Mô hình toán học của CNN gồm tập lớn các phương trình vi phân có liên kết với nhau hình thành nên không gian toán học phong phú, động về kiến trúc thời gian-không gian [44] tuân theo các lý thuyết về ổn định [5]. Phương trình đạo hàm riêng là mô hình điển hình cho mô tả các hiện tượng tương tác động không gian- thời gian xảy ra trong vật lý, hóa học, và sinh học. Mối quan hệ về mặt toán học giữa CNN và PDE đã được nhiều người nghiên cứu đã cho thấy CNN là một mô hình động học cho nhiều tương tác có cấu trúc thời gian-không gian xảy ra trong phương trình đạo hàm riêng.
PDE có thể sai phân thành hệ các phương trình đại số tuyến tính và giải bằng phương pháp thông thường (phương pháp số) và có thể cài đặt trên máy PC. Cho đến nay nhiều phương trình đã được cài đặt thành công đảm bảo về độ chính xác có khả năng áp dụng hiệu quả trong các tính toán khoa học.
Phương pháp sai phân đã chứng tỏ ưu việt trong việc mô hình hóa và giải các phương trình vi phân cũng như phương trình đạo hàm riêng. Bản chất của việc sai phân là thay miền không gian liên tục của hàm bằng một lưới rời rạc với số bước chia đủ nhỏ mà giá trị mỗi điểm trên lưới xấp xỉ với giá trị của điểm tương ứng trong phương trình ban đầu với sai số chấp nhận được. Giữa các điểm chia có các ràng buộc thông qua các phương trình mô tả để tính toán giá trị của từng điểm theo yêu cầu bài toán. Ngoài ra hệ PDE thường có tính chất động theo miền thời gian do vậy quá trình giải các PDE là bài toán động theo bước thời gian. Hạn chế của máy PC là không thể hiện được bước thời gian thực mà chỉ giả định, nghĩa là kết quả tính toán ra sau khoảng thời gian ∆t nào đó là một kết quả tĩnh có thể lưu trữ trong bộ nhớ hoặc file dữ liệu. Kết quả này không thể đưa vào các hệ điều khiển thời gian
thực được.
Qua việc nghiên cứu kiến trúc thời gian-không gian CNN cho thấy hoàn toàn có thể mô tả biểu diễn PDE bằng các thuộc tính động học và khả năng xử lý thời gian thực ở một số khía cạnh sau:
- Các tế bào liên kết cục bộ tạo thành lưới n chiều (n=1,2,3...) tùy theo số chiều của PDE cần giải, các liên kết cục bộ thông qua các trọng số liên kết, trọng số này sẽ thể hiện ràng buộc giữa các điểm trong lưới sai phân của PDE
- Mỗi tế bào trong chip CNN có vai trò tính toán cho một điểm trong lưới sai phân của PDE, như vậy việc tính toán xảy ra song song đồng thời trong toàn không gian sai phân và có tốc độ tính toán cực nhanh so với máy PC, [18],[34,[44].
- Do kiến trúc liên kết cục bộ của các tế bào dẫn đến việc dễ dàng tăng số tế bào trong mạng nhưng vẫn đảm bảo hệ làm việc ổn định. Ưu điểm này vượt trội hơn hẳn so với một số kiến trúc khác khi tăng phần tử xử lý gây ra sự mất ổn định trong mạng. So với xử lý trên máy PC kích thước lớn của không gian tính toán sẽ phải thực hiện nhiều vòng lặp gây ảnh hưởng rất lớn đến tốc độ xử lý và sai số tích luỹ.
- Tín hiệu đưa vào xử lý có thể là tín hiệu analog với các phép toán analogic xử lý trực tiếp nên kết quả đưa ra rất nhanh và dễ dàng đưa ra các thiết bị thứ cấp, hiện nay tốc độ xử lý của tế bào CNN tới 1012 phép tính/giây [3],[34].
- Thời gian tính toán của một tế bào chỉ là thời gian quá độ của mạch điện tế bào (thời gian thay đổi trạng thái của mỗi tế bào) nên chỉ cỡ micro giây có thể áp dụng tính toán cho một hệ động lực thay đổi theo thời gian gần như liên tục. Khả năng này cho phép thiết kế các hệ xử lý động như thị giác máy, nhận dạng mục tiêu di động, theo dõi đa mục tiêu...
- Sau một số lần thực nghiệm tính toán có thể lưu lại các trọng số liên kết như là ”mẫu học” cho hệ như vậy hệ CNN còn có khả năng biết học, một thuộc tính quan trọng của hệ nơ ron để tìm ra mẫu tối ưu cho mỗi bài toán.
- Quá trình xử lý còn thông qua sự hồi tiếp của hệ, nên hệ có khả năng tự điều chỉnh một tính chất rất phù hợp cho việc thiết kế các hệ điều khiển tự động.
các lân cận và lan truyền toàn cục cho toàn hệ. Do đó CNN còn có khả năng lan truyền tín hiệu trong quá trình xử lý. Các tác vụ phân chia thành mức local và global làm cho việc xử lý trong CNN linh hoạt và hiệu quả.
- Mỗi tế bào có một số đầu vào và một đầu ra các đầu vào có thể lấy từ cơ sở dữ liệu, từ các cảm biến, từ bộ nhớ ngoài... tùy theo nhiệm vụ xử lý. đặc biệt CNN có khả năng xử lý dữ liệu dạng LUỒNG. Do vậy nó có các đầu vào rất linh hoạt cho nhiều loại bài toán. Đầu ra cũng có thể đưa ra bộ nhớ lưu trữ hoặc các hệ xử lý thứ cấp thông qua các tín hiệu tương tự hay tín hiệu số.
- Bản chất của việc sử dụng CNN là ta phân rã các điểm sai phân thành từng nút tính toán rời rạc theo không gian và tìm các thông số liên kết cục bộ để xây dựng kiến trúc phần cứng. Tại mỗi điểm nút ta có một tế bào tính toán tương ứng do đó có thể xây dựng được một hệ tính toán song song vật lý thực thi tính toán.
Nhiều phương trình đã được mô phỏng qua các trạng thái hoạt động của hệ CNN khẳng định khả năng giải phương trình đạo hàm riêng trên CNN. Khi triển khai cho mỗi bài toán ta cần nghiên cứu một rõ ràng đầy đủ mối quan hệ giữa mô hình CNN và PDE nhằm xác định đảm bảo hệ CNN thiết kế cho bài toán tương đương với hệ PDE ban đầu.
Trước hết, ta phải xây dựng mô hình toán học mô tả kiến trúc vật lý cho hệ CNN gọi là phương trình sai phân vi phân CNN chuẩn (Cellular Partial Difference Differntial Equation-CPDDE). Sau đó phải chứng minh tính tương đương của phương trình này với phương trình đạo hàm riêng ban đầu. Vấn đề tương đương có thể tách thành hai: Nghiệm của phương trình CPDDE xấp xỉ chấp nhận được về sai số so với nghiệm chính xác của PDE ban đầu; hai mô hình CPDDE và PDE ban đầu tương đương về không gian động học, nghĩa là kiến trúc không gian các tế bào của hệ CNN phải tương ứng với các điểm trên lưới sai phân thu được sau khi rời rạc PDE ban đầu.