Định nghĩa 1.4.1. Giả sử (X, τ) là không gian topo. Khi đó,
1) (X, τ) được gọi là T0-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại V ∈ τ chứa đúng một trong hai điểm này.
2) (X, τ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại lân cận mở U của x sao cho y /∈ X.
3) (X, τ) được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu với hai điểm phân biệt được tách bởi tập mở.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử (X, τ) là không gian topo, F ⊂ X. Khi đó,
τF = {V ∩F : V ∈ τ} là một topo trên F.
(1) Bởi vì τ là một topo nên ∅, X ∈ τ. Do đó,
∅ = ∅ ∩F ∈ τF, F = X ∩F ∈ τF.
(2) Giả sử {Wi}i∈I ⊂ τF. Khi đó, tồn tại {Vi}i∈I ⊂ τ sao cho
Wi = Vi ∩F với mọi i ∈ I. Bởi vì {Vi} ⊂ τ nên S i∈I Vi ∈ τ. Do đó, [ i∈I Wi = [ i∈I (Vi ∩F) = [ i∈I Vi ∩F ∈ τF.
(3) Giả sử A, B ∈ τF. Khi đó, tồn tại U, V ∈ τ sao cho A = U ∩ F, B = V ∩F. Do đó,
A∩B = (U ∩F)∩ (V ∩F) = (U ∩V)∩F. Bởi vì U ∩V ∈ τ nên A∩B ∈ τF.
Định nghĩa 1.4.3. Giả sử (X, τ) là không gian topo, F ⊂X,{xn} ⊂ X. Khi đó,
1) (F, τF) được gọi là không gian con của (X, τ);
2) {xn} được gọi là hội tụ đến x0 trong X nếu với mọi lân cận V của x0, tồn tại N ∈ N∗ sao cho
{x0} ∪ {xn : n≥ N} ⊂ V.
Nhận xét 1.4.4. Giả sử (F, τF) là không gian con của (X, τ), U ⊂ F và
{xn} ⊂ F. Khi đó,
1) U mở trong (F, τF) ⇐⇒ tồn tại V mở trong X sao cho U = F ∩V; 2) U là lân cận của x trong F ⇐⇒ tồn tại lân cận V của x trong X sao
3) xn → x trong F ⇐⇒ xn →x trong X.
Chứng minh. (1) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
(2) Điều kiện cần. Giả sử U là lân cận của x trong F. Khi đó, tồn tại W ∈ τF sao cho x ∈ W ⊂ U. Bởi vì W ∈ τF nên tồn tại A ∈ τ sao cho W = F ∩A. Đặt V = U ∪(X \F), ta thu được
• x ∈ A = (A∩F)∪A∩(X\F) ⊂ W∪(X\F) ⊂ U∪(X\F) = V.
• V ∩ F = U ∪(X \F)∩F = (U ∩F)∪ [(X \F)∩F] = U.
Điều kiện đủ.Giả sử tồn tại lân cậnV củaxtrongX sao choU = F∩V. Khi đó, vì V là lân cận của x nên tồn tại A ∈ τ sao cho x ∈ A ⊂ V. Ta có A∩F ∈ τF và
x ∈ A∩F ⊂ V ∩F = U. Như vậy, U là lân cận của x trong F.
(3) Giả sử {xn} ⊂ F, khi đó
• Giả sử xn →x trong F, U là lân cận của x trong X.Khi đó, U∩F là lân cận của x trong F. Bởi vì xn →x trong F nên tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U ∩F ⊂ U với mọi n ≥ n0.
Như vậy, xn → x trong X.
• Giả sử xn → x trong X, U là lân cận của x trong F. Khi đó, tồn tại lân cận V của x trong X sao cho U = V ∩F. Bởi vì xn →x trong X nên tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ V với mọi n ≥n0, kéo theo
xn ∈ V ∩F = U với mọi n ≥ n0.
Định lí 1.4.5. Giả sử (F, τF) là không gian con của (X, τ) và E ⊂ F.
Khi đó,
1) E đóng trong F khi và chỉ khi tồn tại tập con đóng A trong X sao cho E = A∩F;
2) EF = E ∩F;
Chứng minh: (1) Ta có
E đóng trong F ⇐⇒ F \E ∈ τF,
⇐⇒ tồn tại V ∈ τ sao cho F \E = V ∩F,
⇐⇒ E = F \(F \E) =F \(V ∩F) =F \V = (X \V)∩F, trong đó X \V đóng trong X. (2) Ta có EF = ∩ {A : A đóng trong F, E ⊂ A} = ∩ {B ∩F : B đóng trong X, E ⊂B} =F ∩∩ {B : B đóng trong X, E ⊂ B} =F ∩E.
Như vậy định lý đã được chứng minh.
Định nghĩa 1.4.6. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ) và
U = {Vα}α∈I là họ nào đó gồm các tập con của X. Khi đó,
1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂ S
α∈I Vα.
2) V được gọi là phủ con của U phủ A nếu V ⊂ U và V phủ A.
3) Một phủ U của A được gọi là phủ mở của A nếu U phủ A và U ⊂ τ. Định nghĩa 1.4.7. Giả sử K là tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó, K được gọi là tập concompacttrong X nếu mọi phủ mở của K, tồn tại phủ con hữu hạn. Nếu K = X, thì ta nói rằng X là không gian compact.
Nhận xét 1.4.8. Đối với không gian topo(X, τ), các khẳng định sau đây là đúng.
1) Hợp hữu hạn các tập con compact là tập con compact 2) Nếu A đóng, B compact và A ⊂ B, thì A compact.
3) Nếu X là T2-không gian, thì mọi tập con compact của X đều đóng. 4) Giả sử E, F là các tập con compact rời nhau trong T2-không gian X.
Khi đó, tồn tại các lân cận mởU củaE vàV củaF sao choU∩V = ∅. Do đó, nếu X là T2-không gian compact, thì X là chuẩn tắc.
Chứng minh. (1) Giả sử A, B là hai tập compact. Ta chứng minh A∪ B compact.
Thật vậy, giả sử U = {Uα : α ∈ I} là phủ mở của A ∪ B, kéo theo
A∪ B ⊂ S
α∈I
Uα. Khi đó, bởi vì U phủ mở tập compact A nên ta suy ra
tồn tại α1, . . . , αn ∈ I sao cho A ⊂
n
S
i=1
Uαi. Mặt khác, vì U phủ mở tập
compact B nên tồn tại αn+1, . . . , αn+m ∈ I sao cho B ⊂
n+m
S
i=n+1
Uαi. Như vậy, {Uα1, . . . , Uαn+m} là phủ con hữu hạn của U phủ A∪B.
(2) Giả sử U = {Uα : α ∈ I} là phủ mở của A. Khi đó, vì U ∪ {X \A}
là phủ mở của X nên nó là phủ mở của tập compact B. Do đó, tồn tại α1, . . . , αn ∈ I sao cho {Uα1, . . . , Uαn, X \A} là phủ con hữu hạn của B. Mặt khác, vì X \A không phủ phần tử nào của A và
B = A∪(B \A) nên ta suy ra A⊂ n S i=1 Uαi.
(3) Giả sử X là T2-không gian và A compact. Ta phải chứng minh A đóng, nghĩa là phải chứng minh X \A ∈ τ.
Thật vậy, giả sử x∈ X \A. Khi đó, với mọi y ∈ A ta có y 6= x. Bởi vì X là T2-không gian nên tồn tại các lân cận mở Uy của x và Vy của y sao cho Uy∩Vy = ∅. Mặt khác, vì {Vy : y ∈ A} là phủ mở của A compact nên tồn tại y1, . . . , yn ∈ A sao cho A ⊂
n S i=1 Vyi. Ta đặt U = n T i=1 Uyi, khi đó U là lân cận mở của x vì U ∩A ⊂ n \ i=1 Uyi∩ n [ j=1 Vyj = n [ j=1 " n \ i=1 Uyi ∩Vyj # ⊂ n [ j=1 Uyj ∩Vyj = ∅.
Như vậy, x ∈ U ⊂X \A, nghĩa là X \A ∈ τ.
(4) Với mọi x ∈ E, vì E ∩ F = ∅ nên x /∈ F. Theo cách chứng minh trong (3), tồn tại lân cận mở Ux của x và Vx của F sao cho Ux ∩Vx = ∅. Bởi vì {Ux : x ∈ E} là phủ mở của E compact nên tồn tại x1, . . . , xn ∈ E sao cho E ⊂ n S i=1 Uxi. Ta đặt U = n [ i=1 Uxi, V = n \ i=1 Vxi.
Khi đó, U là lân cận mở của E và V là lân cận mở của F thỏa mãn
U ∩V = n [ i=1 Uxi∩ n \ j=1 Vxj = n [ i=1 Uxi ∩ n \ j=1 Vxj ⊂ n [ i=1 (Uxi ∩Vxi) =∅.
rạc nhau. Khi đó, theo (2) ta suy ra E và F là hai tập con compact rời nhau. Theo điều vừa chứng minh ta suy ra tồn tại các lân cận mở U của E và V của F sao cho U ∩V = ∅.