2.3.1. Phương pháp định thức
Tìm hạng của A vàA .
- Nếu rank ( A) rank ( A) thì hệ vô nghiệm.
- Nếurank ( A) rank ( A) r . Khi đó tồn tại định thức con D cấp r của ma trận khác không.
Ta bỏ đi tất cả các phương trình không dính đến Dr (m r phương trình). Các ẩn ứng với các cột có dính đến Dr giữ lại bên trái làm ẩn. Các ẩn ứng với cột không dính đến Dr chuyển sang bên phải làm tham số. Khi đó ta có hệ Cramer.
Ví dụ 2.4. Giải hệ phương trình x1 x2 x3 x4 1 2 x1 x2 x3 x4 3 3 x1 2 x2 x 2 x x 3 Xác định A, A 1111 2 1 A 32 22 0 1 1 Tìm r A , r A 11111 2 1 A 3 2 0 1 1 d4 d4 d2 d 3 d3 d2
Suy ra r A r A 2 4 . Do đó tồn tại định thức con cấp 2, 35
D1213
của A ( D1213 là định thức con của ma trận A có được bằng cách lấy các phần tử ở các dòng 1, dòng 2, cột 1 và cột 3). Ta giữ lại hai phương trình đầu. Giữ x1 , x3 làm ẩn và chuyển x2 , x4 sang vế phải làm tham số, ta được
x1x3 1 x2x4 2 x1
x3 3 x2x4
Hệ cuối là hệ Cramer do có định thức của ma trận hệ số chính là
Áp dụng phương pháp Cramer ta được
1x2 x4 x1 3x2 x4 D 1213 1 1 x 2 x4 x3 2 3 x 2 x4 1 x2 x4 D 1213
Vậy nghiệm của hệ là
2.3.2. Phương pháp Gauss x1 2 x1 2 x 2 x 3 x 4
Lập ma trậnA . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưaA về dạng bậc thang. Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Nếu đưaA về dạng ma trận bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1.
Ví dụ 2.5. Giải hệ phương trình
x1 x2 x3 2x4 1 3x2 2x 1 2x2 3x1 Lập ma trận hệ số mở rộngA A A B d3 d3 d2
Vì r A r A 3 4 nên hệ có vô số nghiệ m phụ thuộ c vào 1 tham số.
Ta viết lại hệ x x 2 x 1 x2 x3 x4 1 3x 3 3 Ta giữ x1, x2, x3 x1 x2 x3 1 x3 1 x4 x 2 3x 3 3
Vậy nghiệm của hệ là
2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng
a 11x1 a12x2 a 21x1 a m 1 với dạng ma trận làAX 0 (2). 37
Hệ luôn có nghiệm vì rank ( A ) rank ( A 0 ) rank ( A) .
Bộ số (0,0,…,0) luôn là một nghiệm của hệ gọi là nghiệm tầm thường. Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ. Từ định lý Kronecker-Capelli ta có
- Nếur (A) n thì hệ (2) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường.
- Nếur (A) r n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộcn r tham số, trong đó ẩn chính phụ thuộc tham số. Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của của hệ phương trình (2).
- Cho các tham số những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được nghiệm cơ bản của hệ phương trình (2).
Ví dụ 2.6. Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
Ta có
1 1
2 3
3 5
Vì r A r A 2 4 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số.
Ta viết lại hệ x1x2x3 2 x4 0 x2 x3x4 0 Xem x1 , x2 là ẩn chính và x3, x4 x1 x22 0x1 3 x 2 x 3 x 4
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là Một hệ nghiệm cơ bản của hệ là
Chú ý
Hệ thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn (rank ( A) n) .
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn (m=n) thì ma trận hệ số là ma trận vuông. Khi đó
- Hệ có nghiệm duy nhất tầm thường khi và chỉ khi det A 0 .
- Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det A 0 .
39
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: 2 x y 3z 9 a. 3 x 5 y z 4 b. 4 x 7 y z 5 x x 1 2 c. 2 x1 x2 2 x3 4 4 x1 x 2 4 x3 2 3 x1 4 x2 x3 7 e. x1 2 x2 3 x3 0 x 7 1 x 2 x 1 g. 5 x1 x2 2 x3 29 x 2 x3 10 3 x 1
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau
x1 2 x2 3 x3 2 x4 2 x1 x2 2 x3 3 x4 a. 2 x2 x3 2 x4 3 x 1 2 x1 3 x2 2 x3 x4 2 x1 2 x2 x3 x4 4 4 x1 3 x2 x3 2 x4 c. 5 x2 3 x3 4 x4 12 8 x 1 3 x2 11 x3 5 x4 3 x1
Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số thực m .
mx y z 1 a. x my z 1 x y mz 1 mx y z m 2 x m 1 b. x y mz 1
x
40
Bài 4. Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 x1 x 2 x3 1
x 1 1 x 2 x3
x x 1 x 2
1 2 3
Bài 5. Cho hệ phương trình
x 2 y z 1
2 x m 5 y 2 z 4
x m 3 y m 1 z m 3
a. Tìm m để hệ đã cho là hệ Cramer. Tìm nghiệm trong trường hợp đó. b. Tìm m để hệ trên vô nghiệm.
Bài 6. Cho hệ phương trình
x 2 y z 1
2 x m 5 y 2 z 4
x m 3 y m 1 z m 3
a. Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm trong trường hợp đó. Bài 7. Giải các hệ phương trình thuần nhất sau
x x x x 1 2 a. x1 2 x2 x4 0 x x 3 1 2 x1 x2 x3 x4 0 2 x2 x4 c. x1 x2 3 x3 x 1 Bài 8. Giải hệ 6 x1 3 x2 4 x3 3 x4 a. 3 x1 2 x3 3 x5 0 9 x 3 x 6 x 3 x 1 41
3 x1 6 x2 9 x3 3 x4 6 x5 0 x 1 c. x 2 x 1 2 x
Bài 9. Tìm a để các hệ sau có kinh nghiệm không tầm thường và xác định các nghiệm không tầm thườn đó
2 x y z 0
a. x y 2 z 0
5 x y az 0
CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
3.1. Khái niệm
Cho V là mộ t tập hợ p tuỳ ý khác rỗ ng. V gọi là không gian véctơ trên (mỗi phần tử của V gọi là một véctơ) nếu trong V có hai phép toán
Phép cộng hai véctơ
VV V
,
Phép nhân vô hướng một số thực a với một véctơ
V a,
Đồng thời phép cộng và phép nhân thoả 8 điều kiện sau
1. ,V :
2. ,, V:
3. Tồn tại V sao cho V : . Mọi véctơ có tính chất trên gọi là véctơ không.
4. V , ' V :'. Khi đó ta gọi ' là véctơ đối của .
5. , V , a a a
6. V , a, b a b
7. V , a, b a b
8. V :1.
Sau đây là các ví dụ cơ bản về không gian véctơ trên .
Ví dụ 3.1. Không gian tích Descartes V
cộng và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau Phép cộng: Vớia1 , a2 , , an ,b1 , b2 , ,bn ta có
Phép nhân với số thực: Với a aaa1 , aa2 , , aan
Khi đó cùng với hai phép toán cộng và phép nhân được định nghĩa như trên là không gian véctơ trên .
Ví dụ 3.2. Xét V Mm n là tập hợp các ma trận cấp m n. Khi đó V cùng với phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một số thực là không gian véctơ trên .
3.2. Tính chất của không gian véctơ
Tính chất 1: Véctơ không của không gian véctơ là duy nhất. Ta kí hiệu véctơ không của không gian V là 0V hoặc 0 . Ví dụ, 0 0,0 , 0 0,0,0 .
Tính chất 2: Véctơ đối của mỗi véctơ là duy nhất. Khi đó ta kí hiệu là phần tử
đối của .
Tính chất 3: Phép cộng có luật giản ước. Tức là , , V:
Tính chất 4: Phép nhân có luật giản ước cho một số khác không. Tức là
, V , a a
Tính chất 5: Phép trừ hai véctơ. Cho , V , ta định nghĩa
Khi đó a
Tính chất 6: ChoV , a
3.3. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véctơ
3.3.1. Biểu thị tuyến tính
Cho hệ véctơ 1 , 2 , qua các véctơ 1, 2,
Khi đó ta cũng nói
Ví dụ 3.3. Trong
không 0 (0,0) có thể biểu thị tuyến tính qua các véctơ 1, 2, 3 như sau
0 01 02 03
111 12 13
44
Tổ hợp tuyến tính
a1 a2 0. Ngược lại, nếu có ít nhất một hệ số
n
tính ai i gọi là không tầm thường.
i 1
Ví dụ 3.4. Trong
(2,1, 2) . Khi đó có thể biểu thị tuyến tính qua 1, 2, 3 được không?
3.3.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là một không gian véctơ trên và 1, 2, V là một hệ véctơ. Hệ gọi là ụ ộ ế nếu tồn tại các số a1, a2, không đồng thời bằng 0 sao cho
a1 1 a 2 0
Hệ gọi là độ
Ví dụ 3.5. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau
a. 1(1,0,3); 2 (2,1, 1); 3 (3,2, 2) b.1(3,6); 2 ( 1, 2) Chú ý: Đặc biệt trong 1a11 , a12, 2a21 , a22 , mam1 , am2, Xét A là ma trận lập từ hệ véctơ trên ệ độ ậ
Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
Ví dụ 3.6. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau 45
a. 1 (1,1,1); 2 (2,3,2); 3 (0,2,1)
b. 1 (1,1,0,0); 2 (0,1,1,0); 3 (2,3,1,0) Định lý: Cho hệ véctơ 1, 2 , độc
1, 2, độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
1,2, .
lập tuyến tính. Khi đó hệ véctơ không biểu thị tuyến tính được qua
3.4. Hạng của hệ véctơ và số chiều của không gian véctơ
3.4.1. Hạng của hệ véctơ
*Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ véctơ
số (hoặc tất cả) các véctơ của hệ. Hệ con i1 , i2, độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau
(i) Hệ 1 , i2 , (ii) Mọi véctơ của hệ
Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Số đó ta gọi là hạng của hệ , kí hiệu rank .
*Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại, hạng của một hệ véctơ trong
Trong cho một hệ véctơ 1, 2, . Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ ta làm như sau
Bước 1: Lập ma trận A với các dòng là các véctơi.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng ma trận bậc thang. Bước 3: Khi đó hạng của hệ chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của gồm các véctơ ứng với các dòng khác không của ma trận A.
Ví dụ 3.7. Trong cho các véctơ
4 (3,4,0,2) . Tìm hạng và chỉ ra một
1, 2,3, 4.
Chú ý
1 (1,1,1,0);2 (1,1, 1,1);3 (3,4,0,2) và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ
46
- Ta cũng có thể lập ma trận B, với các cột của B là các véc tơ i . Khi đó B AT . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về dạng ma trận bậc thang. Khi đó
rankrank B . Hệ con độc lập tuyến tính tối đại bao gồm các véctơ i
cột chứa phần tử đánh dấu của ma trận bậc thang. - Trong không gian véctơ V cho hệ1, 2,
tính thì ran
. Ngược lại nếu phụ thuộc tuyến tính thì ran m và hệ con độc lập tuyến tính tối
có ít hơn m phần tử. đại của
3.4.2. Cơ sở, số chiều, toạ độ* Cơ sở * Cơ sở
Hệ véctơ1, 2,
độc lập tuyến tính và mọi véctơ của V đều biểu thị tuyến tính qua .
Ví dụ 3.8. Trong
e1 (1,0,
Dễ dàng kiểm tra hệ này độc lập tuyến tính và với mọi véctơ x x1 , x2 ,
Hệ véctơ e1
gian , kí hiệu
* Số chiều
Cho V là một không gian véctơ, V gọi là không gian n chiều nếu trong V có ít nhất một hệ n véctơ độc lập tuyến tính và mọi hệ n+1 véctơ đều phụ thuộc tuyến tính. Kí hiệu dim V n.
Không gian không (chỉ gồm một véctơ không) được xem là có số chiều n 0 .
Ví dụ 3.9. dim .
Định lý: Trong mỗi không gian véctơ n chiều
(i)Mọi hệ gồm nhiều hơn n véctơ đều phụ thuộc tuyến tính
(ii) Mọi cơ sở đều gồm đúng n véctơ. Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n véctơ đều là cơ sở.
(iii) Mọ i hệ độc lập tuyến tính gồm ít hơn n véctơ đều có thể bổ sung thành một một cơ sở.
Đặc biệt, trong , hệ véctơ 1 ( a11, a12,
2 ( a21 , a22 ,
…
n (an1 , an2 ,
là một cơ sở của khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính, nói cách khác
a 11 a 21 a n 1 Ví dụ 3.10. Chứng minh hệ véc tớ u 1 (1,2,3),u 2 (2,0,4), u 3 (1,6,7) là một cơ sở của . * Toạ độ véctơ
Cho V là một không gian véctơ n chiều với Khi đó mọi véctơ x V đều có thể viết được duy nhất dưới dạng
trong đó a1, a2, . Kí hiệu Ta cũng kí hiệu x / Ví dụ 3.11. Trong a. Chứng tỏ rằng
b. Tìm toạ độ của các véctơ e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) và u (4, 3, 5) trong cơ sở .
* Ma trận cơ sở, công thức đổi toạ độ
Trong không gian véctơ V cho hai cơ sở 1, 2, 1, 2, Ta có 1a11 1 a12 2 2a21 1a22 2 … nan1 1 an2 2 Khi đó ma trận a 11 a 21 a 12 a22 T a 1n a 2n
gọi là ma trạn đổi cơ sở từ sang .
Công thức đổi toạ độ
Trong không gian véctơ V cho hai cơ sở
1, 2,
1, 2,
Lấy một véctơ x thuộc V và giả sử toạ độ của x trong hai cơ sở là
xx 1 , x 2 , , x n xy1 , y2 , ,yn Khi đó ta có x / T . x / Chú ý: T T1 .
Ví dụ 3.12. Trong cho hai cơ sở:
1(1, 1,1), 2 (2,3,1), 3 (1,2,1) và cơ sở chính tắc (C3 ) .
a. Tìm ma trận đổi cơ sở từ (C3) sang. 49
b. Tìm ma trận đổi cơ sở từsang (C3) . c. Cho(1,2,3)
d. Tìm véctơ
3.5. Không gian véctơ con
3.5.1. Định nghĩa không gian véctơ con
Cho V là không gian véctơ trên . U là một tập con khác rỗng của V. Tập conU
của V gọi là không gian véctơ con của V nếu nó thoả 2 điều kiện
(i),U:U
(ii) a a U
Ví dụ 3.13. Trong không gian véctơ cho tập con
U x x1 ,0, x2 : x1 , x2 .
Khi đó U có phải là không gian véctơ con của không?
Ví dụ 3.14. Tập nào sao đây là không gian con của
a. U 1 x
b.U 1 x
3.5.2. Không gian con sinh bởi một hệ véctơ
Trong không gian véctơ V, cho hệ véctơ 1, 2 ,..., m . Khi đó tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các véctơ 1, 2 ,..., m , kí hiệu 1, 2 ,..., m là không gian véctơ con của V.
Không gian này ta gọi là không gian con của V sinh bởi hệ véctơ 1, 2 ,..., m (còn gọi là
bao tuyến tính của hệ véctơ
1, 2,..., m . Chú ý: cơ sở của 1, 2,..., m . Ví dụ 3.15. Trong 1 (1,1,1), 50
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 1. Trong không gian xét xemu có phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,u3 hay không.
a. u12,1,0 ;u2 3; 1;1 ; u3 2,0, 2 ; u 1,1,1 b. u1 2, 4,3 ; u2 1, 1,0 ; u3 3,3,3 ; u1,2,0
Bài 2. Xác định số đểu là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 , u3.
a. u1 1,2, 1 ;u 22;1;3 ; u3 0,1, 1 ; u 1, , 2
b. u1 1, 2,3 ; u 2 0, 1, ; u 3 1,0,1 ; u 3, 1,2
Bài 3. Các hệ véctơ dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian tương ứng.
a. 2, 3,1 ; 3, 1,5 ; 1, 4,3 trong
b. 5, 4,3 ; 3,3, 2 ; 8,1,3 trong
c. 4, 5, 2,6 ; 2, 2,1,3 ; 6, 3,3,9 ; 4, 1,5,6 trong d. 1,0,0,0 ; 0,1,0,0 ; 0,0, a,0 ; a trong
Bài 4. Tuỳ theo xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong trong
,
v
1
Bài 5. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của các hệ véctơ sau: a. u1 2,1,0 , u2 0, 2,1 ; u3 2, 1, 2