Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hoá và thị trường tiền tệ. Mô hình này được mô tả như sau.
Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r theo công thức:
I a1 b1r (a1 , b10)
Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng:
YCI0G0 I a1
b1r C a bY a1 , b1 0
a 0,0 b 1
Thay phương trình của I, C vào Y ta được
Y a bY a1 b1r G0
b r
Phương trình (2) biểu diễn mối quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hoá cân bằng và được gọi là phương trình IS.
Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử lượng cung tiền cố định và M 0 và L có công thức
L a2Y b2r a2 ,b2 0
Điều kiện cân bằng tiền tệ là
L M 0 a2Y b2r M0 b2r a2Y M0 (3)
D1213
của A ( D1213 là định thức con của ma trận A có được bằng cách lấy các phần tử ở các dòng 1, dòng 2, cột 1 và cột 3). Ta giữ lại hai phương trình đầu. Giữ x1 , x3
làm ẩn và chuyển x2 , x4 sang vế phải làm tham số, ta được
x 1 x 3 1 x 2 x4 2
x1x3 3 x2 x4
Hệ cuối là hệ Cramer do có định thức của ma trận hệ số chính là Áp dụng phương pháp Cramer ta được
1x 2 x4 x1 3x 2 x4 D 1213 1 1 x 2 x4 x3 2 3 x 2 x 4 1 x2 x4 D 1213
Vậy nghiệm của hệ là
x1 2 x 2 x x 2.3.2. Phương pháp Gauss
Lập ma trận A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưaA về dạng bậc thang.
Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Nếu đưaA về dạng ma trận bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh
dấu giữ lại làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên
Ví dụ 2.5. Giải hệ phương trình 36 x1 x 2x1 x download325
Lập ma trận hệ số mở rộng A
A A B
1
d3 d3 d2
Vì r A r A 3 4 nên hệ có vô số nghiệ m phụ thuộ c vào 1 tham số. Ta viết lại hệ x 1 x 2 x 3 2x 4 1 x 3 x4 1 x 2 3 x 3 3
Ta giữ x1, x2 , x3 làm ẩn chính và chuyển x4 qua vế phải làm tham số. Khi đó
x1 x2 x3 1 2x4
x
2
Vậy nghiệm của hệ là
x 1 3x 4
x
2
x
3
2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng
a 11 x1 a12 x2 a 21x1 a m1 với dạng ma trận là AX 0 (2). 37
Hệ luôn có nghiệm vì rank ( A ) rank ( A 0 ) rank ( A) . Bộ số (0,0,…,0) luôn là một nghiệm của hệ gọi là nghiệm tầm thường. Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ. Từ định lý Kronecker-Capelli ta có
- Nếu r (A) n thì hệ (2) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường.
- Nếur (A) r n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộcn r tham số, trong đó ẩn chính phụ thuộc tham số. Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của của hệ phương trình (2).
- Cho các tham số những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được nghiệm cơ bản của hệ phương trình (2).
Ví dụ 2.6. Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
x1 x2 x3 2 x4 0 2 x 3 x 3 x 3 x 0
download by : skknchat@gmail1234
Ta có
1 1
2 3
3 5
Vì r A r A 2 4 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số. Ta viết lại hệ
x1 x2 x3 2 x4 0 x2
x3 x4 0
Xem x1 , x2 là ẩn chính và x 3 , x4 là tham số. Khi đó
x1 x22 0 0 x 2 x 3 x 4
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là Một hệ nghiệm cơ bản của hệ là
Chú ý
Hệ thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn ( rank ( A) n) .
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn (m=n) thì ma trận hệ số là ma trận vuông. Khi đó
- Hệ có nghiệm duy nhất tầm thường khi và chỉ khi det A 0 .
- Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det A 0 .
39
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: 2x y 3z 9 a. 3x 5y z 4 b. 4x 7y z 5 x x 2 x 1 2 c. 2x 1 x 2 2 x 3 4 4x1 x 2 4 x3 2 3 x1 4 x2 x3 7 e. x1 2 x2 3 x3 0 x 10 7 1 x 2 x 1 2 g. 5 x1 x2 2 x3 29 x2 x3 10 3 x 1
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau
x1 2 x2 3 x3 2 x4 2x1 x 2 2x 3 3x 4 a. 2 x2 x3 2 x4 3 x 1 2x1 3x 2 2x 3 x4 2x 1 2x 2 x 3 x4 4 x x 4 1 3 c. 5 x2 3 x3 4 x4 12 8 x 1 3 x2 11 x3 5 x4 3 x1
Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số thực m .
mx y z 1 a. x my z 1 x y mz 1 mx y z m 2x m 1 b. x y mz 1
x 2 y y z t 2m 1 c. x 7y x download by : skknchat@gmail.com 40
40
Bài 4. Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 x1 x 2 x3 1
x1 1 x 2 x3
Bài 5. Cho hệ phương trình
x 2 y z 1
download by : skknchat@gmail.com
x m 3 y m 1 z m 3
a. Tìm m để hệ đã cho là hệ Cramer. Tìm nghiệm trong trường hợp đó. b. Tìm m để hệ trên vô nghiệm.
Bài 6. Cho hệ phương trình
x 2 y z 1
2 x m 5 y 2 z 4
x m 3 y m 1 z m 3
a. Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm trong trường hợp đó. Bài 7. Giải các hệ phương trình thuần nhất sau
x x x x 1 2 a. x1 2 x2 x4 0 x x 3 x 1 2 x1 x2 x3 x4 0 2 x2 x4 c. x1 x2 3 x3 x 1 Bài 8. Giải hệ 6 x1 3 x2 4 x3 3 x4 a. 3 x1 2 x3 3 x5 0 9 x 3 x 6 x 3 x 1 41
3 x1 6 x2 9 x3 3 x4 6 x5 0 x1 2x2 c. x 1 2 x 4 x
Bài 9. Tìm a để các hệ sau có kinh nghiệm không tầm thường và xác định các nghiệm không tầm thườn đó
x 2 y 2z 0 a. x y 5x
42
CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
3.1. Khái niệm
Cho V là mộ t tập hợ p tuỳ ý khác rỗ ng. V gọi là không gian véctơ trên (mỗi phần tử của V gọi là một véctơ) nếu trong V có hai phép toán
Phép cộng hai véctơ
V V V
,
Phép nhân vô hướng một số thực a với một véctơ
V a ,
Đồng thời phép cộng và phép nhân thoả 8 điều kiện sau
1. ,V :
2. ,, V:
3. Tồn tại V sao cho V : . Mọi véctơ có tính chất trên gọi là véctơ không.
4. V , ' V :' . Khi đó ta gọi ' là véctơ đối của .
5. , V , a a a
6. V , a, b a b
7. V , a, b a b
8. V :1.
Sau đây là các ví dụ cơ bản về không gian véctơ trên .
Ví dụ 3.1. Không gian tích Descartes V
với phép toán
cộng và phép nhân với một s ố thực được định nghĩa như sau download by : skknchat@gmail.com
Phép cộ ng: Với a1 , a 2 ,, a n , b1 , b2 , ,bn ta có 1
a
Phép nhân với số thự c: Với a aaa 1 , aa 2 , ,aan
43
Khi đó cùng với hai phép toán cộng và phép nhân được định nghĩa như trên là
download by : skknchat@gmail.com
Ví dụ 3.2. Xét V Mm n là tập hợ p các ma trận cấp m n. Khi đó V cùng với phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một số thực là không gian véctơ trên .
3.2. Tính chất của không gian véctơ
Tính chất 1: Véctơ không của không gian véctơ là duy nhất. Ta kí hiệu véctơ không
của không gian V là 0V hoặc 0. Ví dụ, 00,0 , 0 0,0,0 .
Tính chất 2: Véctơ đối của mỗi véctơ là duy
nhất. Khi đó ta kí hiệu là phần tử đối của .
Tính chất 3: Phép cộng có luật giản ước. Tức là
, , V:
Tính chất 4: Phép nhân có luật giản ước cho một số khác không. Tức là
, V , a a
Tính chất 5: Phép trừ hai véctơ. Cho ,V , ta định nghĩa
Khi đó a
Tính chất 6: ChoV , a
3.3. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véctơ
3.3.1. Biểu thị tuyến tính
Cho hệ véctơ 1 , 2 , qua các véctơ 1, 2,
Khi đó ta cũng nói
Ví dụ 3.3. Trong
không 0 (0,0) có thể biểu thị tuyến tính qua các véctơ 1, 2 , 3 như sau 1 01 02 03
1 111213
Tổ hợp tuyến tính
a1 a2 0. Ngược lại, nếu có ít nhất một hệ số
n
tính ai i gọi là không tầm thường.
i 1
Ví dụ 3.4. Trong
(2,1, 2) . Khi đó có thể biểu thị tuyến tính qua 1, 2 , 3 được không?
3.3.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là một không gian véctơ trên Hệgọi là ụ ộ
a1 1 a 2 Hệ gọi là độ
Ví dụ 3.5. Xét sự độc lậ p tuyến tính, phụ thuộ c tuyến tính của các hệ véctơ sau
a. 1(1,0,3); 2 (2,1, 1); 3 (3,2, 2)
b. 1(3,6); 2 ( 1, 2)
Chú ý: Đặc biệt trong cho hệ véctơ 1, 2, với
1a11 , a12, 2a21 , a22 , mam1 , am2 , Xét A là ma trận lập từ hệ véctơ trên a11 a 21 A a m 1 ệ độ ậ
Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
Ví dụ 3.6. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau 45
a. 1 (1,1,1); 2 (2,3,2); 3 (0,2,1)
b. 1 (1,1,0,0); 2 (0,1,1,0); 3 (2,3,1,0)
Định lý: Cho hệ véctơ 1, 2 , độc
1, 2, độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
lập tuyến tính. Khi đó hệ véctơ không biểu thị tuyến tính được qua
1, 2,
3.4. Hạng của hệ véctơ và số chiều của không gian véctơ
3.4.1. Hạng của hệ véctơ
*Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ véctơ
số (hoặc tất cả) các véctơ của hệ. Hệ con i 1 , i 2, độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau
(i) Hệ
(ii) Mọi véctơ của hệ
Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Số đó ta gọi là hạng của hệ , kí hiệu rank .
*Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại, hạng của một hệ véctơ trong
Trong cho một hệ véctơ 1, 2 , . Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối
download by : skknchat@gmail.com đại của hệ ta làm như sau
Bước 1: Lập ma trận A với các dòng là các véctơ i.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng ma trận bậc thang.
Bước 3: Khi đó hạng của hệ chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của gồm các véctơ ứng với các dòng khác không của ma trận A.
Ví dụ 3.7. Trong cho các véctơ 1 (1,1,1,0);2 (1,1, 1,1);3 (3,4,0,2) và
4 (3,4,0,2) . Tìm hạng và chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ
1,2,3,4.
Chú ý
46
- Ta cũng có thể lập ma trận B, với các cột của B là các véc tơ i . Khi đó B AT . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về dạng ma trận bậc thang. Khi đó
rank rank B . Hệ con độc lập tuyến tính tối đại bao gồm các véctơ i ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu của ma trận bậc thang.
- Trong không gian véctơ V cho hệ 1 , 2, . Nếu hệ độc lập tuyến
tính thì ran m và hệ con độc lập tuyến tính của tối đại của cũng chính là hệ . Ngược lại nếu phụ thuộc tuyến tính thì ran m và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của có ít hơn m phần tử.
3.4.2. Cơ sở, số chiều, toạ độ * Cơ sở
Hệ véctơ
độc lập tuyến tính và mọi véctơ của V đều biểu thị tuyến tính qua.
Ví dụ 3.8. Trong
e1 (1,0,
Dễ dàng kiểm tra hệ này độc lập tuyến tính và với mọi véctơ
Hệ véctơ e1
gian , kí hiệu
* Số chiều
Cho V là một không gian véctơ, V gọi là không gian n chiều nếu trong V có ít nhất một hệ n véctơ độc lập tuyến tính và mọi hệ n+1 véctơ đều phụ thuộc tuyến tính. Kí hiệu
dim V n.
Không gian không (chỉ gồm một véctơ không) được xem là có số chiều n 0 .
Ví dụ 3.9. dim .
Định lý: Trong mỗi không gian véctơ n chiều
(i) Mọi hệ gồm nhiều hơn n véctơ đều phụ thuộc tuyến tính
(ii) Mọi cơ sở đều gồm đúng n véctơ. Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n véctơ đều là cơ
sở.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. Giáo trình:
1.Nguyễn Thị Toàn (chủ biên), Lý thuyết Toán cao cấp 1, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012.
2. Phùng Duy Quang (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp 1, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012.
3. Lê Thanh Cường (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp – học phần II, NXBGD, năm 1998. II. Tài liệu tham khảo
1.Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I, II), NXB ĐH KTQD, 2013.
2. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Toán cao cấp (Tập 1, Tập 2, Tập 3), NXB Giáo dục, 2008 3. Phùng Duy Quang (chủ biên), Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012.
4. I. V. Rroskuryakov: Problem in Linear Algebra, Mir Publishers, Moscow, 1978.
5. Gilbert Strang: Linear Algebra and its applications, Book/Cole, 3rd edition, 1988.
III. Websites and Links: http://khoacoban.ftu.edu.vn
81
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...
CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ...
1.1. Khái niệm cơ bản về ma trận ...
1.1.1. Ma trận ...
1.1.2. Các dạng ma trận ...
1.1.3. Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận ...
1.2. Phép toán cơ bản trên ma trận ...
1.2.1. Phép cộng hai ma trận ...
1.2.2. Phép nhân vô hướng của ma trận với một số thực ...
1.2.3. Tích của hai ma trận ... 1.2.4. Tính chất ... 1.3. Định thức ... 1.3.1. Hoán vị ... 1.3.2. Định thức của ma trận vuông ... 1.3.3. Tính chất của định thức ... 1.3.4. Một số phương pháp tính định thức ... 1.3.5. Định thức của ma trận tích ... 1.4. Hạng của ma trận ... 1.4.1. Định nghĩa ... 1.4.2. Một số tính chất của hạng ma trận ... 1.4.3. Một số phương pháp tính hạng ma trận ... 1.5. Ma trận nghịch đảo ... 1.5.1. Định nghĩa ...
1.5.2. Điều kiện tồn tại và duy nhất...
1.5.3. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ... 82
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ...
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ...
2.1. Khái niệm cơ bản ...
2.1.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ...
2.1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm ...
2.2. Phương pháp giải hệ Cramer ...
2.2.1. Phương pháp ma trận nghịch đảo ...
2.2.2. Phương pháp Cramer ...
2.3. Phương pháp giải hệ tổng quát ...
2.3.1. Phương pháp định thức...
2.3.2. Phương pháp Gauss ...
2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất...
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ...
CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ ...
3.1. Khái niệm ...
3.2. Tính chất của không gian véctơ ...
3.3. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véctơ ...
3.3.1. Biểu thị tuyến tính ...
3.3.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ...
3.4. Hạng của hệ véctơ và số chiều của không gian véctơ ...
3.4.1. Hạng của hệ véctơ ...
3.4.2. Cơ sở, số chiều, toạ độ ...
3.5. Không gian véctơ con ...
3.5.1. Định nghĩa không gian véctơ con ...
3.5.2. Không gian con sinh bởi một hệ véctơ ...
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ...
83
CHƯƠNG 4: MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH
TẾ...55
4.1. Mô hình cân đối liên ngành...55
4.2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan...57
4.3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân...59
4.4. Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá và tiền tệ (mô hình IS-LM)...60
BÀI TẬP CHƯƠNG 4...62