Phương trình vi phân cấp hai xuất hiện trong nhiều ứng dụng liên quan đến dao động xảy ra do sự tồn tại của một lực đàn hồi trong hệ thống. Lý do của điều này là do lực đàn hồi, ít nhất là đối với sự dịch chuyển nhỏ, tỉ lệ với sự dịch chuyển sao cho theo định luật hai Newton:
với k là hằng số. Nói chung, có một lực hãm (do sức cản của môi trường chẳng hạn) và một số lực bên ngoài, khi đó phương trình đầy đủ cho dao động được viết dưới dạng:
y00 +cy0 +ky = F(t). (2.12)
Hình 1. Dao động cưỡng bức: trường hợp không cộng hưởng với ω0 = 0.5
và ω = 0.4 (đường nét đứt), ω = 0.45 (đường chấm chấm) và ω = 0.49
(đường liền nét). Lưu ý rằng sự gia tăng biên độ dao động như tần số ngoại lực tiếp cận tần số tự nhiên của hệ thống.
Ta sẽ xem xét chi tiết một ví dụ cụ thể của phương trình này mô tả quá trình dao động cưỡng bức. Trong trường hợp này ta có:
y00+ω20y = F0
m cosωt, (2.13)
trong đó ta kí hiệu ω02 = k/m và một lực tuần hoàn F(t) = F0cosωt với cường độ không đổi F0 và chu kì ω.
Phương trình đặc trưng là λ2 +ω20 = 0 cho ta nghiệm ảo λ1,2 = ±iω0 và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y0(t) =C1cosω0t+C2sinω0t.
Tần số ω0 được gọi là tần số tự nhiên của hệ thống. Trường hợp ω 6= ω0 cho một nghiệm riêng:
yp(t) = F0
Khi đó nghiệm tổng quát là:
y(t) = C1cosω0t+C2sinω0t+ F0
m(ω02 −ω2) cosωt, (2.14) đó là nghiệm thu được dưới dạng tổng của hai chuyển động định kỳ, như Hình 1. Mặc dù không có gì bất thường ở đây, chúng ta có thể cảm nhận rằng một sự cố đang xảy ra - nếu tần số tự nhiên của hệ thống gần với tần số của ngoại lực, thì biên độ dao động có thể trở nên rất lớn, vì mẫu số trong số hạng cuối cùng của (2.14) là rất nhỏ. Trong trường hợp ω0 = ω, ta chuyển đổi F(t) = F0cosωt = F0cosω0t = F0(eiω0t +e−iω0t)/2 và tìm nghiệm riêng có dạng yp(t) = t(Aeiω0t +Be−iω0t). Ta được:
yp0(t) = Aeiω0t + Be−iω0t +tiω0(Aeiω0t −Be−iω0t) y00p(t) = 2iω(Aeiω0t −Be−iω0t)−tω20(Aeiω0t+ Be−iω0t).
Hình 2. Dao động cưỡng bức: trường hợp cộng hưởng. Biên độ dao động tăng đến vô cùng.
Thay vào phương trình và so sánh hệ số ta tìm đượcA = −F0/(4miω0), B = F0/(4miω0) khi đó: yp(t) =t. F0 2mω0 eiω0t −e−iω0t 2i = F0 2mω0tsinω0t và nghiệm tổng quát là:
y(t) = C1cosω0t+ C2sinω0t+ F0
2mω0tsinω0t.
ví dụ này là ngay cả lực nhỏ cũng có thể tạo ra dao động rất lớn trong hệ thống nếu tần số của nó bằng hoặc thậm chí chỉ rất gần với tần số tự nhiên của hệ thống. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng và là nguyên nhân của một số vụ sập công trình, như vụ sập cầu Tacoma ở Mỹ (dao động do gió) và cầu treo Broughton ở Anh (dao động gây ra bởi những người lính diễu hành).
Ngoài ra, phương trình vi phân cấp hai thường xuất hiện như phương trình chuyển động. Điều này là do định luật Newton liên quan đến gia tốc của cơ thể, nghĩa là, đạo hàm cấp hai tại vị trí y theo thời gian t với khối lượng cơ thể m và lực F tác dụng lên nó:
d2y dt2 = F
m. (2.15)
Ta giới hạn ở đây trong trường hợp vô hướng, một chiều với thời gian không phụ thuộc khối lượng. Mô hình trong trường hợp như vậy liên quan đến lực tác động lên cơ thể . Ta sẽ xét hai trường hợp như vậy một cách chi tiết.
2.3.2. Vấn đề xử lý chất thải
Ở nhiều quốc gia, chất độc hoặc chất thải phóng xạ được xử lý bằng cách đặt vào thùng kín rồi đổ ra biển. Vấn đề là những chiếc thùng này có thể bị nứt do tác động của việc đánh vào đáy biển. Các thí nghiệm xác nhận rằng các chiếc thùng thực sự có thể bị nứt nếu vận tốc vượt quá 12m/s tại thời điểm va chạm. Vấn đề được đặt ra là phải tìm được vận tốc của thùng khi nó chạm đáy biển. Vì thông thường, việc xử lý chất thải diễn ra ở biển sâu và đo trực tiếp thì rất tốn kém. Tuy vậy, vấn đề có thể được giải quyết bằng mô hình toán học. Khi một chiếc thùng rơi xuống nước, nó bị tác động bởi ba lực W, B, D. W là trọng lực của thùng kéo nó xuống và được tính bằng công thức W = mg trong đó g là gia tốc trọng trường và m là khối lượng của thùng. Lực nổi B là lực của nước dịch chuyển tác động lên thùng và cường độ của nó bằng trọng lượng của nước bị dịch chuyển, nghĩa là B = gρV, trong đó ρ là tỉ trọng của nước biển, V là thể tích của thùng. Nếu như tỉ trọng của thùng (cùng với thể tích của
nó) nhỏ hơn tỉ trọng của nước, thì dĩ nhiên thùng sẽ nổi. Do đó hợp lý khi giả định rằng thùng nặng hơn nước bị dịch chuyển và nó sẽ bắt đầu bị nhấn chìm với gia tốc không đổi. Các thí nghiệm cho chúng ta biết rằng bất kỳ vật thể nào di chuyển qua môi trường như nước, không khí,. . . đều gặp một số lực cản gọi là phản lực. Rõ ràng, phản lực luôn tác động ngược chiều với chiều chuyển động và cường độ của nó tăng theo vận tốc tăng dần. Các thí nghiệm cũng cho thấy rằng, trong một môi trường như môi trường nước với vận tốc nhỏ, phản lực tỉ lệ với vận tốc, vì vậy D = cV. Nếu ta đặt y = 0 ở mực nước biển và chiều tăng của y hướng xuống dưới, thì từ (2.15) ta có: d2y dt2 = 1 m W −B −cdy dt . (2.16)
Đây là một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.