Trong không gian véctơ V, cho hệ véctơ 1, 2 ,..., m . Khi đó tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các véctơ 1, 2 ,..., m , kí hiệu 1, 2 ,..., m là không gian véctơ con của V.
Không gian này ta gọi là không gian con của V sinh bởi hệ véctơ 1, 2 ,..., m (còn gọi là
bao tuyến tính của hệ véctơ
1, 2,..., m . Chú ý: cơ sở của 1, 2,..., m . Ví dụ 3.15. Trong 1 (1,1,1), 50
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 1. Trong không gian xét xemu có phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,u3 hay không.
a. u12,1,0 ;u2 3; 1;1 ; u3 2,0, 2 ; u 1,1,1 b. u1 2, 4,3 ; u2 1, 1,0 ; u3 3,3,3 ; u1,2,0
Bài 2. Xác định số đểu là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 , u3.
a. u1 1,2, 1 ;u 22;1;3 ; u3 0,1, 1 ; u 1, , 2
b. u1 1, 2,3 ; u 2 0, 1, ; u 3 1,0,1 ; u 3, 1,2
Bài 3. Các hệ véctơ dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian tương ứng.
a. 2, 3,1 ; 3, 1,5 ; 1, 4,3 trong
b. 5, 4,3 ; 3,3, 2 ; 8,1,3 trong
c. 4, 5, 2,6 ; 2, 2,1,3 ; 6, 3,3,9 ; 4, 1,5,6 trong d. 1,0,0,0 ; 0,1,0,0 ; 0,0, a,0 ; a trong
Bài 4. Tuỳ theo xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong trong
,
v
1
Bài 5. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của các hệ véctơ sau: a. u1 2,1,0 , u2 0, 2,1 ; u3 2, 1, 2
b. u1 1, 1,0 ; u2 2, 1, 1 ; u3 0,1, 1 ; u4 2,0, 2
Bài 6. Hệ véctơ nào là cơ sở của . Tìm toạ độ của véctơ u 7,14,3 trong cơ sở vừa tìm được. a. u1 2,1,3 ; u21,1,0 b. u1 2,1,3 ; u21,1,0 ; u3 1,3,1 c. u1 2,1,3 ; u21,1,0 ; u3 1,1, 1 ; u4 0,0,4 d. u1 2, 3,1 ; u2 4,1,1 ; u3 0, 7,1 e. u1 1,6, 4 ; u2 2, 4, 1 ; u31, 2,5 51 download by : skknchat@gmail.com
Bài 7. Trong không gian cho các cơ sở B u1 , u2 ,u3 ; B 'u1 ,u2 , u3và véctơu .
Tìm ma trận đổi cơ sở ( B) sang ( B ') và toạ độ của u trong từng cơ sở. a. u 1 1,1, 1 ;u 2 1,1, 0 ;u 3 2, 2,0 ;u 1 1, 1, 0 ;u 2 2, 1, 0 ;u 3' 1,1, 1 ;
u 3,4,5
b. u 1 3, 2,1 ;u 2 1, 2,1 ;u 3 2,2,3 ;u 1 1, 1,0 ;u 2 1, 0, 1 ;u 3' 1,1,1 ;
u 1, 3,7
Bài 8. Trong không gian cho
B m u m 7, 10, 12 ; u 12, m 19,24 ; u 6, 10, m 13
1 2 3
Tìm m để B m là một cơ sở của . Trong trường hợp đó hãy tính toạ độ của
u m,2 m,0 trong cơ sở B m .
Bài 9. Trong không gian cho các hệ véctơ sau
B u1 2,1,3 ; u2 1,1,0 ; u3 1, 1,1
B ' u 1 2,1,1 ; u 2 2, 1,1 ; u 3 1,2,1
a. Chứng tỏ B
b. Cho u
B 3,5,7 . Tìm toạ độ của u trong cơ sở B' và cơ sở chính tắc.
Bài 10. Các tập sau đây, tập nào là không gian con của các không gian tương ứng. a. L x x1, x 2 , x3
b. L x x1, x2 , x3 , x 4
c. L x x1 , x2 ,..., xn
d. L x x1, x 2 , x3
e. L x x1, x2 , x3
Bài 11. Tìm một cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi các véctơ sau trong không gian tương ứng.
a. u1 1, 1,2 ; u
2 2,1,3 ;
u31,5,0
1
b. u 2, 4,1 ;
1
c. u
d. u1 1,0,0, 1 ; u 2 2,1,1,0 ; u3 1,1,1,1 ; u 4 1, 2,3,4 ; u5 0,1,2,3 trong
Bài 12. Trong cho hệ véctơ
u1 1,1, 2,1,4 ; u1 0,1, 1,2,3 ; u3 1, 1,0, 3,0 a. Tìm cơ sở và số chiều của u1 , u2 ,u3
b. Cho u 1, m,1, m, 3, 5 . Tìm m để u u1 , u2 ,u3
Bài 13. Trong cho v1 2, 2,3 ; v 3 0, 2, 3
a. v 1, 4, 6 có biểu thị tuyến tính được qua v1 , v2 không.
b. Tìma sao cho v2,3, a v1 , v2 Bài 14. Trong minh rằng v1 , v2 Bài 15. Trong 1 2 v 1,2, 2,1 , v
Tìm số chiều và cơ sở của không gian con V v1 , v2 ,v3 .
Bài 16. Trong
1 , v
v 1,1,2,4
thuộc tuyến tính. Tìm một cơ sở của không gian véctơ con của
Bài 17. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình
2x x 4x 1 2 a. 3x1 5x2 7x3 0 4x 5x 2 1 x x x 1 3 5 c. x2 x4 x6 0 x3 x 1 x 2 x5 x1 x4
Bài 18. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con các nghiệm của hệ phương trình
2 x1 x2 x3 x4 2 x3 0 3 x1 a. 4 x3 x4 3 x 1 x2 3 x3 5 x 1 Bài 19. Cho W
. Tìm một cơ sở và số chiều của W .
Bài 20. Cho hệ phương trình 2 x1 2 x2 5 x3 6 x4 0 3 x2 2 x3 2 x4 x 1 3 x x 8 x 10 x 1 2 5 x 11x mx 1 2
a. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình khi m 11. b. Biện luận số chiều của không gian nghiệm theo m .
Bài 21. Cho hệ phương trình 3 x
5 x1 2 x2 6 x3 9 x4 0
a. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ khi m 0 .
b. Tìmm để không gian nghiệm có chiều bằng 1. c. Tìm một cơ sở của không gian nghiệm khi m khác 0.
CHƯƠNG 4: MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ