Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa như sau:
Qd = a−bP,(a > 0, b > 0) (2.3) Qs = −c+ dP,(c > 0, d > 0) (2.4)
Khi đó giá cân bằng (Giá khi Qs = Qd) là một số dương: ¯
P = a+c b+d
Nếu tại thời điểm xuất phát t = 0 giá P(0) đúng bằng giá cân bằng ¯
P thì thị trường đã ở trạng thái cân bằng. Nhưng nếu P(0) 6= ¯P thì phải sau một thời gian điều chỉnh thị trường mới có thể tiến tới trạng thái cân bằng. Trong khoảng thời gian đó cả giá P, lượng cầu Qd và lượng cung Qs đều thay đổi, do đó ta xem cả giá và lượng là các hàm số của thời gian t. Vấn đề được đặt ra như sau: Nếu có đủ thời gian để điều chỉnh thì liệu thị trường có tiến tới trạng thái cân bằng hay không? Tức là P(t) có hội tụ đến P¯ hay không khi t→ +∞?
Để trả lời câu hỏi này ta lập quỹ đạo thời gian của giá cả, tức là thiết lập hàm số P = P(t). Để cho đơn giản ta giả thiết rằng tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng chênh lệch giữa cung và cầu Qd −Qs tại mọi thời điểm:
dP
dt = δ(Qd −Qs),(δ > 0) (2.5) Hằng số δ được gọi là hệ số điều chỉnh. Chú ý rằng trong phương trình (2.5), dP
dt = 0 khi và chỉ khi Qd = Qs. Thay (2.3), (2.4) vào (2.5) ta được: dP
dt = δ(a+c)−δ(b+d)P
⇔ dP
dt + δ(b+d)P = δ(a+c) (2.6) Phương trình (2.6) là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Giải phương trình này ta được:
P(t) = [P(0)−P¯]e−δ(b+d)t + ¯P trong đó P¯ là trạng thái cân bằng:
¯
P = a+c b+d
Do δ(b+ d) > 0 nên [P(0)−P¯]e−δ(b+d)t + ¯P → 0 khi t → +∞. Như vậy, mô hình trên đây cho thấy P(t) →P¯ khi t →+∞, tức là trạng thái cân bằng P¯ là trạng thái ổn định.