Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền-dãy và ánh xạ thương-dãy.
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ. Khi đó, 1) f được gọi là liên tục theo dãy nếu với mọi x ∈ X và với mọi dãy
{xn} hội tụ đến x trong X, ta có {f(xn)} là dãy hội tụ đến f(x) trong Y.
2) f được gọi là ánh xạ thương nếu với A ⊂X, ta có A mở trong Y khi và chỉ khi f−1(A) mở trong X.
3) f được gọi là tiền-dãy nếu với mỗi dãy {yn} hội tụ đến y trong Y và
{yn} không từ lúc nào đó bằng y, tập hợp
S
không đóng theo dãy.
4) f được gọi là ánh xạ thương-dãy nếu với A ⊂ Y, ta có A là tập mở theo dãy trong Y khi và chỉ khi f−1(A) là tập mở theo dãy trong X. Nhận xét 2.2.2. Đối với ánh xạ f : (X, τ) →(Y, σ), các khẳng định sau là đúng.
1) Nếu f là ánh xạ liên tục, thì f là ánh xạ liên tục theo dãy; 2) Nếu f là ánh xạ thương, thì f là ánh xạ thương-dãy.
Định lí 2.2.3 ([3]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
1) f là ánh xạ liên tục theo dãy;
2) Nếu U là tập hợp mở theo dãy trong Y, thì f−1(U) là tập mở dãy trong X;
3) Nếu H là tập đóng theo dãy trong Y, thì f−1(H) là tập đóng dãy trong X;
4) Nếu H là tập đóng theo dãy và đếm được trong Y, thì f−1(H) là tập đóng theo dãy trong X.
Chứng minh. (1) =⇒ (3). Giả sử f liên tục theo dãy và H là tập đóng theo dãy trong Y. Ta cần chứng minh rằng f−1(H) là tập đóng theo dãy trong X. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f−1(H) không là tập đóng theo dãy trong X. Khi đó, X \f−1(H) không là tập mở theo dãy trong X. Suy ra tồn tại x ∈ X \f−1(H) và dãy {xn} ⊂ f−1(H) hội tụ đến x trong X. Mặt khác, vì f liên tục theo dãy nên ta suy ra {f(xn)} là dãy trongH hội tụ đến f(x) trong Y. Hơn nữa, vì x /∈ f−1(H) nên f(x) ∈/ H. Như vậy, H không là tập đóng theo dãy trong Y, đây là một mâu thuẫn.
(2) =⇒(3). Giả sử rằng (2) thỏa mãn và H là tập đóng theo dãy trong Y. Khi đó, Y \H là tập mở theo dãy trong Y. Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên ta suy ra
f−1(Y \H) =X \f−1(H)
là tập mở theo dãy trong X. Điều này chứng tỏ rằng f−1(H) là tập đóng theo dãy trong X.
(3) =⇒ (2). Giả sử rằng (3) thỏa mãn và U là tập mở theo dãy trong Y. Khi đó, Y \ U là tập đóng theo dãy trong Y. Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên ta suy ra
f−1(Y \U) =X \f−1(U)
là tập đóng theo dãy trong X. Điều này chứng tỏ rằng f−1(U) là tập mở theo dãy trong X.
(3) =⇒(4). Hiển nhiên.
(4) =⇒ (1). Giả sử f không là ánh xạ liên tục theo dãy. Khi đó, tồn tại dãy {xn} trong X sao cho xn →x nhưng f(xn) 6→f(x). Ta có thể giả thiết rằng f(xn) 6= f(x) với mọi n ∈ N.
•Trường hợp 1. Giả sử rằng tồn tại dãy con {f(xni)} của {f(xn)} hội tụ đến y 6= f(x). Lúc này, ta đặt
H = {f(xni) : i ∈ N} ∪ {y}.
Khi đó, bởi vì H là tập đóng và mỗi tập đóng là tập đóng theo dãy nên H là tập đóng theo dãy. Mặt khác, vì H là tập đếm được nên nhờ khẳng định (4) ta suy ra f−1(H) là tập đóng theo dãy trong X. Do đó, x ∈ f−1(H). Bởi vìy 6= f(x)nênx /∈ f−1(y), do đó tồn tạii ∈ Nsao chof(x) =f(xni). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng f(xn) 6= f(x) với mọi n∈ N.
•Trường hợp 2.Giả sử{f(xn)}không có dãy con hội tụ. Ta chứng minh rằng H = {f(xn) : n ∈ N} ∪ {y}
là tập hợp đóng theo dãy.
Thật vậy, giả sử {zi} là dãy trong H hội tụ đến z. Khi đó,
• Nếu {zn} là dãy tầm thường, nghĩa là tồn tại n0 ∈ N sao cho zn = z với mọi n≥ n0, thì z = zn0 ∈ H.
• Nếu{zn} là dãy không tầm thường, thì tồn tại dãy con {zik}của {zi}
sao cho {zik} là dãy con của {f(xni)}. Bởi vì zik → z nên {f(xni)}
có dãy con hội tụ, đây là một mâu thuẫn.
Như vậy, H là tập đóng theo dãy. Bởi vì H đếm được nên theo khẳng định (4) ta suy ra f−1(H) cũng đóng theo dãy trong X. Mặt khác, vì
{xn} ⊂ f−1(H) nên ta suy ra rằng x ∈ f−1(H), kéo theo f(x) ∈ H. Bởi vì f(x) 6= y nên tồn tại n ∈ N sao cho f(xn) =f(x). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng f(xn) 6= f(x) với mọi n ∈ N.
Nhận xét 2.2.4. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục theo dãy,
{yn} ⊂ Y, y ∈ Y và
L = {yn :n ∈ N} ∪ {y}.
Khi đó, nếu yn →y, thì f−1(L) đóng trong X. Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung không đúng.
Chứng minh. Bởi vì yn → y nên L là tập đóng trong Y, do đó nó là tập đóng theo dãy trong Y. Hơn nữa, vì L đếm được nên theo Định lí 2.2.3 ta suy ra f−1(L) đóng trong X.
Bây giờ, ta chứng tỏ rằng chiều ngược lại không đúng. Thật vậy, giả sử X = {xn = 1/n : n ∈ N} ∪ {0}.
Ta gọi τ là topo thông thường trên X, σ là topo rời rạc trên X và xét f : (X, τ) → (X, σ) là ánh xạ đồng nhất. Khi đó, nếu ta lấy L = X, thì f−1(L) = L đóng trong (X, τ). Lúc này, f(L) = L = X không hội tụ trong (X, σ).
Thật vậy, giả sử xn → z trong σ. Khi đó, vì (X, σ) là không gian topo rời rạc nên {z} là một lân cận mở của z. Lúc này, tồn tại n0 ∈ N sao cho xn = z với mọi n ≥ n0, đây là một mâu thuẫn với dãy {xn}phân biệt.