Lúc đầu ta chỉ xét các hệ phương trình vi phân cấp một được giải theo đạo hàm của các hàm chưa biết. Các hệ phương trình ta xem xét sau đây là hệ phương trình tuyến tính, nghĩa là chúng được viết dưới dạng:
y10 = a11y1 +a12y2 +...+a1nyn+ g1(t) ... ... ... yn0 = an1y1 +an2y2 +...+annyn +gn(t) (1.19)
trong đó y1, ..., yn là các hàm chưa biết, a11, ..., ann là các hệ số không đổi và g1(t), ..., gn(t) là các hàm liên tục đã biết. Nếu g1 = ... = gn = 0,
thì hệ tương ứng (1.19) được gọi là hệ thuần nhất. Cấu trúc của (1.19) cho thấy cách viết tốt hơn là sử dụng ký hiệu ma trận vectơ. Ta kí hiệu y = (y1, ..., yn),g = (g1, ..., gn) và A = {aij}1≤i,j≤n, tức là A = a11 · · · a1n ... ... an1 · · · ann , có thể viết (1.19) một cách ngắn gọn như sau:
y0 = Ay+g. (1.20)
Ở đây ta có n hàm chưa biết và hệ kéo theo đạo hàm cấp một của mỗi hàm đó sao cho (1.20) kết hợp với các điều kiện ban đầu sau đây:
y(t0) = y0, (1.21)
hoặc ở dạng mở rộng
y1(t0) = y10, ..., yn(t0) =yn0, (1.22) với t0 là một giá trị tùy ý và y0 = (y01, ..., yn0) là một vectơ.
Như đã lưu ý trong phần giới thiệu, hệ phương trình cấp một có liên quan chặt chẽ với các phương trình cấp cao. Cụ thể, phương trình tuyến tính cấp n
y(n) +an−1y(n−1) +...+ a1y0 +a0y = g(t) (1.23) có thể viết được như một hệ tuyến tính của n phương trình cấp một bằng cách đặt các biến mới z1 = y, z2 = y0 = z10, z3 = y00 = z20, ..., zn = y(n−1) = zn0−1 sao cho zn0 = y(n) và (1.23) trở thành z10 = z2, z20 = z3, ... ... zn0 = −an−1zn −an−2zn−1 −...−a0z1 +g(t).
Để ý rằng nếu (1.23) được bổ sung các điều kiện ban đầu y(t0) = y0, y0(t0) = y1, ..., y(n−1)(t0) = yn−1, thì những điều kiện này sẽ trở thành điều kiện ban đầu của hệ như z1(t0) = y0, z2(t0) = y1, ..., zn(t0) = yn−1. Do đó, tất cả các kết quả ta chứng minh ở đây cũng có liên quan đến phương trình vi phân cấp n.
Trong một số trường hợp, đặc biệt khi phải đối mặt với hệ phương trình vi phân đơn giản, thì việc trở lại phương pháp và chuyển hệ thành phương trình đơn hoặc cấp cao hơn thay vì áp dụng trực tiếp một phương pháp phức tạp cho hệ ban đầu. Có thể minh họa nhận xét này bằng ví dụ sau. Ví dụ 1.4.1. Xét hệ phương trình:
y10 = a11y1 +a12y2
y20 = a21y1 +a22y2 (1.24) Đầu tiên, lưu ý rằng nếua12 hoặc a21 bằng 0 thì hai phương trình không tách ra được. Ví dụ, nếu a12 = 0 thì phương trình đầu không chứa y2 và có thể giải cho y1 và nghiệm này có thể được chèn vào phương trình hai để trở thành một phương trình không thuần nhất cấp một đối với y2.
Giả sử a12 6= 0. Tiến hành khử y2 khỏi phương trình đầu. Lấy đạo hàm cả hai vế, ta được
y100 = a11y10 + a12y02, do đó, sử dụng phương trình thứ hai,
y100 = a11y10 +a12(a21y1 + a22y2).
Để khử y2 còn lại, dùng phương trình đầu một lần nữa ta được
y2 = a−121(y01 −a11y1), (1.25) y100 = (a11+a22)y10 + (a12a21−a22a11)y1
đó là một phương trình tuyến tính cấp hai. Nếu ta có thể giải nó tìm y1, sử dụng lại (1.25) để tìm y2.
Tuy nhiên, đối với các hệ lớn hơn, quy trình này trở nên khá cồng kềnh trừ khi ma trận A của các hệ số có cấu trúc đơn giản.