Cú nhiều đại lượng được sử dụng để đỏnh giỏ phẩm chất một hệ thống. Đối với cỏc hệ thống truyền dẫn thụng tin thụng thường tỉ số SNR (hay tỉ số CNR: Carrier-to-Noise Ratio) được sử dụng cho hệ thống tương tự và BER (hoặc cú thể SER: Symbol Error Rate hay FER: Frame Error Rate) được sử dụng cho cỏc hệ thống truyền dẫn số. SNR cú thể cũng được sử dụng làm tham số phụ cho đỏnh giỏ phẩm chất của hệ thống truyền dẫn số.
Tỉ số SNR được định nghĩa là tỉ số của cụng suất tớn hiệu trờn cụng suất của tạp õm, tức là
SNR =Ps Pn=
E{s2(t)}
E{n2(t)} (3.8)
trong đú E biểu diễn phộp toỏn lấy giỏ trị kỳ vọng.
được mà được ước lượng nhờ mụ phỏng Monte-Carlo. Giả thiết sốNbit được truyền đi và xảy raNebit lỗi ở đầu ra, tỉ số BER được định nghĩa là
BER =Ne
N. (3.9)
Thực chất đõy là ước lượng của xỏc suất lỗi bớt được định nghĩa bởi PE= lim
N→∞ Ne
N (3.10)
Với tỉ số lỗi khung chỳng ta cũng cú thể định nghĩa tương tự FER =Nfe
Nf. (3.11)
trong đúNfelà số khung thu lỗi vàNflà tổng số khung gửi đi.
3.9 Năng lượng và Cụng suất tớn hiệu
Cỏc thành phần năng lượngEsvà cụng suất tớn hiệuPsđược định nghĩa như sau Es= Z∞ −∞ s2(t)dt (3.12) Ps= lim T→∞ 1 T ZT /2 −T /2 s2(t)dt (3.13)
Trong trường hợp tớn hiệu rời rạc (đó lấy mẫu), năng lượng và cụng suất tớn hiệu được định nghĩa như sau
Es=Ts ∞ X n=−∞ s2[n] (3.14) Ps= lim N→∞ 1 2N+ 1 N X n=−N s2(t)dt (3.15) Nếu chuỗi tớn hiệu là hữu hạn và chuỗi được phỏt lặp lại, thỡ
Es=Ts N−1 X n=0 s2[n] (3.16) Ps= 1 N N−1 X n=0 s2[n] (3.17)
Trong Matlab cụng suất của chuỗi tớn hiệus[n]được tớnh nhờ sử dụng
hàmnorm.mnhư sau:Ps=norm(s)ˆ2/length(s)
3.10 Mụ phỏng Monte-Carlo trong Truyền dẫn Số
Để đỏnh giỏ phẩm chất của một hệ thống thụng tin số, mụ phỏng Monte-Carlo thường được sử dụng để ước lượng tỉ số BER. Như đó thảo luận ở phần trờn,
để cú ước lượng chớnh xỏc của BER, chỳng ta cần tăng số lượng bit gửi đi đến vụ cựng (∞). Tuy nhiờn, việc tăng số lượng bit gửi đi đồng nghĩa với thời gian chạy mụ phỏng sẽ lõu hơn. Vỡ vậy, để cú được sự thỏa hiệp giữa độ chớnh xỏc của kết quả mụ phỏng và thời gian chạy mụ phỏng, chỳng ta mong muốn tỡm được số lượng bit cần gửi điNtương ứng với giỏ trị BER mong muốn. Chỳng ta sẽ nghiờn cứu vấn đề này thụng qua trường hợp dưới đõy.
Xột biến ngẫu nhiờn
y=s+z (3.18)
trong đúslà một hằng số,zlà một biến ngẫu nhiờn Gauss với giỏ trị trung bỡnhmvà phương saiσ2
z= 1. Rừ ràng làycũng là một biến ngẫu nhiờn Gauss với giỏ trị trung bỡnhmvà phương saiσ2
y= 1.
Giả thiết là chỳng ta cần ước lượng xỏc suấty <0cho một giỏ trịscho trước, tức là
P(s) =P(y <0|s) (3.19) bằng mụ phỏng Monte-Carlo. Cụ thể là chỳng ta sử dụng mỏy tớnh để tạo ra một chuỗi cỏc biến Gauss ngẫu nhiờn, cú kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1, độc lập thống kờ và cú phõn bố giống nhau (i.d.d.),zi, i= 1,2, ..., N. Nhờ cộngzivớis, chỳng ta cú một chuỗi cỏc biến ngẫu nhiờn
yi=s+zi, i= 1,2, ..., N. (3.20) Từ cỏc biến ngẫu nhiến tao ra bằng mỏy tớnh này, chỳng ta mong muốn ước lượng xỏc suất một biến ngẫu nhiờn Gauss, với kỳ vọngm,m >0và phương sai đơn vị, nhỏ hơn 0. Chỳng ta làm phộp kiểm tra xemyi<0và định nghĩa một biến ngẫu nhiờn mớixinhư sau
xi=
0, nếuyi≥0
1, nếuyi<0 (3.21)
Như vậy, ước lượng của xỏc suấtP(y <0|s)là ˆ P(s) =1 N N X i=1 xi (3.22)
Núi cỏch khỏc, ước lượng P(s)đơn giản là số cỏc biến ngẫu nhiờnyi, i= 1 2, , ..., Nnhỏ hơn 0 chia cho tổng sốNbiến ngẫu nhiờn.
Do ước lượng P(s)ˆ là một hàm số của cỏc biến ngẫu nhiờn xi, i = 1,2, ..., N, nờn nú cũng là một biến ngẫu nhiờn. Để xỏc định độ chớnh xỏc của ước lượng này so với giỏ trị thậtP(s), chỳng ta tớnh giỏ trị kỳ vọng và phương sai của ước lượng này. Đầu tiờn là giỏ trị kỳ vọng củaP(s)ˆ
E[ ˆP(s)] =N1 N X i=1 E[xi] (3.23) Nhưng do
nờn E[ ˆP(s)] = 1 N N X i=1 P(yi<0) (3.25) = 1 N N X i=1 P(s) =P(s) (3.26) Điều này chứng tỏ rằng giỏ trị kỳ vọng của ước lượngP(s)ˆ đỳng bằng giỏ trị thậtP(s).
Tiếp theo, chỳng ta tớnh phương sai của ước lượngP(s). Phương sai củaˆ ˆ
P(s)được định nghĩa như sau σ2 P(s)= EhP(s)ˆ −E[ ˆP(s)]i2 (3.27) = EhPˆ2(s)i−P2( )s (3.28) Tuy nhiờn, E[ ˆP2(s)] = E " 1 N2 N X i=1 N X j=1 x xi j # (3.29) = 1 N2 N X i=1 E[x2 i] + 1 N2 N X i=1 N X i=1,i j6= E[x xi j] (3.30) Và chỳng ta cú E[x2 i] = 0ãP(yi≥0) + 1ãP(yi<0) (3.31) và
E[x xi j] = E[xi] E[xj] =P2(s) (3.32) Thay (3.31) và (3.32) vào (3.30), chỳng ta thu được phương sai của ước lượng như sau
E[ ˆP2(s)] =1 NP(s) + N(N−1) N2 P2(s) (3.33) 1 NP(s)[1−P(s)] (3.34) Núi chung, khi ước lượngP(s)dựa vào mụ phỏng chỳng ta mong muốn độ lệch chuẩnσP(s)là nhỏ so vớiP(s). Vớ dụ, giả sử là chỳng ta ước lượng một xỏc suất nhỏ,P(s) = 10−3. Chỳng ta cần biết số mẫu cần thiết là bao nhiờu để đảm bảo độ lệch chuẩnσP(s)là nhỏ so vớiP(s)? Tức là
σP(s)= 1
NP(s)[1−P(s)] 1/2
≪P(s) (3.35)
hay, một cỏch tương đương, σ2
Vỡ vậy
N≫ 1
P(s) (3.36)
Vớ dụ, nếuP(s) = 10−3, thỡN≫1000. Nếu chỳng ta chọn kớch thước mẫu N= 104, thỡ trung bỡnh, chỳng ta sẽ cú 10 giỏ trị củayi, i= 1,2, ...,104sẽ nhỏ hơn 0. Chỳng ta coi kớch thước mẫu này như giỏ trị nhỏ nhất để thu được ước lượng tin cậy củaP(s). Vỡ vậy, theo kinh nghiệm (as a rule of thumb) kớch thước mẫu cần thỏa món
N > 10
P(s) (3.37)
khiP(s)≪1. Điều kiện này thường đủ để ước lượng xỏc suất lỗi của một hệ thống truyền dẫn số chịu ảnh hưởng của tạp õm cộng và nhiễu khỏc.
Vớ dụ:Trong một hệ thống thụng tin số, tớn hiệu thu được với mức điện ỏps,(s >0),chịu ảnh hưởng của tạp õm Gauss cộng tớnh cú kỳ vọng bằng 0 và phương sai đơn vị. Xỏc định số mẫu nhỏ nhấtNcần thiết để xỏc định xỏc suấtP(y <0|s)khiyi=s+zi, chos= 3vàs= 5, dựa theo kinh nghiệm (3.37).
Xỏc suất đỳng ước lượng được bằng mụ phỏng Monte-Carlo được tớnh như sau:
s= 3→P(3) =P(y <0|s= 3) = 1.35ì10−3 (3.38) s= 5→P(5) =P(y <0|s= 5) = 2.87ì10−7 (3.39) Dựa trờn kinh nghiệm (3.37), số mẫu tối thiểu cần thiết để ước lượngP(3)và P(5)là s= 3→N= 10 P(3)= 7047 (3.40) s= 5→N= 10 P(5)= 10 7 (3.41)
Mễ PHỎNG CÁC HỆ THỐNG THễNG TIN Vễ TUYẾN SỬ
DỤNG MATLAB
Simulation of Radio Communication Systems using Matlab
Trần Xuõn Nam
Bộ mụn Thụng tin, Khoa Vụ tuyến điện tử Đại học Kỹ thuật Lờ Quớ Đụn
100 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy , Hà Nội, Việt Nam Phone: (069)-515392 E-mail: namtx@lqdtu.edu.vn
Chương 4
Kờnh thụng tin vụ tuyến
4.1 Kờnh tạp õm AWGN 4.1.1 Tạp õm AWGN
Thuật ngữtạp õm (noise) mụ tả cỏc tớn hiệu điện khụng mong muốn xuất hiện trong hệ thống. Sự xuất hiện của tạp õm làm giảm khả năng tỏch chớnh xỏc cỏc tớn hiệu phỏt và, vỡ vậy, làm giảm tốc độ truyền dẫn thụng tin. Tạp õm được tạo ra từ nhiều nguồn khỏc nhau, nhưng cú thể phõn loại thành hai nguồn chớnh lànhõn tạovàtự nhiờn[1]. Nguồn tạp õm nhõn tạo xuất hiện từ cỏc nguồn đỏnh lủa, chuyển mạch hay cỏc phỏt xạ điện từ. Tạp õm tự nhiờn gồm tạp õm xuất hiện trong cỏc mạch hay linh kiện điện tử, xỏo động khớ quyển hay cỏc nguồn thiờn hà.
Thiết kế tốt cỏc mạch điện, thiết bị hay hệ thống cho phộp loại bỏ hoặc giảm nhỏ đỏng kể ảnh hưởng của cỏc tạp õm bằng cỏch nối đất, chọn vị trớ đặt thiết bị hay sử dụng cỏc phương phỏp lọc. Tuy nhiờn, cú một nguồn tạp õm tự nhiờn khụng thể loại bỏ làtạp õm nhiệt. Tạp õm nhiệt xuất hiện do chuyển động nhiệt của cỏc điện tử ở trong tất cả cỏc linh kiện điện tử như điện trở, dõy dẫn hay cỏc phần tử dẫn điện khỏc. Sự chuyển độngngẫu nhiờn
vàđộc lậpcủa vụ hạn cỏc điện tử tạo nờn cỏc đặc tớnh thống kờ Gauss theo định lý giới hạn trung tõm (central limit theorem). Vỡ vậy, tạp õm nhiệt cú thể mụ tả như một quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Gauss cú giỏ trị trung bỡnh bằng khụng (zero mean). Một vớ dụ về tạp õm Gauss với giỏ trị trung bỡnh 0 và phương saiσ2= 1được miờu tả ở Hỡnh vẽ 4.1.
Hàm mật độ xỏc suất (PDF: Probability Density Function) của một quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Gaussn t( )được biểu diễn như sau
p(n) = 1 σ√ 2πexp −n 2 2σ2 (4.1) Hỡnh vẽ 4.2 biểu diễn hàm PDF Gauss với giỏ trị trung bỡnh bằng khụng và độ lệch chuẩn (standard deviation)σ= 1.
Một đặc tớnh quan trọng của tạp õm Gauss cú giỏ trị trung bỡnh bằng khụng là phương sai σ2bằng trung bỡnh bỡnh phương củan, tức là,σ2=
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t n (t )
Hỡnh 4.1:Một vớ dụ về tạp õm Gauss với giỏ trị trung bỡnh 0 và phương saiσ2= 1.
E{n2(t)}. −50 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 =1 0.242
Hỡnh 4.2:Hàm mật độ xỏc suất Gauss vớiσ2= 1.
Tạp õm trắng: một đặc tớnh quan trọng của tạp õm nhiệt là mật độ phổ tần số của nú như nhau tại mọi tần số. Tức là, nú là nguồn tạp õm phỏt
ra một lượng cụng suất như nhau trờn một đơn vị băng tần tại tất cả cỏc tần số bằng
Gn(f) =N0
2 [W/Hz] (4.2)
như mụ tả ở Hỡnh vẽ 4.3(a). Hệ số 2 trong cụng thức trờn chỉ thị rằngGn(f) là một hàm mật độ phổ cụng suất 2 phớa (two-sided power spectral density function) cũnN0thỡ được gọi là mật độ phổ cụng suất tạp õm. Tạp õm với cụng suất cú mật độ phổ đều như vậy được gọi làtạp õm trắng(white noise).
N0/2 Rn( )t N0/2 G fn( ) f t (b)Hàmtựt−ơngquan (a)Mậtđộphổcôngsuấttạpâmtrắng
Hỡnh 4.3:Mật độ phổ cụng suất và hàm tự tương quan của tạp õm trắng.
Hàm tự tương quan của tạp õm trắng là phộp biến đổi Fourier ngược của mật độ phổ cụng suất tạp õm cho bởi
Rn(τ) =F−1{Gn(f)}= Z∞ −∞ Gn(f)ej2πf τdf (4.3) =N0 2δ(τ) (4.4)
như biểu diễn ở Hỡnh vẽ 4.3(b). Tức là, hàm tự tương quan của tạp õm trắng là một hàm xung delta tạiτ = 0được nhõn trọng số vớiN0/2. Để ý rằng Rn(τ) = 0với mọiτ6= 0nờn bất kỳ hai mẫu khỏc nhau nào của tạp õm trắng đều khụng tương quan với nhau bất kể chỳng gần nhau đến mức nào. Do tạp õm nhiệt được cộng với tớn hiệu nờn nú cũn được gọi là tạp õm cộng (additive noise). Tổng hợp cỏc đặc tớnh của tạp õm nhiệt ở trờn chỳng ta cú thể túm tắt lại rằng tạp õm nhiệt trong cỏc hệ thống thụng tin là tạp õm Gauss trắng cộng (AWGN: Additive White Gaussian Noise).
4.1.2 Mụ phỏng tạp õm AWGN
Trong MATLAB, chỳng ta cú thể sử dụng hàm cú sẵnrandnđể mụ phỏng tạp õm AWGN. Hàmrandncho phộp tạo ra cỏc biến ngẫu nhiờn theo phõn bố chuẩn chớnh tắc (standard normal distribution) với giỏ trị trung bỡnh 0, phương sai 1 và độ lệch chuẩn 1.
−50 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 n p (n ) Theory Simulated Hỡnh 4.4:Hàm phõn bố của tạp õm AWGN.
Hỡnh 4.4 biểu diễn hàm pdf của tạp õm AWGN tạo nờn bằng mụ phỏng sử dụng hàmrandnsử dụng chương trỡnh Prog. 4.1.
Matlab Program 4.1 SimAWGN.m
%% Script to describe AWGN % Plot time version of AWGN N=10^6; t=1:N; n=randn(1,N); plot(t,n) xlabel(’t’) ylabel(’n(t)’) axis([0 1000 -4 4])
% Plot pfd of the normal distribution by theory step=0.1; x=-5:step:5; sigma=1; px=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*x.^2/sigma^2); figure(2) plot(x,px) %xlabel(’n’) ylabel(’p(n)’) hold on
% Plot pdf of simulated AWGN z=randn(1,N);
h=hist(z,x); plot(x,h/N/step,’o’);
legend(’Theory’,’Simulated’) %hold on
%pdfplot(z,100)
Do phõn bố chuẩn chớnh tắc là một trường hợp đặc biệt của phõn bố Gauss trong đú giỏ trị trung bỡnh bằng 0 và phương sai bằng 1, nờn để mụ phỏng tạp õm AWGN với phương sai bằngN0chỳng ta chỉ việc nhõn hàm randnvới√N0, tức là độ lệch chuẩn mong muốn. Do tạp õm mụ phỏng là một biến số phức gồm hai thành phần thực và ảo, nờn cụng suất tạp õm là tổng cụng suất của từng thành phần. Để tạo được tạp õm phức với cụng suấtN0
chỳng ta cần chuẩn húa cụng suất của mỗi thành phần (thực và ảo) bằng1 2/ . Vớ dụ, để tạo được 1000 dấu tạp õm phức cú cụng suấtN0chỳng ta làm như sau:
n=sqrt N( 0/2)∗(randn 1 1000( , ) +j∗randn 1 1000( , ))
4.2 Kờnh pha-đinh
Hỡnh vẽ 4.5 mụ tả một đường liờn lạc giữa anten trạm gốc (BS: Base Station) và anten trạm di động (MS: Mobile Station). Xung quanh MS cú nhiều vật phản xạ như nhà, cõy, đồi nỳi, ...trong khi xung quanh BS lại cú rất ớt hoặc khụng cú cỏc vật phản xạ do anten trạm BS được đặt trờn cao. Cỏc vật phản xạ này được gọi chung là vật tỏn xạ. Liờn lạc giữa BS và MS thụng qua nhiều đường (path), mỗi đường chịu một hay nhiều phản xạ, và tớn hiệu đến mỏy thu là tớn hiệu tổng hợp từ tất cả cỏc đường này. Do cỏc đường cú biờn độ, pha, và độ trễ khỏc nhau, nờn tớn hiệu truyền qua cỏc đường cú thể kết hợp với nhau một cỏch cú lợi hoặc khụng cú lợi, tạo nờn một súng đứng ngẫu nhiờn. Hiện tượng này được gọi là truyền súng pha-đinh đa đường. Kờnh truyền súng kiểu này được gọi là kờnh pha-đinh đa đường.
4.2.1 Mụ hỡnh toỏn học của pha-đinh
Tớn hiệu vụ tuyến luụn là tớn hiệu băng thụng (bandpass) và cú băng tần hẹp (narrowband). Tớn hiệu băng thụng phỏt đi tại tần số súng mangfcvới đường bao phứcs(t)3được biểu diễn như sau
˜ s(t) =ℜs
(t e)j2πfct (4.5) trong đúℜ[.]biểu diễn phộp toỏn lấy phần thực.
Đặt độ dài của đườngllàxlvà ký hiệu là tốc độ ỏnh sỏng (cũng chớnhc là tốc độ lan truyền của súng điện từ trong khụng khớ), thỡ thời gian truyền súng từ BS tới MS làx /cl . Giả sử độ suy hao của đườngllàal, thỡ tớn hiệu thu được tại MS khụng tớnh đến tạp õm là
˜ r(t) =X l al˜st−xcl. (4.6) Thế (4.5) vào (4.6) chỳng ta cú ˜ r(t) =X l alℜhst−xclej2πfc(t−xlc)i (4.7) =ℜ " X l alst−xclej2πfc(t−xlc) # (4.8) Viết lại˜r(t)ở dạng ˜ r(t) =ℜ " X l alst−xcle−j2πfcxl cej2πfct # (4.9) =ℜ r(t)ej2πfct (4.10) trong đú thành phần đường bao tớn hiệu thu là tổng của nhiều thành phần tớn hiệu cú độ trễ, suy hao và dịch pha khỏc nhau
r(t) =X l
als(t−τ el) −j2πf τc l (4.11)
cũnτl=xl
c là thời gian trễ của đường truyền thứ .l 4.2.2 Sự ảnh hưởng của chuyển động của MS
Hỡnh 4.6:Sự lan truyền của đườngltới một trạm MS. 3s(t)cũn được gọi là tớn hiệu băng tần gốc tương đương
Hỡnh vẽ 4.6 minh hoạ sự chuyển động của một trạm MS theo trụcxtrong mặt phẳngx−yvới vận tốcv. Ở đõy, chỳng ta đó giả thiết rằng ăng ten phỏt được phõn cực một cỏch phự hợp sao cho vector điện trường song song với trục .z Khi MS chuyển động với tốc độv, độ dài đường truyền súng thứlthay đổi một khoảng là
x′
l=xl−∆xl (4.12) Nếu gúc tới của tia thứlso với hướng chuyển động làφl, chỳng ta cú
∆xl≈vtcos(φl). (4.13) Như vậy, tớn hiệu thu được khi khụng cú tạp õm là
˜ r(t) =ℜ " X l a el j2πfc t−xl−∆xl c s t−xl−∆xl c # (4.14) =ℜ " X l a el j2πfcte−j2πfc xl cej2πfcvcos(φl) c ts