Các hệ phương trình phi tuyến tương tự (2.26) xuất hiện trong nhiều ứng dụng. Một trong những mô hình nổi tiếng nhất là Lotka-Volterra, hay mô hình săn mồi, được xây dựng để giải thích lý do tại sao việc đánh bắt giảm trong thế chiến thứ nhất với số lượng cá mập tăng đáng kể.Ta sẽ mô tả nó bằng ví dụ ban đầu về tương tác cá mập - cá nhỏ. Để mô tả mô hình, ta xét hai quần thể: cá mập và cá nhỏ hơn, với các yếu tố ảnh hưởng sau:
(i) Quần thể cá và cá mập thể hiện sự tặng trưởng theo cấp số nhân. Tuy nhiên, tốc độ tăng trưởng của cá mập khi không có các loại cá nhỏ là âm do thiếu thức ăn.
(ii) Các loại cá nhỏ bị cá mập săn mồi dẫn đến suy giảm quần thể cá. Giả sử rằng mỗi con cá mập ăn một phần không đổi trong quần thể cá.
(iii) Quần thể cá mập tăng nếu có nhiều cá nhỏ. Số lượng cá mập tăng thêm tỉ lệ với số lượng cá nhỏ có sẵn.
(iv) Cả cá nhỏ và cá mập đang bị đánh bắt bừa bài, nghĩa là số lượng cá mập và cá nhỏ mà ngư dân đánh bắt tỉ lệ thuận với quần thể cá mập và cá nhỏ hiện nay, với hằng số tỉ lệ tương tự.
Nếu kí hiệu x và y lần lượt là kích thước của quần thể cá nhỏ và cá mập, tương tự (2.26) ta có hệ phương trình sau:
dx dt = (r −f)x−αxy dy dt = −(s+f)y +βxy. (2.27) với α, β, r, s, f là các hằng số dương.
KẾT LUẬN
Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, tôi thấy đã đạt được một số kết quả cụ thể như sau:
1. Trình bày một cách tỉ mỉ và tương đối đầy đủ các kiến thức cơ sở về phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân cấp hai và hệ phương trình vi phân.
2. Sử dụng các tính chất về phương trình vi phân để xây dựng một số mô hình thực tế như Mô hình lãi kép liên tục; Mô hình dân số liên tục; một số vấn đề chuyển động trong vật lý; một số Mô hình trong hình học; Mô hình động vật ăn thịt con mồi;...
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã rất cố gắng. Tuy nhiên sẽ không tránh khỏi một số thiếu sót trong cách hành văn, trong việc hoàn thành luận văn. Tác giả rất mong quý thầy cô đóng góp để luận văn được hoàn thiện.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội.
[2] Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung (2005), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội.
[4] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân – sai phân, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông.
Tiếng Anh
[5] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathe- matical Modelling.
[6] N. Piskunov, English Translation (1981),Differential and Integral Cal- culus II, Mir Publisher.
[7] David Lomen, David LoveLock – NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.