Mgb8"(4,T) = …";#∆ " "( , )
Trong đó, các giá trị của ảnh được đưa từ 0~255 thành 0~1 để tăng biên độ của dải giá trị.
3.1.3 Phương pháp hiệu chuẩn cho hệ thống đo 3D
Hình 3-1 Định nghĩa vùng của cảm biến a) Cảm biến dạng quét theo đường, điểm b) Cảm biến dạng quét hình ảnh chiếu vân ảnh 2 chiều [ISO 10360-8:2013]
(nguồn [95])
Đối với máy đo 3 tọa độ (CMM) quá trình hiệu chuẩn hệ thống được quy định trong bộ tiêu chuẩn ISO 10360, khi sử dụng với cảm biến quang học trên máy CMM được quy định ISO10360-8:2013[95], theo hình 3-1.
Trong đó:
- >là chiều dài của đường chiếu - glà chiều dài của độ dịch chuyển cảm biến
- a là cảm biến quét dạng đường, điểm
- b là cảm biến quét hình ảnh chiếu vân 2 chiều
- c là trục của tọa độ của cảm biến
- d là vùng của cảm biến
- e là phương chuyển động của cảm biến
Đối với các thiết bị đo điểm 3 chiều nói chung, cần phải xác định sai số đo hình dạng được tính cho cả 3 trục OX, OY và OZ được định nghĩa bằng giá trị
jOP%.lY.(4!&:n:oglISO10360-8:2013 (chỉ số j sử dụng cho máy CMM), là kết quả đo bán kính của của một quả cầu chuẩn từ dữ liệu đám mây điểm ảnh sau khi sử dụng bình phương nhỏ nhất đối với biên dạng hình cầu. Chỉ số này được quy định chung cho các các thiết bị đo tiếp xúc CMM và đo không tiếp xúc sử dụng phương pháp đo quang học.
Hình 3-2 Biểu diễn giá trị
. . × : : và
. . × : : [ISO 10360-
8:2013] (nguồn [95])
Trong đó: 93[đường kính danh nghĩa của quả cầu chuẩn
đường kính đo được quả cầu chuẩn liên kết gaussian quả cầu
các điểm đo
Hình 3-3 Biểu diễn 3 kiểu đo khi thực hiện với quả cầu chuẩn a) Dịch chuyển, b) Dạng xoay, c) Dạng tĩnh [ISO 10360-8:2013] (nguồn [95])
72
Chỉ số 25 trong l"UR.lY.(×!&:n:oglhoặc jOP%.lY.(×!&:n:ogl là số điểm đo được sử
dụng trong phép bình phương nhỏ nhất đối với biên dạng hình cầu phân bố đều trên bề mặt của vật chuẩn. Đối với các cảm biến quang dạng quét hình ảnh chiếu vân dạng 2 chiều, số lượng điểm đo có thể thu được trong một lần quét lên đến hàng trăm điểm, do vậy có thể sử dụng toàn bộ các điểm đo để tìm biên dạng hình cầu và được ký hiệu
l"UR.lY.(×'[[:n:ogl.
Việc xác định biên dạng hình cầu với dữ liệu đo có thể được sử dụng cho 2 mục đích chính: Xác định phương trình hiệu chuẩn cho 3 trục tọa độ riêng rẽ OX, OY, OZ. và đánh giá sai số của hệ thống đo (tổng hợp của các thành phần: Nhiễu, lỗi kỹ thuật số - méo ảnh đối với máy ảnh, thông số nội của hệ quang học và lỗi của phương pháp đo-công thức toán học…)
Trong phần sau, phương pháp hiệu chuẩn giá trị tọa độ sử dụng bình phương nhỏ nhất cho biên dạng hình cầu từ tập dữ liệu các điểm đã đo được từ quả cầu chuẩn. Kết quả của phương pháp này là phương trình hiệu chuẩn tọa độ 3D của tập đám mây điểm khi quét để nâng cao độ chính xác của phép đo.
3.1.3.1 Phương pháp bình phương cực tiểu cho biên dạng hình cầu
Phương pháp bình phương cực tiểu cho biên dạng hình cầu đã được nghiên cứu và trình bày trong một số bài báo [96]-[106]. Một hình cầu được biểu diễn dưới dạng một tâm = [ , , ] và bán kính có thể tìm được từ một tập hợp điểm 1 = ‡ 1, 1 , 1ˆ, trong đó = 1, … , bằng cực tiểu của hàm lỗi. Có hai phương pháp tiếp cận: Đại số và hình học, trong đó mô hình dựa trên công thức đại số của một hình cầu được biểu diễn như sau:
!+!+!+ + + +=0
(3-11)
Các hệ số , , , liên quan tới tâm và bán kính của hình cầu:
= − 1 [ , , ] (3-12a) 2 (3-12b) ! = (!+!+!) − 4
Trong bài báo [106] đã chứng minh công thức (3-12b) luôn luôn đúng do vậy, luôn tồn tại giá trị bán kính . Để xác định giá trị chưa biết và tâm của hình cầu, ta cần tối thiểu hàm lỗi đại số theo công thức:
( , , , ) = …1;( ∆1
(3-13a)
1
e !
Trong đó:
∆1( , , )=1!+ 1!+ 1!+ 1+ 1+ 1+
(3-13b)
Tại giá trị cực tiểu nhỏ nhất, xu hướng của hàm lỗi sẽ tiến dần tới giá trị 0. Do giá trị độ lệch thứ : ∆1 là tuyến tính trong các tham số của nó, tức là , , , tại vị trí tối thiểu có thể xác định được theo phương pháp bình phương tối tiểu. Các tiếp cận của phương pháp này chỉ được sử dụng trong không gian tìm kiếm 4-D nơi bán kính hình cầu chưa xác định và tương tự như tìm tâm . Khi xác định được bán kính , hướng của hàm lỗi đại số (3-13a) phụ thuộc vào các tham số , và trong mối quan hệ phi tuyến, do vậy cần tối ưu hóa phương pháp này trong bài báo [100] tương tự như tiêu chuẩn Newton, Franaszek và cộng sự [107] đưa ra hai phương pháp tối ưu: Phương pháp Orthogonal fitting và phương pháp directional fitting (hình 3-4).
Hình 3-4 Hai kiểu hàm lỗi được sử dụng trong ước lượng phương trình mặt cầu (theo [107])
Hình 3-4: Hàm lỗi dựa trên khoảng cách giữa điểm 1 (màu đỏ) là điểm đo được với điểm chiếu trên bề mặt hình cầu (màu xanh), là tâm của hình cầu, hình 3-4a) Phương pháp bình phương cực tiểu trực giao khi chiếu theo phương pháp tuyến đến bề mặt, hình 3-4b) Phương pháp bình phương cực tiểu theo phương khi chiếu dọc theo hướng quét.
a) Phương pháp bình phương cực tiểu trực giao
Hàm lỗi cơ bản dựa trên khoảng cách đo được giữa điểm1 và phép chiếu trực giao lên bề mặt của hình cầu có thể được viết dưới dạng:
( , , ) = 1 e ã { − | ! +{ − | ! ! ! (3-14) …1;( + { − | − å ä 1 1 1 Và gradient của là: 74
( , , ) = 1 e … "( , , )‡ − 1, − 1, − 1ˆ (3-15) 1;( Trong đó: " ( , , ) = 2 ⎛ 1 − ⎞ (3-16) ⎝ ä{ −1|! + { −1|! + { −1|! ⎠
Khi =1 (tọa độ của một điểm trùng với tọa độ của tâm ), số hạng thứ trong công thức (3-15) không khả dĩ. Bên cạnh đó, với bất kỳ vùng lân cận nhỏ nào của tâm hình cầu , tọa độ của số hạng thứ vẫn thỏa mãn công thức (3-15).
Nếu một tập hợp điểm không chứa hai điểm giống nhau? =1 với bất kỳ ≠ nào công thức (3-15) thỏa mãn điều kiện liên tục, trong trường hợp =1 đặt
(3-15) bằng 0.
b) Phương pháp bình phương cực tiểu theo phương
Hàm lỗi dựa trên khoảng cách đo được của điểm1 và hình chiếu của nó lên bề mặt của quả cầu gần thiết bị quét hơn dọc theo hướng của1 (hình 3-4b). Vấn đề của phương pháp này là điểm được chiếu có thể không tồn tại, nhưng không gây ảnh hưởng đến quá trình tính toán. Để loại bỏ các yếu tố đó [107] đã đề xuất phương pháp thực hiện như
vô hướng = ‡ , , ˆ , = ¶ 1 ( được biểu diễn trên hình 3-4b). sau: Ký hiệu: 1 , trong đó là chiều dài của vector , tích
Chiều dài 1= 1 ∘ 1có 1hướng1 × 1,1 1 và 1= 1 1 1 1 được xác định bởi véc1 ,1 = ë 1 ë
, khoảng cách từ tâm của hình cầu tới đoạn thẳng của véc tơ
tơ tọa độ đơn vị
1
. Trong hệ tọa độ Descartes, biểu thức cho
1
và 1 có thể được viết như sau:
Và 1( , , ) = 1+1+1 ! (3-17) ( , , ) = !+ { − | ! (3-18) { − | + { − | 1 ä 1 1 1 1 1 1
Hàm lỗi có thể được viết lại thành:
( , , ) = 1
e
… 1( , , ) (3-19)
1;(
Trong đó:
!
1( , , ) = z¢ 1− ä !− 1!− 1£ , ế 1<
(3-20)
{ 1 −1|! + { 1 − |!, ế 1 ≥
Cần lưu ý mỗi1 là một hàm liên tục và tăng khi giá trị của1 thay đổi từ nhỏ hơn bán kính đến lớn hơn bán kính . Điều này bao hàm sự chuyển đổi giữa hai giả định 1có thể hoặc không thể thực hiện phép chiếu trên mặt cầu theo phương 1. Do đó hàmlỗi cũng liên tục và cho phép xác định theo phương pháp bình phương tối thiểu. Gradient có thể được xác định:
( , , ) = 1 e , 1, 1 í … ì 1 (3-21) 1;( Trong đó các thành phần0102~ , 01 03~ , 01 0$~ được tính bằng: 1 = 1 1 + 1 1 1 1 1 =1 1 +1 1 (3-22) 1 1 1 = 1 1 + 1 1 1 1
Sử dụng các định nghĩa của1,1 và công thức Lagrange cho nhân có hướng của 3 thành phần phương trình (3-22) có thể được viết lại như sau:
⎧ 1 − ä ! 1 ! 1 1 + −1 1! 1< 1 ⎪2 ¢ − − £ ×ã 1 å , ế = î − ⎨ 1 1 1 1 − | − 1 > ⎪2{ − | + 2{ 1 − 1 1 , ế ⎩ 1 ! 1 ! 1 ! 1 1 ⎧ − ä 1 + ! 1 < (3-23) ⎪2 ¢ − − £ ×ã å , ế = ⎨ î − 2{ 1 −1| 1+ 2{ 1 − | − 1 , ế 1 > ⎪ 1 ⎩ 76
⎧ 1 ! 1 ! 1 1 − 1 1 ! 1< 1 ⎪2¢ − ä − − £×ã + î 1 å , ế = ⎨ − + 2{ 1 − | − 1 1 , ế 1> ⎪2{ 1 − 1| 1 1 ⎩
Nhận xét: Trong nghiên cứu [107] đã chỉ ra rằng phương pháp bình phương cực tiểu trực giao có thể xảy ra 2 điểm cực tiểu, do đó phương trình có thể xảy ra 2 với các giá trị điểm tâm và khác nhau. Ngược lại, với phương pháp bình phương cực tiểu theo phương thành phần thứ thứ đến gradient (3-20) có một giá trị duy nhất được xác định khả dĩ cho bất kỳ vị trí nào của tâm mặt cầu. Ngay cả khi 1 = , tương ứng số hạng thứ trong (3-20) có giá trị hữu hạn 2{ 1
− 1|[ 1, 1, 1]. Khi 1 → (8) số hạng thứ trong (3-20) có thể có giá trị lớn, có thể xảy ra không chỉ cho một điểm 1 mà đồng thời cho nhiều điểm ? mà 1 → (8) . Điều này có thể dẫn tới sự gián đoạn trong gradient đối với hàm lỗi cho một số vị trí cô lập của tâm hình cầu , tuy nhiên [107] đã chứng minh không ảnh hưởng đến sự hội tụ của hàm lỗi. Do đó, phương pháp bình phương cực tiểu theo phương được sử dụng trong chương 4 (4.4.6) để ước lượng các thông số tâm và bán kính của mặt cầu khi đo quả cầu chuẩn.
3.1.3.2 Xác định đường đặc trưng bù sai cho các trục tọa độ
Giao điểm điểm ( , , ) giữa đường thẳng và mặt cầu (hình 3-5) nằm trên phương trình mặt cầu được định nghĩa bằng 2 điểm((( ,(,() và! = (!,!,
!) được biểu diễn dưới dạng:
= (+ (!−()
(3-24)
Hình 3-5 xác định điểm nằm trên mặt cầu
Và tọa độ của các điểm trong P:
=(+ (!−()
=(+ (!−() (3-25)
= (+ (!− ()
Tâm của mặt cầu ) = ( ), ), )) với bán kính r ta có phương trình biểu diễn bởi mặt cầu: ( −))!+( −))!+( −))!=!
(3-26)
Thay phương trình đường thẳng vào mặt cầu ta được phương trình bậc hai có dạng:
!+ +=0 (3-27) Trong đó: =( −))!+( −))!+( −))! =2[( !− ()((− ))+( !− ()((− ))+( !− ()((−))] =)!+ )!+ )!+ (!+ (!+ (!−2[ ) (+ ) (+ ) (]−!
Nghiệm của phương trình bậc hai:
− ± î( ! − 4 ) 2
Xét điều diều kiện để phương trình 3-28: !− 4 xảy ra 3 trường hợp:
+ Nếu !− 4 < 0 đoạn thẳng không cắt qua hình cầu
(3-27)
(3-28) + Nếu ! − 4 = 0 đoạn thẳng tiếp tuyến với hình cầu tại 1 điểm =45
/6
+ Nếu ! − 4 > 0 đoạn thẳng cắt hình cầu tại hai điểm
Trong trường hợp như hình 3-6, ta luôn xác định được 2 nghiệm là hình chiếu của điểm đo được mp trên phương trình mặt cầu. Để chọn điểm điểm mS, cần thỏa mãn điều kiện khoảng cách euler trong không gian 3 chiều %G,%l ≤ .
Hình 3-6 Giao điểm của đoạn thẳng giữa tâm O của hình cầu với điểm điểm đo mp và điểm mS thuộc hình cầu
Sau khi có được tập điểm = ‡ G , G, Gˆ và tập các điểm hình chiếu trên mặt cầu = [ >, >, >] sử dụng phương pháp SVD ta có thể xác định được phương trình đặc trưng biểu thị cho sai số về hình dạng mặt cầu theo 3 trục OX, OY, OZ.
9OPP= 4 G) 9OPP= T G) 9OPP= U G) + 4 G! + T G! + U G! + 4 G + T G + U G + 4 + T (3-29) + U
Từ các tập hợp điểm tương ứng [[#,( , . . ,$], [9OPP#,9OPP(, . . ,9OP$]], [[#,(, . . ,$], [9OPP#,9OPP(, . . ,9OP$]], [#,(, . . ,$], [[9OPP#,
9OPP(, . . ,9OP$]], chúng ta dễ dàng tìm được phương trình bậc 3 biểu diễn mối quan hệ giữa giá trị đo và
giá trị thực tế; áp dụng các phương trình này để thực hiện hiệu chuẩn giá trị dữ liệu quét các chi tiết cơ khí.