Định nghĩa 1.5.1. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian (X, τ) đến không gian (Y, σ). Khi đó,
1) f được gọi là ánh xạ liên tục liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f(x0) trong Y, tồn tại lân cận mở U của x0 trong X sao cho f(U) ⊂V.
2) f gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu f liên tục tại mọi điểm của X.
3) f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f, f−1 là các ánh xạ liên tục.
Định lí 1.5.2. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian topo
(X, τ) đến không gian (Y, σ). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
1) f liên tục.
2) Tạo ảnh của mọi tập hợp mở trong Y là một tập hợp mở trong X.
3) Tạo ảnh của mọi tập hợp đóng trong Y là một tập hợp đóng trong X.
4) f(A) ⊂f(A) với mọi A⊂ X;
5) f−1(B) ⊂f−1(B) với mọi B ⊂ Y;
6) f−1(IntB) ⊂ Intf−1(B) với mọi B ⊂Y.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử f là ánh xạ liên tục và U mở trong Y. Ta chứng minh f−1(U) mở trong X.
Thật vậy, giả sử x ∈ f−1(U). Khi đó, U là lân cận mở f(x) trong Y. Bởi vì f là ánh xạ liên tục nên tồn tại lân cận mở V của x trong X sao cho f(V) ⊂ U. Như vậy,
x ∈ V ⊂ f−1(f(V)) ⊂f−1(U).
(2) =⇒ (3). Giả sử rằng (2) thỏa mãn và F đóng trong Y. Khi đó, Y \F mở trong Y. Bởi vì (2) thỏa mãn nên f−1(Y \F) mở trong X. Mặt khác, vì
f−1(Y \F) = X \f−1(F).
nên f−1(F) đóng trong X.
(3) =⇒(4). Giả sử (3) thỏa mãn và f(A)đóng trongY nênf−1 f(A) đóng trong X. Mặt khác, vì A ⊂ f−1(f(A)) ⊂f−1(f(A)) nên
A ⊂ f−1 f(A)= f−1 f(A).
Suy ra f(A) ⊂ f(A).
(4) =⇒(5). Theo khẳng định (4), với mọi B ⊂ Y ta có f f−1(B) ⊂f(f−1(B)) ⊂ B. Suy ra f−1(B) ⊂ f−1(B). (5) =⇒(6). Với mọi B ⊂Y, ta có f−1(IntB) = f−1(Y \Y \B) = X \f−1(Y \B). (1.5) Mặt khác, vì (5) thỏa mãn nên X \f−1(B) = f−1(Y \B) ⊂ f−1(Y \B). (1.6) Như vậy, từ (1.5) và (1.6) ta suy ra
f−1(IntB) ⊂ X \X \f−1(B) = Intf−1(B).
(6) =⇒ (1). Giả sử x ∈ X và V là một lân cận mở của f(x) trong Y. Khi đó, IntV = V. Bởi vì (6) thỏa mãn nên
f−1(V) =f−1(IntV) ⊂ Intf−1(V).
Hơn nữa, vì Intf−1(V) ⊂ f−1(V) nên Intf−1(V) = f−1(V). Như vậy, nếu đặt U = f−1(V), thì U là lân cận mở của x và f(U) ⊂V.
Định lí 1.5.3. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục . Khi đó, nếu K là tập con compact trong X, thì f(K) là tập con compact trong Y.
Chứng minh. Giả sử U = {Vα : α ∈ I} là phủ mở của f(K), nghĩa là f(K) ⊂ S α∈I Vα. Khi đó, K ⊂ f−1(f(K)) ⊂ f−1 [ α∈I Vα = [ α∈I f−1(Vα).
Bởi vì U ⊂ σ nên f−1(Vα) ∈ τ với mọi α ∈ I. Do đó, {f−1(Vα) : α ∈ I}
là phần mở của K trong X. Bởi vì K compact nên tồn tại α1, . . . , αn sao cho K ⊂ n S i=1 f−1(Vαi). Suy ra f(K) ⊂ f n [ i=1 f−1(Vαi) ! = n [ i=1 fhf−1(Vαi)i⊂ n [ i=1 Vαi.
CHƯƠNG2
ÁNH XẠ THƯƠNG DÃY
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết về một số tính chất mạng và mối quan hệ giữa chúng trong không gian topo. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu về ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương-dãy và chứng minh một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền-dãy, ánh xạ thương-dãy. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh chi tiết đặc trưng của ánh xạ thương-dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương-dãy với sự bất biến của cs∗-mạng, cs0-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương-dãy.
Trong toàn bộ chương này, chúng tôi giả thiết rằng các không gian topo là Hausdorff. Giả sử f : (X, τ) →(Y, σ) là một ánh xạ từ không gian topo (X, τ) vào không gian topo (Y, σ), P là họ nào đó gồm các tập con của X. Khi đó, ta ký hiệu f(P) ={f(P) : P ∈ P}; S P = S {P : P ∈ P}; ∩P = ∩{P : P ∈ P}.