Trong tiểu mục này, ta nghiên cứu phương trình vi phân cấp một xuất hiện trong lý thuyết tăng trưởng dân số. Thoạt nhìn, dường như không thể mô hình hóa sự tăng trưởng của các loài bằng phương trình vi phân vì quần thể của bất kỳ loài nào cũng luôn thay đổi theo số nguyên. Do đó, quần thể của bất kỳ loài nào có thể không bao giờ là hàm lấy vi phân được theo thời gian. Tuy nhiên nếu quần thể lớn và "tăng thêm một cá thể" thì sự thay đổi là rất nhỏ so với quần thể ban đầu. Vậy nên ta thực hiện phép xấp xỉ rằng nếu quần thể lớn thay đổi liên tục (thậm chí khả vi) theo thời gian và nếu kết quả cuối cùng không nguyên, ta làm tròn thành số nguyên gần nhất. Xem t như một biến thực, nếu không có mùa sinh sản cụ thể, sinh sản có thể xảy ra bất cứ lúc nào đối với quần thể thì việc sinh sản được xem là xảy ra liên tục.
Cho N(t) là kích thước của một quần thể của một loài bị cô lập tại thời điểm t và ∆t là một khoảng thời gian nhỏ. Khi đó quần thể tại thời điểm t+ ∆t được biểu thị:
N(t+ ∆t)−N(t) = số lượng sinh trong thời gian ∆t − số lượng mất trong thời gian ∆t.
Thật hợp lý khi giả thiết rằng số lượng sinh và tử trong khoảng thời gian ngắn tỉ lệ với số lượng ở đầu của khoảng này và tỉ lệ với độ dài của khoảng này. Lấy r(t, N) là chênh lệch giữa các hệ số tỉ lệ sinh và tử tại
thời điểm t đối với quần thể kích thước N ta có:
N(t+ ∆t)−N(t) = r(t, N(t))∆tN(t). Chia cho ∆t với ∆t →0 ta được phương trình:
dN
dt = r(t, N)N. (2.7)
Do hệ số chưa biết r(t, N) phụ thuộc vào hàm chưa biết N nên phương trình này không thể giải được, do đó r phải được suy ra bằng cách khác.
Đơn giản nhất có thể r(t, N) là một hằng số và trên thực tế, một mô hình như vậy được sử dụng trong dự báo dân số ngắn hạn. Vì vậy, ta giả sử r(t, N) =r sao cho:
dN
dt = rN. (2.8)
Giống như phương trình (2.1), nghiệm tổng quát của (2.8) được cho bởi: N(t) =N(t0)er(t−t0)
(2.9) với N(t0) là kích thước quần thể tại thời điểm cố định ban đầu t0.
Có thể đưa ra minh họa bằng số cho phương trình này, ta cần hệ số r và dân số tại thời điểm t0. Sử dụng dữ liệu của bộ Thương mại Hoa Kỳ: ước tính dân số Trái Đất năm 1965 là 3.34 tỉ và dân số đang tăng với tốc độ trung bình 2% mỗi năm trong thập niên 1960-1970. Do đó N(t0) =N(1965) = 3.34×109 với r = 0.02 và (2.9) có dạng:
N(t) = 3.34×109e0.02(t−1965). (2.10) Để kiểm tra độ chính xác của công thức này, ta hãy tính toán khi dân số Trái Đất dự kiến tăng gấp đôi. Ta có
N(T +t0) = 2N(t0) =N(t0)e0.02T, do đó
2 = e0.02T và
T = 50 ln 2 ≈34.6 năm.
Đây là sự phù hợp tuyệt vời với giá trị quan sát hiện tại của dân số Trái Đất và cũng đưa ra một thỏa thuận tốt với dự liệu được quan sát nếu ta không đi sâu vào quá khứ.
Mặt khác, nếu ta cố gắng ngoại suy mô hình này vào một tương lai xa, ta sẽ thấy rằng, vào năm 2515, dân số sẽ đạt 199980 ≈ 200000 tỷ. Để nhận ra ý nghĩa của nó, hãy nhớ lại rằng tổng diện tích bề mặt Trái Đất là 167400 tỷ mét vuông, 80% bề mặt là nước, do đó chúng ta chỉ có 33480 tỷ mét vuông để tùy ý sử dụng và sẽ chỉ có 0,16m2(40cm × 40cm) /1 người. Do đó, ta chỉ có thể hy vọng rằng mô hình này là không hợp lý cho tất cả các lần. Thật vậy, đối với các mô hình rời rạc người ta nhận thấy rằng mô hình tuyến tính cho sự tăng trưởng dân số là thỏa đáng miễn là dân số không quá lớn. Khi dân số rất lớn (liên quan đến môi trường sống của nó) các mô hình không thể hoàn toàn chính xác vì chúng không phản ánh thực tế rằng các cá thể riêng lẻ phải cạnh tranh với nhau về không gian sống, tài nguyên và thực phẩm có sẵn. Điều hợp lý là một môi trường sống nhất định chỉ có thể duy trì số lượng K hữu hạn của các cá thể và số lượng càng gần con số này thì tốc độ tăng trưởng càng chậm. Lại có, cách đơn giản nhất để tính đến điều này là lấy r(t, N) = r(1− N
K) và ta có mô hình logistic liên tục:
dN
dt = rN(1− N
K) (2.11)
được chứng minh là một trong những mô hình thành công nhất để mô tả một quần thể loài riêng lẻ. Phương trình này vẫn là phương trình cấp một nhưng là một phương trình phi tuyến (hàm chưa biết xuất hiện dưới dạng đối số của hàm phi tuyến rx(1−x/K)). Giải phương trình (2.11) ta được:
N(t) = K αe−rt+ 1
với α là hằng số. Rõ ràng khi t → +∞, N(t) → K, tức là khi t đủ lớn, kích thước quần thể sẽ đạt đến ngưỡng K.
Ta cũng rút ra từ (2.11) một kết luận khá quan trọng trong ngành đánh bắt cá (hoặc các động vật khác). Ý tưởng cơ bản của nền kinh tế bền vững là tìm ra mức tối ưu giữa thu hoạch quá nhiều, điều đó sẽ làm suy giảm số lượng động vật vượt quá khả năng phục hồi, trong trường hợp đó, ngành công nghiệp sẽ không nhận đủ lợi nhuận. Rõ ràng là để duy trì số lượng động vật ở mức không đổi, chỉ có sự gia tăng thì nên được thu hoặc ở bất
kỳ mùa nào. Do đó, để tối đa hóa thu hoạch, quần thể nên được giữ ở kích thước N với tốc độ tăng trưởng dN/dt là tối đa. Tuy nhiên, dN/dt được cho bởi vế phải của (2.11) là một hàm bậc hai của N. Dễ thấy rằng, mức tối đa đạt được là N = K/2, Hơn nữa, giá trị lớn nhất của dN/dt được cho bởi: dN dt max = rK 4
và đây là tốc độ tối đa có thể được thu hoạch, nếu quần thể được giữ ở kích thước không đổi K/2.
Lưu ý rằng, cùng một phương trình (về mặt toán học), phương trình (2.11) có thể được lấy làm mô hình cho một quá trình hoàn toàn khác: truyền bá thông tin trong cộng đồng có kích thước cố định. Giả sử ta có một cộng đồng (quần xã) kích thước C và N thành viên của cộng đồng này có thông tin quan trọng. Làm thể nào để truyền thông tin một cách nhanh chóng? Để tìm một phương trình chi phối quá trình này ta giả định như sau: Thông tin được truyền khi một người biết nó gặp một người không biết. Giả sử tỉ lệ một người gặp người khác là hằng số f sao cho trong khoảng thời gian ∆t người này sẽ gặp f∆t người và trung bình có ∆tf(C −N)/C người không biết tin tức. Nếu N người có thông tin tại thời điểm t thì mức tăng sẽ là:
N(t+ ∆t)−N(t) =f N(t) 1− N(t) C ∆t Vì vậy, giống với công thức (2.11):
dN dt = f N 1− N C . 2.3. Một số phương trình chuyển động
2.3.1. Quá trình dao động cưỡng bức
Phương trình vi phân cấp hai xuất hiện trong nhiều ứng dụng liên quan đến dao động xảy ra do sự tồn tại của một lực đàn hồi trong hệ thống. Lý do của điều này là do lực đàn hồi, ít nhất là đối với sự dịch chuyển nhỏ, tỉ lệ với sự dịch chuyển sao cho theo định luật hai Newton:
với k là hằng số. Nói chung, có một lực hãm (do sức cản của môi trường chẳng hạn) và một số lực bên ngoài, khi đó phương trình đầy đủ cho dao động được viết dưới dạng:
y00 +cy0 +ky = F(t). (2.12)
Hình 1. Dao động cưỡng bức: trường hợp không cộng hưởng với ω0 = 0.5
và ω = 0.4 (đường nét đứt), ω = 0.45 (đường chấm chấm) và ω = 0.49
(đường liền nét). Lưu ý rằng sự gia tăng biên độ dao động như tần số ngoại lực tiếp cận tần số tự nhiên của hệ thống.
Ta sẽ xem xét chi tiết một ví dụ cụ thể của phương trình này mô tả quá trình dao động cưỡng bức. Trong trường hợp này ta có:
y00+ω20y = F0
m cosωt, (2.13)
trong đó ta kí hiệu ω02 = k/m và một lực tuần hoàn F(t) = F0cosωt với cường độ không đổi F0 và chu kì ω.
Phương trình đặc trưng là λ2 +ω20 = 0 cho ta nghiệm ảo λ1,2 = ±iω0 và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y0(t) =C1cosω0t+C2sinω0t.
Tần số ω0 được gọi là tần số tự nhiên của hệ thống. Trường hợp ω 6= ω0 cho một nghiệm riêng:
yp(t) = F0
Khi đó nghiệm tổng quát là:
y(t) = C1cosω0t+C2sinω0t+ F0
m(ω02 −ω2) cosωt, (2.14) đó là nghiệm thu được dưới dạng tổng của hai chuyển động định kỳ, như Hình 1. Mặc dù không có gì bất thường ở đây, chúng ta có thể cảm nhận rằng một sự cố đang xảy ra - nếu tần số tự nhiên của hệ thống gần với tần số của ngoại lực, thì biên độ dao động có thể trở nên rất lớn, vì mẫu số trong số hạng cuối cùng của (2.14) là rất nhỏ. Trong trường hợp ω0 = ω, ta chuyển đổi F(t) = F0cosωt = F0cosω0t = F0(eiω0t +e−iω0t)/2 và tìm nghiệm riêng có dạng yp(t) = t(Aeiω0t +Be−iω0t). Ta được:
yp0(t) = Aeiω0t + Be−iω0t +tiω0(Aeiω0t −Be−iω0t) y00p(t) = 2iω(Aeiω0t −Be−iω0t)−tω20(Aeiω0t+ Be−iω0t).
Hình 2. Dao động cưỡng bức: trường hợp cộng hưởng. Biên độ dao động tăng đến vô cùng.
Thay vào phương trình và so sánh hệ số ta tìm đượcA = −F0/(4miω0), B = F0/(4miω0) khi đó: yp(t) =t. F0 2mω0 eiω0t −e−iω0t 2i = F0 2mω0tsinω0t và nghiệm tổng quát là:
y(t) = C1cosω0t+ C2sinω0t+ F0
2mω0tsinω0t.
ví dụ này là ngay cả lực nhỏ cũng có thể tạo ra dao động rất lớn trong hệ thống nếu tần số của nó bằng hoặc thậm chí chỉ rất gần với tần số tự nhiên của hệ thống. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng và là nguyên nhân của một số vụ sập công trình, như vụ sập cầu Tacoma ở Mỹ (dao động do gió) và cầu treo Broughton ở Anh (dao động gây ra bởi những người lính diễu hành).
Ngoài ra, phương trình vi phân cấp hai thường xuất hiện như phương trình chuyển động. Điều này là do định luật Newton liên quan đến gia tốc của cơ thể, nghĩa là, đạo hàm cấp hai tại vị trí y theo thời gian t với khối lượng cơ thể m và lực F tác dụng lên nó:
d2y dt2 = F
m. (2.15)
Ta giới hạn ở đây trong trường hợp vô hướng, một chiều với thời gian không phụ thuộc khối lượng. Mô hình trong trường hợp như vậy liên quan đến lực tác động lên cơ thể . Ta sẽ xét hai trường hợp như vậy một cách chi tiết.
2.3.2. Vấn đề xử lý chất thải
Ở nhiều quốc gia, chất độc hoặc chất thải phóng xạ được xử lý bằng cách đặt vào thùng kín rồi đổ ra biển. Vấn đề là những chiếc thùng này có thể bị nứt do tác động của việc đánh vào đáy biển. Các thí nghiệm xác nhận rằng các chiếc thùng thực sự có thể bị nứt nếu vận tốc vượt quá 12m/s tại thời điểm va chạm. Vấn đề được đặt ra là phải tìm được vận tốc của thùng khi nó chạm đáy biển. Vì thông thường, việc xử lý chất thải diễn ra ở biển sâu và đo trực tiếp thì rất tốn kém. Tuy vậy, vấn đề có thể được giải quyết bằng mô hình toán học. Khi một chiếc thùng rơi xuống nước, nó bị tác động bởi ba lực W, B, D. W là trọng lực của thùng kéo nó xuống và được tính bằng công thức W = mg trong đó g là gia tốc trọng trường và m là khối lượng của thùng. Lực nổi B là lực của nước dịch chuyển tác động lên thùng và cường độ của nó bằng trọng lượng của nước bị dịch chuyển, nghĩa là B = gρV, trong đó ρ là tỉ trọng của nước biển, V là thể tích của thùng. Nếu như tỉ trọng của thùng (cùng với thể tích của
nó) nhỏ hơn tỉ trọng của nước, thì dĩ nhiên thùng sẽ nổi. Do đó hợp lý khi giả định rằng thùng nặng hơn nước bị dịch chuyển và nó sẽ bắt đầu bị nhấn chìm với gia tốc không đổi. Các thí nghiệm cho chúng ta biết rằng bất kỳ vật thể nào di chuyển qua môi trường như nước, không khí,. . . đều gặp một số lực cản gọi là phản lực. Rõ ràng, phản lực luôn tác động ngược chiều với chiều chuyển động và cường độ của nó tăng theo vận tốc tăng dần. Các thí nghiệm cũng cho thấy rằng, trong một môi trường như môi trường nước với vận tốc nhỏ, phản lực tỉ lệ với vận tốc, vì vậy D = cV. Nếu ta đặt y = 0 ở mực nước biển và chiều tăng của y hướng xuống dưới, thì từ (2.15) ta có: d2y dt2 = 1 m W −B −cdy dt . (2.16)
Đây là một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.
2.3.3. Chuyển động trong trường hấp dẫn thay đổi
Theo định luật hấp dẫn của Newton, hai vật thể có khối lượng m và M hút nhau bằng lực có cường độ:
F = GmM d2
trong đó G là hằng số hấp dẫn và d là khoảng cách giữa tâm các vật thể. Vì ở bề mặt Trái Đất (theo định nghĩa) lực bằng với F = mg, nên lực hấp dẫn tác dụng lên một vật có khối lượng m ở khoảng cách y so với bề mặt được cho bởi:
F = − mgR
2
(y+ R)2,
trong đó dấu trừ cho thấy lực tác động đến tâm Trái Đất. Do đó ta có phương trình chuyển động của một vật có khối lượng m được chiếu lên từ bề mặt là: md 2y dt2 = − mgR 2 (y+ R)2 −c dy dt 2
ở đây số hạng cuối cùng đại diện cho sức cản không khí, trong trường hợp này được lấy theo tỉ lệ bình phương vận tốc của vật thể. Đây là một phương trình vi phân phi tuyến cấp hai.
2.4. Một số mô hình trong hình học
2.4.1. Đĩa vệ tinh
Trong nhiều ứng dụng như truyền dẫn radar hoặc Tv/radio, điều quan trọng là tìm hình dạng của bề mặt phản xạ các tia tới song song vào một điểm duy nhất, gọi là tiêu điểm. Ngược lại, việc xây dựng một điểm sáng cần một bề mặt cần một bề mặt phản xạ các tia sáng đến từ nguồn điểm tạo ra một chùm tia song song. Để tìm một phương trình cho bề mặt thỏa mãn yêu cầu này, ta đặt hệ trục tọa độ sao cho tiêu điểm nằm ở gốc tọa độ và các tia song song với trục x. Bề mặt cần tìm phải có trục đối xứng, tức là nó phải là bề mặt xoay quanh thu được bằng cách xoay một số đường cong C về trục x. Ta phải tìm phương trình y = y(x) củaC. Cho M(x, y) là một điểm tùy ý trên đường cong, tiếp tuyến của đường cong tại M cắt trục x tại T. Theo đó, tam giác T OM là tam giác cân và:
tanOT M\ = tanT M O\ = dy dx
ở đây đạo hàm được tính tại điểm M. Với P là hình chiếu của M trên trục x, ta có:
tanOT M\ = |M P| |T P|,
mà |M P| = y và vì tam giác T OM cân tại O, |T P| = |OT| − |OP| =
|OM| − |OP| = px2 +y2+x. Nên phương trình vi phân của đường cong C là: dy dx = y p x2 +y2 +x. (2.17)
Đây là một phương trình vi phân phi tuyến thuần nhất cấp một.
2.4.2. Đường cong đuổi bắt
Đường đi của một con chó đuổi theo một con thỏ hoặc quỹ đạo của tên lửa tự dẫn đang cố gắng đánh chặn máy bay địch là gì? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên ta phải nhận ra nguyên tắc được sử dụng trong việc kiểm soát cuộc rượt đuổi. Nguyên tắc này là tại bất kỳ thời điểm nào, hướng chuyển động (vectơ vận tốc) đều hướng về phía đối tượng được đuổi theo. Giả định rằng mục tiêu di chuyển với tốc độ v không đổi dọc theo một
đường thẳng để việc đuổi theo diễn ra trên mặt phẳng. Ta gắn hệ tọa độ sao cho mục tiêu di chuyển dọc theo trục y theo chiều dương, bắt đầu từ