Đối với một hệ thống đo sử dụng phương pháp ánh sáng cấu trúc, máy ảnh có vai trò thu nhận hình ảnh các tia sáng phản xạ trên bề mặt vật từ hệ chiếu sáng. Để thể hiện quá trình tạo ảnh vật thể của một hệ thu ảnh người ta sử dụng mô hình lỗ nhỏ, mô hình này bao gồm một mặt phẳng ảnh I và một tâm điểm Oc, ta có thể biểu diễn mô hình như sau:
Hình 2-22 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ (nguồn: [79])
Tuy nhiên, với mô hình như trên hình 2-22, ảnh của vật bị đảo ngược, do đó, người ta chuyển sang một mô hình tương đương để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán. Trên hình 2-23, đổi vị trí giữa mặt phẳng ảnh và mặt phẳng lỗ nhỏ.
Hình 2-23 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ chuyển đổi (nguồn: [79])
Xét mô hình lỗ nhỏ (hình 2-22) với hệ tọa độ máy ảnh gồm tâm của phép chiếu q và hệ trực chuẩn cơ sở {𝜐(, 𝜐!, 𝜐)} và mặt phẳng ảnh tạo bởi 2 véc tơ cơ bản tại tiêu cự f =1. Với bất kỳ điểm p trong không gian 3 chiều của hệ tọa độ thực có tọa độ (𝑝(, 𝑝!, 𝑝))
đều có mối liên hệ với tọa độ của máy ảnh. Hình chiếu của điểm p lên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh 2 chiều u được xác định bởi thông số 𝑢( và 𝑢), ta có thể viết tọa độ điểm u dưới dạng véc tơ 3 chiều 𝑢 = (𝑢(, 𝑢!, 1), giả sử ta có l là một tham số vô hướng không âm, mối liên hệ giữa điểm p thực và điểm ảnh u có thể được biểu diễn như sau:
¥ 𝑝( 𝑝! 𝑝) ¦ = 𝜆 §𝑢 ( 𝑢! 1 ¨ (2-69)
Gọi o là tâm chiếu của gốc tọa độ của hệ tọa độ thực có tọa độ (0, 0, 0)/, điểm q và véc tơ 𝜐( và 𝜐! được xác định theo:
[𝜐(|𝜐!|𝑞] = §1 0 00 1 0 0 0 1
¨ (2-70)
Với mỗi hệ thu ảnh được gắn với một hệ tọa độ ảnh, một điểm p trong hệ tọa độ thực được biểu diễn dưới dạng véc tơ 𝑝K = (𝑝K(, 𝑝K!, 𝑝K))/, trong hệ tọa độ ảnh cũng có dạng véc tơ 𝑝9 = (𝑝9(, 𝑝9!, 𝑝9))/, mối quan hệ giữa 2 véc tơ 𝑝K và 𝑝9 được biến đổi bằng một ma trận dịch chuyển 𝑇 ∈ ℝ) và một ma trận quay 𝑅 ∈ ℝ)4):
𝑝9 = 𝑅𝑝K+ 𝑇 (2-71)
Xét trong hệ tọa độ của máy ảnh, mối quan hệ giữa tọa độ điểm trong không gian 3 chiều và tọa độ ảnh 2 chiều của phép chiếu bằng mô hình lỗ nhỏ với công thức (2-69) với 𝜆𝑢 = 𝑝9, mối liên hệ với tọa độ thực với tọa độ ảnh được thể hiện bằng công thức:
𝜆𝑢 = 𝑅𝑝K+ 𝑇 (2-72)
Như vậy, các tham số (R, T) được gọi là các tham số ngoại của máy ảnh biểu diễn vị trí và hướng của máy ảnh so với hệ tọa độ thực.
Giả sử đơn vị đo độ dài trên mặt phẳng ảnh bằng với hệ tọa độ thực, khoảng cách từ tâm hình chiếu đến mặt phẳng ảnh bằng một đơn vị độ dài và gốc của hệ tọa độ ảnh có tọa độ 𝑢( = 0 và 𝑢! = 0. Tuy nhiên trong thực tế, trường hợp này không xảy ra vì đơn vị đo trên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh, còn với hệ toạ độ thực là đơn vị chiều dài (mét, milimet hoặc inch,…), khoảng cách từ tâm chiếu đến mặt phẳng ảnh có thể thay đổi tùy theo từng máy ảnh và theo quy định hệ tọa độ của ảnh là nằm trên cùng bên trái. Ngoài ra, mặt phẳng ảnh có thể bị nghiêng so với mặt mô hình mặt phẳng ảnh lý tưởng, do vậy để thể hiện sự không đồng nhất giữa mô hình lý tưởng và mô hình thực tế, người ta sử dụng một ma trận 𝐾 ∈ ℝ)4) trong phương trình chiếu để mô tả các thông số nội tại của một hệ máy ảnh:
𝜆𝑢 = 𝐾(𝑅𝑝K+ 𝑇) (2-73) Ma trận K có dạng: 𝐾 = §𝑓 𝑠( 𝑓 𝑠L 𝑜 ( 0 𝑓 𝑠! 𝑜! 0 0 1 ¨ (2-74)
Trong đó f là chiều dài tiêu cự (được xác định là khoảng cách giữa tâm chiếu đến mặt phẳng ảnh). Các tham số 𝑠(, 𝑠! là tham số thể hiện tỷ lệ tọa độ thứ nhất và tọa độ thứ 2 do các hệ máy ảnh có kích thước điểm ảnh là hình chữ nhật. Tham số 𝑠L để bù cho mặt phẳng ảnh bị nghiêng. (𝑜(, 𝑜!)/ là tọa độ ảnh của giao điểm của đường thẳng đứng trong tọa độ máy ảnh với mặt phẳng ảnh, điểm này gọi là tâm ảnh hoặc điểm chính. Các tham số của ma trận K không phụ thuộc vào các vị trí đặt máy ảnh so với vật mà nó thể hiện các đặc tính vật lý liên quan đến thiết kế cơ học và quang học của máy ảnh. Nếu không có sự điều chỉnh khoảng cách giữa các thành phần linh kiên trong máy ảnh, thì ma trận K không thay đổi, do vậy chúng ta chỉ cần xác định thông qua quá trình hiệu chuẩn ban đầu và được sử dụng trong suốt quá trình tính toán sau này mà không cần phải thực hiện lại. Như vậy sau khi xác định được ma trận K thì ta cũng đã có được phương trình (2-73) thể hiện mối quan hệ của một điểm 3 chiều trong tọa độ thực với tọa độ ảnh 2 chiều.
Với mỗi điểm ảnh có tọa độ 𝑢 = (𝑢(, 𝑢!, 1)/ theo hình 2-20 và công thức (2-53)
𝐿 = {𝑝 = 𝑞< + 𝜆𝜐 ∶ 𝜆 ∈ ℝ} ta luôn xác định được một đường thẳng duy nhất nối với tâm chiếu, để tính toán tọa độ 3D của một điểm ảnh là cần xác các tham số trong hệ phương trình này. Như ta đã biết, với mỗi một điểm trong hệ tọa độ thực luôn nằm trên một đường thẳng nối dài từ tâm chiếu đi qua mặt phẳng ảnh, do đó để thể hiện tọa độ của một điểm thực đó từ công thức (2-32) ta có thể viết lại:
𝑝K = (−𝑅/𝑇) + 𝜆(𝑅/𝑢) (2-75)
Với 𝑅8( = 𝑅/. Từ công thức (2-53) và công thức (2-75) ta rút ra kết luận đường thẳng đi qua một điểm q có tọa độ trong hệ tọa độ thực là 𝑞K = −𝑅/𝑇 nếu q là tâm chiếu và véc tơ 𝜈 trong hệ toạ độ thực là 𝑣K = 𝑅/𝑢.
Hình 2-24 Mặt phẳng ảnh được xác định bởi đường thẳng trên ảnh và tâm chiếu
Một đường thẳng trên ảnh được biểu diễn bằng 8 tham số trên tọa độ ảnh qua công thức sau:
Trong đó 𝑙 = (𝑙(, 𝑙!, 𝑙))/ là một véc tơ với 𝑙( ≠ 0 hoặc 𝑙! ≠ 0, khi sử dụng hệ chiếu sáng để chiếu các vân lên bề mặt vật quét sẽ bao gồm các đường theo chiều dọc và chiều ngang, do đó ta có thể biểu diễn đường thẳng nằm ngang dưới dạng:
𝐿M = {𝑢: 𝑙/𝑢 = 𝑢!− 𝜗 = 0} (2-77)
Trong đó 𝜗 là tọa độ thứ 2 của một điểm trên đường thẳng. Trong trường hợp này ta có thể coi 𝑙 = (0, 1, −𝜗 )/. Tương tự như vậy đối với đường thẳng nằm đứng:
𝐿N = {𝑢: 𝑙/𝑢 = 𝑢(− 𝜗 = 0} (2-78)
Trong đó 𝜗 là tọa độ thứ 1 của một điểm trên đường thẳng. Trong trường hợp này ta có thể coi 𝑙 = (1, 0, −𝜗 )/. Từ đó ta có thể xác định được 1 mặt phẳng duy nhất tạo bởi đường thẳng L và gốc chiếu. Với mỗi điểm ảnh với tọa độ ảnh u trên đường thẳng L, đường thẳng sẽ luôn bao gồm một điểm thuộc mặt phẳng P và tâm chiếu. Giả sử p là điểm trên mặt phẳng P với gốc tọa độ thực 𝑝K chiếu lên một điểm ảnh với tọa độ ảnh là u. Vì hai véc tơ này thỏa mãn công thức (2-31) 𝜆𝑢 = 𝑅𝑝K + 𝑇 và véc tơ u thỏa mãn điều kiện trong đường thằng L nên ta có:
0 = 𝜆𝑙/𝑢 = 𝑙/(𝑅𝑝K + 𝑇 ) = (𝑅/𝑙)/{𝑝K− (−𝑅/𝑇)| (2-79) Như vậy, mặt phẳng P biểu diễn bằng theo công thức (2-54) với 𝑃 = x𝑝: 𝑛/{𝑝 − 𝑞G | = 0y có thể xác định với n là véc tơ với tọa độ thực 𝑛K = 𝑅/𝑙 và điểm q là tâm chiếu với tọa độ thực 𝑞K = −𝑅/𝑇.