*Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ véctơ
số (hoặc tất cả) các véctơ của hệ. Hệ con i1 , i2, độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau
(i) Hệ 1 , i2 , (ii) Mọi véctơ của hệ
Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Số đó ta gọi là hạng của hệ , kí hiệu rank .
*Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại, hạng của một hệ véctơ trong
Trong cho một hệ véctơ 1, 2, . Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ ta làm như sau
Bước 1: Lập ma trận A với các dòng là các véctơi.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng ma trận bậc thang. Bước 3: Khi đó hạng của hệ chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của gồm các véctơ ứng với các dòng khác không của ma trận A.
Ví dụ 3.7. Trong cho các véctơ
4 (3,4,0,2) . Tìm hạng và chỉ ra một
1, 2,3, 4.
Chú ý
1 (1,1,1,0);2 (1,1, 1,1);3 (3,4,0,2) và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ
46
- Ta cũng có thể lập ma trận B, với các cột của B là các véc tơ i . Khi đó B AT . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về dạng ma trận bậc thang. Khi đó
rankrank B . Hệ con độc lập tuyến tính tối đại bao gồm các véctơ i
cột chứa phần tử đánh dấu của ma trận bậc thang. - Trong không gian véctơ V cho hệ1, 2,
tính thì ran
. Ngược lại nếu phụ thuộc tuyến tính thì ran m và hệ con độc lập tuyến tính tối
có ít hơn m phần tử. đại của