Mã Large-Gap Graycode được giới thiệu bởi [73][74] với mong muốn xây dựng mã Gray đặc biệt với các bước dài 0 và 1 dọc theo từng bit khác với mã Gray nhị phân. Thuật ngữ 𝑚𝑖𝑛 − 𝑔𝑎𝑝 (𝐶) = 𝑔𝑚𝑖𝑛ợc xác định cho mã Gray C, trong đó 𝑔𝑚𝑖𝑛 là độ dài tối thiểu của tất cả các bit chạy trong mã. Tương tự thuật ngữ 𝑚𝑎𝑥 − 𝑔𝑎𝑝 (𝐶) = 𝑔𝑚𝑎𝑥 được sử dụng, trong đó 𝑔𝑚𝑎𝑥 là độ dài tối đa của tất cả các bit chạy trong mã. Đối với mã nhị phân 10 bit được phản ánh Mã màu xám
(BRGC10), các giá trị là 𝑚𝑖𝑛 − 𝑔𝑎𝑝 (𝐵𝑅𝐺𝐶10) = 2 𝑚𝑎𝑥 − 𝑔𝑎𝑝 (𝐵𝑅𝐺𝐶10) = 512ã màu xám n-bit Cn có thể được mô tả bằng chuỗi chuyển tiếp 𝑇𝑛 = (𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, . . , 𝑇𝑁 1), trong đó 𝑁 = 2𝑛 và ti chỉ số bit thay đổi từ giá trị i thành 𝑖 + 1. Một ví dụ cho 𝑛 = 3 được hiển thị trong phương trình sau:
𝑇3 = (0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 2) (2-3)
𝐶3 = (000, 100, 110, 010, 011, 111, 101, 001) (2-4) Trong đó 𝑇3 là chuỗi chuyển tiếp cho mã Gray 3 bit tương ứng.
Nhóm tác giả [74] trình bày một định lý để xây dựng mã Gray 𝐶𝑛 + 𝑚 trên các bit
𝑛 + 𝑚 bằng cách xen kẽ hai chuỗi chuyển tiếp 𝑇𝐴 và 𝑇𝐵 trên các bit n và m tương ứng, trong đó 𝑛 ≥ 𝑚. Một chuỗi P có độ dài 𝑀 = 2% sau đó được xác định cho bất kỳ thứ tự nào của một 𝑎 và 𝑡 𝑏, trong đó 𝑠 và 𝑡 là hai số nguyên dương lẻ tính tổng với
𝑀, 𝑎 và 𝑏 là các phần tử từ các chuỗi chuyển tiếp. Mã màu xám 𝐶𝑛 + 𝑚 được tạo bằng cách xen kẽ 𝑃𝑁 từ các mã có kích thước nhỏ hơn.
Việc lựa chọn 𝑠, 𝑡 và chuỗi các phần tử trong 𝑃 có ảnh hướng đến khoảng cách của
𝐶𝑛 + 𝑚 và được [74] đưa ra giá trị tham khảo cố định.
Một ví dụ để xây dựng mã Large-Gap Graycode 7 bit có thể được xây dựng bằng cách xen kẽ chuỗi chuyển tiếp 5 bit và 2 bit, được đưa ra trong phương trình sau:
𝑇&' =(0, 2, 1, 3,0,2,1,4,0,3,1,2,0,3,1,4,0,2,1,3,0,2,1,4,0,3,1,2,0,3,1,4) 𝑎#, 𝑎(, … , 𝑎)#, 𝑎)(
𝑇&* = (0,1,0,1) 𝑏#, 𝑏(, 𝑏!, 𝑏)
(2-5)
Trong đó 𝑇&' là mã Large-Gap Gray được xây dựng trước đó với min-gap (𝑇&') = 4 và 𝑇&* là một chuỗi cơ bản với min-gap (𝑇&*) = 2. Phương trình xác định chuỗi P, được tạo ra với s =3 và t=1.
𝑃 = (𝑏𝑎𝑎𝑎) (2-6)
Trình tự chuyển tiếp 𝑇+, cho mã 7-bit Gray code C7 được tạo bằng cách xen kẽ PN:
𝑇+, = (baaa)32 (2-7)
Ở đây a và b là các phần tử liên tiếp từ các chuỗi chuyển tiếp TA và TB modul N
và M tương ứng.
Hình 2-8 So sánh kích thước bước giữa các vân của mã Gray và mã Large-Gap Graycode tại các bit khác nhau (nguồn: [75])
Nhận xét: Khi sử dụng mã Gray đối xứng dừng lại tại ảnh bit thứ 9, nếu sử dụng tới bit thứ 10 rất khó có thể xác định được giữa các bit sáng và bit tối; đối với vân chiếu mã Large-Gap Graycode, khoảng cách giữa các vân chiếu sáng và các vân chiếu tối được giữ ổn định từ bit 1 cho đến bit thứ 10, do đó giảm thiểu vấn đề khi tiến hành giải mã.
Hình 2-9 Vân chiếu mã Gray tại bit thứ 9 lên mặt phẳng nghiêng theo trục Z
Hình 2-10 Vân chiếu mã Large-Gap Graycode tại bit thứ 10 lên mặt phẳng nghiêng theo trục Z
Mặt khác, khi thực hiện chiếu mẫu vân lên một mặt phẳng nằm nghiêng dọc theo trục Z, hình 3-11 thể hiện khoảng sắc nét vân của bit thứ 9 mã Gray nhỏ hơn so với khoảng sắc nét vân của bit thứ 10 mã Large-Gap Graycode, như vậy khi sử dụng mã Large-Gap Graycode làm tăng được chiều sâu thu ảnh vân của hệ thu ảnh và khoảng thu nhận ảnh 3 chiều tăng lên tính từ mặt phẳng hội tụ về 2 phía.