Mục này dành cho việc trình bày một số đặc trưng cơ bản của ánh xạ tiền-dãy và tính chất của ánh xạ thương-dãy.
Định lí 2.3.1 ([3]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ liên tục theo dãy. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
1) f là ánh xạ tiền-dãy;
2) Nếu U không là tập mở theo dãy trong Y, thì f−1(U) không là tập mở theo dãy trong X;
3) Nếu H không là tập đóng theo dãy trong Y, thì f−1(H) không là tập đóng theo dãy trong X.
Chứng minh. (2) =⇒ (3). Giả sử rằng (2) thỏa mãn và H là tập không đóng theo dãy trong Y. Khi đó, Y \H là tập không mở theo dãy trong Y. Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên ta suy ra
f−1(Y \H) =X \f−1(H)
là tập không mở theo dãy trongX. Điều này chứng tỏ rằngf−1(H) là tập không đóng theo dãy trong X.
(3) =⇒ (2). Giả sử rằng (3) thỏa mãn và U là tập không mở theo dãy trong Y. Khi đó, Y \U là tập không đóng theo dãy trong Y. Bởi vì khẳng định (3) thỏa mãn nên ta suy ra
f−1(Y \U) =X \f−1(U)
là tập không đóng theo dãy trong X. Điều này chứng tỏ rằng f−1(U) là tập không mở theo dãy trong X.
(3) =⇒(1). Giả sử {yn} là dãy không tầm thường hội tụ đến y. Ta đặt H = {yn : n∈ N, yn 6= y}.
Khi đó, vì H là một dãy trong H hội tụ đến y /∈ H nên H không đóng theo dãy. Mặt khác, vì khẳng định (3) thỏa mãn nên tập hợp sau không đóng theo dãy.
f−1(H) =S
{f−1(yn) : n ∈ N, yn 6= y}.
Như vậy, f là ánh xạ tiền-dãy.
(1) =⇒(3). Giả sử f là ánh xạ tiền-dãy và liên tục theo dãy, H là tập không đóng theo dãy trong Y. Khi đó, tồn tại dãy {yn} ⊂ H hội tụ đến y ∈ Y \H. Rõ ràng {yn} là dãy không tầm thường trong Y. Bởi vì f là ánh xạ tiên lượng nên tập hợp
H0 = {f−1(yn) : n∈ N}
không là tập đóng theo dãy trong X. Do đó, tồn tại dãy {xni} ⊂ H0 sao cho f(xni) = yni với mọi i ∈ N và xni → x ∈ X \H. Bởi vì
yni →f(x) = y nên x /∈ f−1(H) và
{xni} ⊂ H0 ⊂ f−1(H). Suy ra f−1(H) không đóng theo dãy trong X.
Định lí 2.3.2 ([3]). Một ánh xạ là thương-dãy khi và chỉ khi nó là ánh xạ liên tục dãy và tiên lượng.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.3 và Định lí 2.3.1.
Định lí 2.3.3 ([3]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ liên tục theo dãy. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
2) Nếu S là dãy hội tụ đến y trong Y, thì tồn tại dãy L hội tụ đến x
trong X sao cho f(L) là dãy con của S;
3) Nếu y ∈ Hd trong Y, thì tồn tại x ∈ f−1(y) sao cho x ∈ f−1(H)d.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử S = {yn : n ∈ N} là dãy hội tụ đến y trong Y. Khi đó,
Trường hợp 1. Nếu S là dãy tầm thường, thì tồn tại n0 ∈ N sao cho yn = y với mọi n ≥ n0. Lúc này, với mỗi n < n0, ta lấy xn ∈ f−1(yn) và lấy x ∈ f−1(y). Như vậy, nếu ta đặt xn = x với mọi n ≥ n0 và
L = {xn :n ∈ N∗}, thì L hội tụ đến x và f(L) =S.
Trường hợp 2. Nếu S không là dãy tầm thường, thì không giảm tổng quát ta giả sử rằng yn 6= y với mọi n∈ N. Lúc này {yn : n∈ N} không là tập đóng theo dãy trong Y. Bởi vì yn 6= y với mọi n ∈ N và f là ánh xạ tiên quyết nên ta suy ra
[
{f−1(yn) : n ∈ N} (2.1)
không là tập đóng theo dãy trong X. Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục theo dãy và S∪ {y} là tập đóng theo dãy nên theo Định lí 2.2.3 ta suy ra f−1(S ∪ {y}) = [{f−1(yn) : n ∈ N} ∪f−1(y) (2.2) là tập đóng theo dãy. Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra tồn tại dãy {zk} trong S
{f−1(yn) : n∈ N} hội tụ đến x ∈ f−1(y).
Bây giờ, với mỗi n∈ N, bởi vì tập một điểm {yn} là tập đóng trong Y nên nó là tập đóng theo dãy trongY. Do đó, theo Định lí 2.2.3, f−1(yn) là tập đóng theo dãy trong X. Nếu f−1(yn) chứa vô hạn phần tử của {zk}, thì x ∈ f−1(yn), kéo theo
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng với mỗi n ∈ N, f−1(yn) chứa nhiều nhất là hữu hạn phần tử của{zk}. Do đó, tồn tại vô hạn chỉ sốni ∈ N sao cho zk ∈ f−1(yn) với mọi k ∈ N. Với mọi i ∈ N, giả sử xi là số hạng nào đó của dãy {zk} thuộc f−1(yni). Khi đó, {xi} là dãy con của {zk}, nghĩa là xi → x ∈ f−1(y).
(2) =⇒(3). Giả sử y ∈ Hd trong Y. Nếu y ∈ H, thì x ∈ f−1(y) ⊂f−1(H) ⊂ f−1(H)d.
Nếu y /∈ H, thì tồn tại dãy {yn} ⊂ H sao cho yn → y. Giả sử rằng S = {yn : n∈ N}, khi đó theo khẳng định (2) tồn tại dãyL = {xi : i ∈ N}
hội tụ đếnx sao cho f(L) là dãy con của S. Như vậy, tồn tại dãy con{yni}
của{yn} sao cho xi ∈ f−1(yni), lúc nàyx ∈ f−1(y). Bởi vì {xi} ⊂ f−1(H) và xi → x ∈ f−1(y) nên ta có x ∈ f−1(H)d.
(3) =⇒(1). Bởi vì f là ánh xạ liên tục theo dãy nên theo Định lí 2.3.2 ta chỉ cần chứng tỏ rằng f là ánh xạ tiên lượng. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f không là ánh xạ tiên quyết. Khi đó, theo Định lí 2.3.1, tồn tại tập con H không đóng theo dãy trong Y sao cho f−1(H) là đóng theo dãy trong X. Bởi vì H không đóng theo dãy trong Y nên tồn tại y ∈ Hd\H. Mặt khác, vì f−1(H) là tập đóng theo dãy nên ta có
f−1(H)d = f−1(H). Hơn nữa, vì
f−1(y)∩f−1(H) =∅