Giả thiết môi trường chiếu sáng xung quanh đối với vật thể cần đo ổn định và không thay đổi trong suốt quá trình thu ảnh khi thay đổi tốc độ cửa trập của máy ảnh. Bên cạnh đó, tại mỗi vị trí điểm ảnh giá trị mức xám là 𝐼(𝑥, 𝑦) với 𝑥, 𝑦 là tọa độ của điểm ảnh trong hệ tọa độ ảnh, từ tập ảnh thu được nằm trong khoảng giá trị (0~255). Để tái tạo ảnh rộng dải rộng, [92] Debevec đã xây dựng mô hình hàm phản hồi của hệ thu ảnh tại mỗi điểm ảnh tương ứng với giá trị phơi sáng. Giả sử hàm phi tuyến 𝑓 là đại diện cho hàm biến đổi từ cường độ sáng trên 1 điểm của vật thể tới giá trị 𝑍 thu được từ máy ảnh
tại một giá trị phơi sáng 𝑋, chúng ta có thể xác định giá trị phơi sáng từ I thông qua 𝑋 = 𝑓8((𝑍). Giả sử hàm 𝑓 là hàm đơn điệu tăng, nếu hàm nghịch đảo 𝑓8( đã được xác định, với giá trị phơi sáng 𝑋 và thời gian phơi sáng ∆𝑡 biết trước thì giá trị bức xạ Ε = 𝑋 ∆𝑡¶ , tỷ lệ thuận với độ chói 𝐿 trong ảnh, đơn vị đo của E là 𝐽𝑚8!. Trong đó 𝐿 là tỷ lệ của bức xạ E đối với bất kỳ điểm ảnh cụ thể nào, nhưng có thể là hệ số tỷ lệ khác nhau ở các vị trí khác nhau trên cảm biến. [93] Đã đưa ra công thức phương sai với 𝐸 = 𝐿,-..'//𝑐𝑜𝑠-𝛼, trong đó 𝛼 là góc đo của điểm ảnh đến trục quang của ống kính, tuy nhiên theo [94] các ống kính cho máy ảnh kỹ thuật số hiện nay thiết kế để bù cho hiệu ứng này và ánh xạ gần như không đổi giữa bức xạ và bức xạ ở 𝑓/8 và nhỏ hơn khẩu độ. Độ phơi sáng X được coi như một hàm của bước sóng X(𝜆) và giá trị chiếu trên trục hoành từ đường cong đặc tính là tích phân ∫ X(λ)R(λ)dλ trong đó R(λ) là phản ứng quang phổ của phần tử cảm biến tại vị trí điểm ảnh, chính xác hơn là sử dụng bức xạ.Tuy nhiên, phản ứng quang phổ của các điểm ảnh trên cảm biến có thể không phải là hàm độ chói quang học 𝑉c, vì vậy thuật ngữ phép đo quang độ rọi cũng không sử dụng trong trường hợp này.
Đầu vào cho thuật toán [92] Debevec là một số bức ảnh được số hóa được chụp từ cùng một điểm với độ phơi sáng đã biết khác nhau thời lượng ∆𝑡!. Giả định rằng các giá trị bức xạ trên cảm biến quang điện 𝐸" mỗi điểm thứ i trên ảnh là không đổi. Giá trị điểm ảnh bằng 𝑍"!trong đó 𝑖 là không gian trên điểm ảnh và chỉ mục 𝑗 trên độ phơi sáng lần ∆𝑡!. Phương trình hàm biểu diễn như sau:
𝑍"1 = 𝑓{𝐸"∆𝑡1| (3-1)
Giả sử hàm 𝑓 đơn điệu không nghịch đảo, phương trình (3-42) có thể viết lại như sau:
𝑓8({𝑍"1| = 𝐸"∆𝑡1 (3-2)
Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế, ta có:
ln 𝑓8({𝑍"1| = ln𝐸𝑖+ ln∆𝑡𝑗 (3-3)
Để đơn giản hóa, định nghĩa hàm 𝑔 = ln 𝑓8(. Do vậy (3-44) được viết lại:
𝑔{𝑍"1| = ln𝐸𝑖+ ln∆𝑡𝑗 (3-4)
Trong đó dãy của 𝑖 trên điểm ảnh và dãy của 𝑗 theo thời gian phơi sáng, 𝑍"1 ∆𝑡! đã biết. Các ẩn số là các phương vị 𝐸", cũng như hàm 𝑔, giả định rằng 𝑔 trơn, liên tục và đơn điệu. Việc khôi phục lại hàm 𝑔 và các liên kết phản xạ 𝐸" thỏa mãn phương trình
(3-45) theo bình phương sai số nhỏ nhất. Hàm 𝑔 chỉ yêu cầu khôi phục số lượng hữu hạn các giá trị mà 𝑔(𝑧) có thể nhận từ miền của Z, giá trị độ sáng điểm ảnh là hữu hạn.
Với 𝑍%"$ và 𝑍%34 là giá trị điểm ảnh nhỏ nhất và lớn nhất (theo số nguyên), 𝑁 là số vị
trí điểm ảnh và 𝑃 là số lượng ảnh, lập công thức bài toán để tìm các giá trị (𝑍%"$ + 𝑍%34 + 1) của 𝑔(𝑧) và N giá trị của ln𝐸𝑖 tối thiểu hóa mục tiêu bậc hai sau hàm số:
Θ = × ×‡g{𝑍"1|– ln E"− ln∆𝑡1ˆ! + ℷ … 𝑔” ,%3U8( U;,%"$7( (𝑧)! d 1;( e ";( 𝑍" (3-5)
Số hạng Θ đảm bảo rằng nghiệm thỏa mãn điều kiện từ phương trình (3-4) theo bình phương sai số nhỏ nhất. Do giả định hàm 𝑔 trơn và liên tục, nên ta lấy đạo hàm cấp hai của 𝑔; ta có 𝑔aa(𝑍) = 𝑔(𝑍 − 1) − 2𝑔(𝑍 + 1). Trọng số λ thể hiện độ trơn của hàm trong miền giới hạn, và được xác định thích hợp với nhiễu dự kiến của trong quá trình đo giá trị 𝑍"1.
(3-5) là phương trình bậc hai của E" và 𝑔(𝑍), do vậy Θ trở thành bài toán bình phương nhỏ nhất tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính được xác định bằng cách sử dụng phương pháp SVD (Singular Value Decomposition).
Để giải được phương trình (3-5) [84] Debevec đưa ra 3 giả thiết. Đầu tiên, giả thiết giá trị E" có hệ số tỷ lệ duy nhất a. Nếu mỗi giá trị bức xạ ln E" được thay thế bằng
ln E"+a và hàm 𝑔(𝑍) được đặt bằng g + a, thì hệ phương trình (3-18) và hàm mục tiêu
Θ không thay đổi. Để thiết lập hệ số tỷ lệ, [84] Debevec giới thiệu phần bổ sung điều kiện ràng buộc 𝑔(𝑍%"S) = 0, trong đó 𝑍%"S = (!(𝑍 %"$ + 𝑍%34), bằng cách thêm vào như một phương trình tuyến tính. Mục đích của việc thêm này là một điểm ảnh có giá trị ở giữa 𝑍%"$ và 𝑍%34 sẽ được giả định là có thỏa mãn một giá trị phơi sáng.
Thứ hai, giải pháp có thể được thực hiện để phù hợp hơn nhiều bằng cách dự đoán hình dạng cơ bản của hàm phản hồi. Vì g (z) sẽ thường có độ dốc lớn gần 𝑍%"$ và 𝑍%34,
𝑔(𝑧) sẽ ít trơn hơn và sẽ phù hợp với dữ liệu kém hơn gần các điểm cực trị này. Để nhận ra điều này, [84] Debevec giới thiệu một hàm trọng số 𝑤(𝑧) để nhấn mạnh độ mịn và các điều kiện phù hợp về phía giữa đường cong được thể hiện như sau:
𝑤(𝑧) = z𝑧 = 𝑍%"$ for 𝑧 ≤ 1 2 (𝑍%"$+ 𝑍%34) 𝑍%34 − 𝑧 for 𝑧 > 1 2 (𝑍%"$ + 𝑍%34) (3-6)
Θ = × ×xw{𝑍"1|‡𝑔{𝑍"1|– ln E"− ln∆𝑡1ˆy! d 1;( $ ";( + … [𝑤(𝑧)𝑔" ,%3U8( U;,%"$7( (𝑧)]!𝑍" (3-7)
Giả thiết cuối cùng là không cần sử dụng mọi điểm ảnh có sẵn trong quá trình giải bài toán này. Để tối ưu hóa, phạm vi giới hạn nằm trong khoảng N (P - 1) > (Zmax - Zmin). Đối với các cảm biến kỹ thuật số, phạm vi giá trị điểm ảnh (Zmax - Zmin) = 255, có thể lựa chọn P = 11 ảnh, lựa chọn N theo thứ tự 50 điểm ảnh là đủ cho tính toán.
Khi đường cong phản hồi g được khôi phục, ta có thể chuyển đổi các giá trị điểm ảnh thành các giá trị bức xạ tương đối, giả sử ∆𝑡1 độ phơi sáng đã biết. Lưu ý rằng đường cong có thể được sử dụng để xác định các giá trị bức xạ trong bất kỳ hình ảnh nào thu được bởi quá trình chụp ảnh liên quan đến g, không chỉ các hình ảnh được sử dụng để khôi phục chức năng phản hồi.
Từ phương trình (3-3), thu được:
ln𝐸𝑖 = 𝑔{𝑍"1| − ln∆𝑡𝑗 (3-8)
Để khôi phục các giá trị bức xạ dải động, chúng ta nên sử dụng tất cả các mức phơi sáng có sẵn cho một điểm ảnh cụ thể để tính toán độ chói, sử dụng hàm trọng số trong phương trình (3-6) để cung cấp trọng số cao hơn cho độ phơi sáng để điểm của giá trị gần giữa hàm phản hồi hơn:
ln𝐸𝑖 = ∑𝑃𝑗=1𝑤(𝑍"1 )(𝑔{𝑍"1| − ln ∆𝑡1
∑𝑃𝑗=1𝑤{𝑍"1 |
(3-9)
Mỗi điểm ảnh khôi phục có giá trị mức xám là 𝐼"(x,y), trong đó x, y là tọa độ của của vị trí thứ hàng và cột của một điểm ảnh. Đối với lĩnh vực nhiếp ảnh, việc khôi phục ảnh nhằm mục tiêu sẽ nâng giá trị mức xám tái tạo đồng đều đối với tất cả các điểm ảnh và hạn chế vùng bão hòa, do vậy tỷ lệ giữa vùng tối và vùng sáng sẽ giảm đi. Trong trường hợp áp dụng cho chiếu vân mã hóa Graycode, mong muốn chỉ tăng mức xám tại các vùng chiếu bit ON, và giữ các vùng chiếu bit OFF ở mức thấp nhất. Trong thực tế, khi tăng giá trị phơi sáng của máy ảnh thì mức xám tại các vùng bề mặt có độ bóng cao sẽ nhanh chóng đạt được trạng thái bão hòa (giá trị lớn nhất của điểm ảnh là 255), do vậy, nếu tiếp tục tăng giá trị phơi sáng thì các miền có góc tới lớn sẽ đồng thời được tăng lên và dần tới giá trị bão hòa lâu hơn. Như vậy, ta có thể lấy hệ số của thời gian
phơi sáng với giá trị khởi tạo để nâng tỷ lệ giá trị mức xám tại vùng có góc tới lớn như sau: 𝐼Mgb8"(4,T) = …∆𝑡# ∆𝑡" $ ";# 𝐼"(𝑥, 𝑦) (3-10)
Trong đó, các giá trị của ảnh được đưa từ 0~255 thành 0~1 để tăng biên độ của dải giá trị.