Nhiều ngân hàng hiện đang quảng cáo về lãi kép liên tục, nghĩa là thời gian chuyển đổi α có xu hướng bằng 0 để tiền lãi được thêm vào tài khoản trên cơ sở liên tục (số α được giải thích sau). Nếu ta đo thời gian bằng năm, S(t) là hàm tiết kiệm, ∆t trở thành kỳ chuyển đổi và p là lãi suất hằng năm, thì sự gia tăng tiền gửi giữa thời điểm t và t+ ∆t là
S(t+ ∆t) = S(t) + ∆t p 100S(t)
chia cho ∆t với ∆t tiến đến 0, ta có phương trình vi phân: dS
dt = ¯pS, (2.1)
với p¯= p/100. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Dễ dàng để kiểm tra nghiệm của (2.1) là:
S(t) =S0ept¯ (2.2)
với S0 là tiền gửi ban đầu tại thời điểm t = 0.
So sánh công thức này với công thức được xây dựng bằng phương trình sai phân, lưu ý rằng trong t năm ta có k = t/α kỳ chuyển đổi
S(t) =Nk = (1 + ¯pα)kS0 = (1 + ¯pα)t/αS0 = ((1 + ¯pα)1/pα¯ )pt¯ S0. Mà lim
x→0+(1 +x)1/x = e và là chuỗi đơn điệu tăng. Do đó, nếu lãi được gộp thường xuyên (gần như liên tục) thì thực tế:
S(t) =S0ept¯,
đúng với (2.1). Thông thường, số mũ có thể được tính ngay cả trên máy tính đơn giản. Do tính đơn điệu của giới hạn, lãi kép liên tục là mức lãi suất tốt nhất có thể nhận được, và đó là lý do tại sao các ngân hàng quảng
cáo nó. Tuy nhiên, sự khác biệt trong lợi nhuận là không đáng kể. Ví dụ như nếu một người đầu tư R = 10000 với p= 15% vào các ngân hàng với kỳ chuyển đổi 1 năm, 1 ngày và với lãi kép liên tục thì lợi nhuận sẽ lần lượt là R = 11500, R = 11618, R = 11618.3.