mộtlân cận dãy của x trongX nếu với mọi dãy {xn}
hội tụ đến x trong X, tồn tại m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ m} ⊂ U.
3) U được gọi là lân cận dãy của A trong X nếu U là lân cận dãy của mọi điểm của A.
4) U được gọi là tập mở theo dãy nếu U là lân cận dãy của mọi điểm thuộc nó.
5) U được gọi là tập đóng theo dãy nếu X \U là tập mở theo dãy. Bổ đề 2.1.2 ([4]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
1) Giao hữu hạn các lân cận dãy của x trong X cũng là một lân cận dãy của x trong X;
2) Mỗi lân cận của x trong X là lân cận dãy của x trong X;
3) Mỗi tập mở trong X là tập mở theo dãy trong X;
4) Mỗi tập đóng trong X là tập đóng theo dãy trong X.
Chứng minh. Giả sửU1, . . . , Un là các lân cận dãy củaxtrongX. Ta chứng minh rằng T
i≤nUi cũng là lân cận dãy của x trong X. Thật vậy, giả sử rằng {xk} là dãy hội tụ đến x trong X. Khi đó, vì Ui là lân cận dãy của x trong X với mọi i ≤ n nên với mỗi i ≤ n, tồn tại mi ∈ N sao cho
Do đó, nếu ta đặt m = max{mi : i ≤ n} ta suy ra
{x} ∪ {xk : k ≥m} ⊂ \
i≤n Ui.
Như vậy, T
i≤nUi là một lân cận dãy của x, và khẳng định (1) thỏa mãn. Từ định nghĩa của dãy hội tụ ta suy ra rằng khẳng định (2) và (3) là đúng. Bây giờ, ta chứng minh khẳng định (4).
Giả sử F là tập đóng trong X. Khi đó, X \F ∈ τ. Nhờ khẳng định (3) ta suy ra rằng X\F là tập mở theo dãy trongX. Do đó, F = X\(X\F) là tập đóng theo dãy trong X.
Định nghĩa 2.1.3 ([8]). Giả sử P một là họ nào đó gồm các tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó,
1) P được gọi là mạng của X nếu với mỗi x ∈ U ∈ τ, tồn tại P ∈ P
sao cho x ∈ P ⊂ U.
2) P được gọi là wsn-mạng của X nếu với mỗi x ∈ U ∈ τ, tồn tại lân cận dãy P ∈ P của x sao cho P ⊂U;
3) P là cs∗-mạng củaX nếu với mỗi x ∈ U ∈ τ và với mọi dãy{xn} hội tụ đến x trong X, tồn tại P ∈ P và dãy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
4) P được gọi là cs0-mạng của X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ đến x ∈ U ∈ τ, tồn tại P ∈ P và m ∈ N sao cho
{x, xm} ⊂ P ⊂ U.
5) P được gọi là cn-mạng của X nếu với mỗi lân cận U của x trong X, tập hợp S
{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U} là lân cận của x.
Chứng minh. (1) Giả sử B là cơ sở của X. Khi đó, với mỗi x ∈ U ∈ τ, tồn tại B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂U. Bởi vì mỗi lân cận là lân cận dãy nên B là lân cận dãy của x. Do đó, B là wsn-mạng của X.
(2) Giả sử P là wsn-mạng củaX,x ∈ U ∈ τ và {xn}là dãy hội tụ đến x trong X. Khi đó, vì P là wsn-mạng nên tồn tại P ∈ P sao cho P ⊂ U và P là lân cận dãy của x. Mặt khác, vì P là lân cận dãy của x và {xn}
hội tụ đến x nên tồn tại m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n ≥m} ⊂ P ⊂U.
Hơn nữa, vì{xn : n ≥m}là dãy con của{xn}nên ta suy ra P làcs∗-mạng của X.
(3) Giả sử P là cs∗-mạng của X, {xn} là dãy hội tụ đến x ∈ U ∈ τ. Khi đó, tồn tại P ∈ P và dãy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U. Do đó, nếu ta lấy i0 ∈ N, thì ta có
{x, xni
0} ⊂ P ⊂U, và P là cs0-mạng của X.
(4) Giả sử P là cs0-mạng của X. Khi đó, nhờ Định nghĩa 2.1.3 ta suy ra P là mạng của X.
Định nghĩa 2.1.5 ([8]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo, A ⊂ X. Khi đó, ta ký hiệu
(A)seq = {x ∈ X : A là lân cận dãy của x trong X}; [A]seq = {x ∈ X : tồn tại dãy trong A hội tụ đến x trong X}. Bổ đề 2.1.6 ([8]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo và A ⊂ X. Khi đó,
Chứng minh. Ta có
1) Ao ⊂ (A)seq. Giả sử x ∈ Ao, khi đó A là lân cận của x. Như vậy, A là lân cận dãy của x, và x ∈ (A)seq.
2) Giả sử x ∈ (A)seq, khi đó A là lân cận dãy của x, kéo theo x ∈ A. Như vậy, (A)seq ⊂A.
3) Giả sử x ∈ A, khi đó với mọi n ∈ N, ta lấy xn = x. Rõ ràng rằng
{xn} là dãy nằm trong A hội tụ đến x. Như vậy, x ∈ [A]seq, do đó A⊂ [A]seq.
4) Giả sử x ∈ [A]seq, lúc này tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn → x. Do đó, với mọi lân cận V của x, {xn} từ lúc nào đó nằm trong V. Suy ra V ∩ A6= ∅. Như vậy, x ∈ A.
Do vậy, bổ đề được chứng minh.
Nhận xét 2.1.7. Giả sử(X, τ)là một không gian topo. Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
1) U là lân cận dãy của A khi và chỉ khi A ⊂(U)seq;
2) U là tập mở theo dãy trong X khi và chỉ khi U ⊂ (U)seq.
Bổ đề 2.1.8 ([8]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo và A ⊂ X. Khi đó,
[A]seq = X \(X \A)seq.
Chứng minh. Rõ ràng rằng x ∈ [A]seq khi và chỉ khi tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn → x, khi và chỉ khi X \A không là lân cận dãy của x, khi và chỉ khi x /∈ (X \A)seq, khi và chỉ khi
x ∈ X \(X \A)seq. Do đó, [A]seq = X \(X \A)seq.
Định lí 2.1.9 ([8]). Giả sử P là họ nào đó gồm các tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó, P là cs0-mạng của X khi và chỉ khi với mỗi lân cận mở U của x, ta có
x ∈ (S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂U})seq.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử rằng P là cs0-mạng của X và U là một lân cận mở của x trong X. Ta đặt
V = {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}.
Khi đó, x ∈ ∩V và SV ⊂ U. Ta chứng minh rằng SV là lân cận dãy của x trong X. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng S
V không là lân cận dãy của x trong X. Khi đó, tồn tại dãy {xn}hội tụ đến x trong X sao cho với mọi n ∈ N, tồn tại in ∈ N sao cho in > n và xin ∈/ S
V. Bởi vì {xin : n ∈ N}
là dãy hội tụ đến x trong X và P là cs0-mạng của X nên tồn tại m ∈ N
và P ∈ P sao cho
{x, xim} ⊂ P ⊂U. Do đó, xim ∈ P ⊂S
V, đây là một mâu thuẫn. Như vậy, ta có x ∈ (S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂U})seq.
Điều kiện đủ. Giả sử với mọi lân cận mở U của x trong X, ta đều có x ∈ (S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂U})seq.
Ta chứng minh P là cs0-mạng của X.
Thật vậy, giả sử {xn} là dãy hội tụ đến x ∈ V ∈ τ. Theo giả thiết điều kiện đủ S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ V} là lân cận dãy của x. Do đó, tồn tại m ∈ N sao cho
{x}S
{xn : n≥ m} ⊂ S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ V}.
Ta lấy n ≥m, khi đó tồn tại P ∈ P sao cho xn ∈ P. Do đó,
và P là cs0-mạng của X.
Định nghĩa 2.1.10 ([4]). Cho (X, τ) là một không gian topo và A⊂ X. Ta nói A tụ tại điểm x hay x là điểm tụ của A nếu với mọi lân cận của x chứa vô hạn phần tử của A.
Nhận xét 2.1.11 ([4]). Giả sử (X, τ) là T1-không gian. Khi đó, x ∈ X là điểm tụ của A khi và chỉ khi x ∈ A\ {x}.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử x là điểm tụ của A và U là lân cận bất kỳ của x. Suy ra U chứa vô hạn phần tử của A, do đó U chứa vô hạn phần tử của tập A\ {x}. Như vậy,
U ∩(A\ {x}) 6= ∅. Điều này kéo theo rằng x ∈ A\ {x}.
Điều kiện đủ. Giả sử x ∈ A\ {x} và U là lân cận mở của x. Ta chứng minh rằng U chứa vô hạn phần tử của A. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng U chứa hữu hạn phần tử của A, giả sử rằng
U ∩(A\ {x}) = {x1, . . . , xn}.
Bởi vì X là T1-không gian nên {x1, . . . , xn} đóng trong X. Do đó, V = U \ {x1, . . . , xn}
là lân cận mở của x và
V ∩(A\ {x}) = ∅. Điều này mâu thuẫn với x ∈ A\ {x}.
Định lí 2.1.12 ([8]). Giả sử P là họ nào đó gồm các tập con của (X, τ). Khi đó, P là cn-mạng của X khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau.
2) Nếu A ⊂ X, x là điểm tụ của A và U là lân cận của x, thì tồn tại
P ∈ P và z ∈ A\ {x} sao cho {x, z} ⊂ P ⊂ U.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử P là một cn-mạng của X. Khi đó, (1) P là mạng của X.
Giả sử x ∈ W ∈ τ, khi đó tập hợp S{P ∈ P :x ∈ P ⊂ W} là lân cận của x nên x ∈ S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ W}. Suy ra tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂W. Điều này chứng tỏ rằng P là mạng của X.
(2) Giả sử A ⊂ X, x là điểm tụ của A và U là lân cận của x. Bởi vì S
{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U} là lân cận của x và x∈ A\ {x} nên tồn tại
z ∈ A\ {x} ∩S
{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U}.
Do đó, tồn tại z ∈ A\ {x} và P ∈ P sao cho {x, z} ⊂ P ⊂U.
Điều kiện đủ. Giả sử P thỏa mãn (1) và (2). Ta chứng minh rằng P là một cn-mạng của X.
Thật vậy, giả sử U là một lân cận của x trong X, và đặt
V = S
{P ∈ P : x∈ P ⊂ U}.
Khi đó, nếu V không là lân cận của x, thì với mọi lân cận mở W của x ta đều có W 6⊂ V, kéo theo W ∩ (X \V) 6= ∅, do đó x ∈ X \V. Bởi vì x ∈ V nên x /∈ X \V, kéo theo
(X \V)\ {x} = X \V. Bởi thế, ta suy ra rằng
X \V = (X \V)\ {x}.
Nhờ điều kiện đủ ta suy ra rằng tồn tại P ∈ P và z ∈ X \V sao cho
{x, z} ⊂ P ⊂ U.
Bởi vì z ∈ P ⊂ U nên z ∈ P ⊂ V. Điều này mâu thuẫn với z /∈ V. Như vậy, P là cn-mạng của X.
Định nghĩa 2.1.13 ([4]). Không gian topo (X, τ) được gọi là không gian
Fréchet-Urysohn nếu với mọi A ⊂ X và x ∈ A, tồn tại dãy {xn} ⊂ A hội tụ đến x trong X.
Nhận xét 2.1.14 ([4]). Mỗi không gian metric là một không gian Fréchet- Urysohn.
Định lí 2.1.15 ([8]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
1) Mỗi cn-mạng của X là cs0-mạng của X;
2) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn. Khi đó, mỗi cs0-mạng của
X là cn-mạng của X.
Chứng minh. (1) Giả sử P là cn-mạng của X, {xn} là dãy hội tụ đến x ∈ U ∈ τ trong X. Khi đó, vì P là cn-mạng nên
S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}
là lân cận của x trong X. Do đó, tồn tại m ∈ N sao cho
{x}S
{xn : n ≥m} ⊂ S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂U}.
Ta lấy n ≥m, khi đó tồn tại P ∈ P sao cho
{x, xn} ∈ P ⊂U. Như vậy, P là cs0-mạng của X.
(2) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn, và P là cs0-mạng của X. Khi đó, với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận mở U của x trong X, ta đặt
V = S
{P ∈ P : x∈ P ⊂ U}.
Ta chỉ cần chứng minh rằng x ∈ IntV. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x /∈ IntV. Khi đó, x /∈ X\X \V, kéo theo x ∈ X \V. Bởi vì X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ X \V hội tụ đến x trong X. Mặt khác, vì P là cs0-mạng của x nên tồn tại P ∈ P vàm ∈ N sao cho
{x, xm} ⊂ P ⊂ U.
Bởi vì x ∈ P ⊂ U nên P ⊂ V, kéo theo P ∩(X \V) = ∅. Điều này mâu thuẫn với
xm ∈ P ∩(X \V).
Như vậy, V là lân cận của x trong X. Do đó, P là cn-mạng của X.