M ăĐ U
7. Cấu trúc của luận văn
2.2.4. Hoạt động tư duy hàm trong dạy học toán tiểu học
Trong chương trình môn Toán tiểu học, chúng ta thấy có nhiều nội dung có thể tổ chức các hoạt động tư duy hàm cho học sinh. Các nội dung đó tập trung vào Số học, yếu tố hình học và nội dung giải toán.
- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học nội dung Số học tập trung vào các hoạt động phát hiện, thiết lập những tương ứng đơn trị, xác định giá trị của biểu thức khi thay chữ b i số. Qua đó hình thành các biểu tượng về nhiều hơn, bằng, lớn hơn, nhỏ hơn; rèn luyện kĩ năng tính toán, kiểm tra các tính chất phép tính, mối quan hệ giữa các đại lượng trong một công thức...
Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống: (SGK Toán 4, trang 70)
m 3 30 23 230
m x 78
Ví dụ: Một ngư i đi bộ trung bình mỗi gi đi được 4 km. Bảng dưới đây cho biết quãng đư ng đi được của ngư i đi bộ trong 1 gi , 2 gi , 3 gi :
Th i gian đi 1 gi 2 gi 3 gi
Quãng đư ng đi được 4km 8km 12km
Nhận xét: Khi th i gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đư ng đi được cũng gấp lên bấy nhiêu lần” (SGK Toán 5, trang 18).
Ví dụ: Có 100 kg gạo được chia đều vào các bao. Bảng dưới đây cho biết số bao gạo có được khi chia hết số gạo đó vào các bao, mỗi bao đựng 5 kg, 10 kg, 20 kg.
Số kilogam gạo mỗi bao 5kg 10kg 20kg
Số bao gạo 20 bao 10 bao 5 bao
Nhận xét: Khi số ki-lô-gam gạo mỗi bao gấp lên bao nhiêu lần thì số bao gạo có được lại giảm đi bấy nhiêu lần” (SGK Toán 5, trang 20).
- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học yếu tố hình học chủ yếu là phát hiện, thiết lập những tương ứng đơn trị trong các yếu tố: Điểm, đoạn thẳng, đư ng thẳng, một số hình và diện tích của chúng.
- Chẳng hạn, khi dạy khái niệm tam giác, HS sẽ biết được tương ứng từ 3 điểm không thẳng hàng ta luôn vẽ được duy nhất một tam giác...
- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học giải toán tiểu học thể hiện trong vận dụng thiết lập sự tương ứng, vận dụng sự tương ứng để giải toán. Chẳng hạn các bài toán đếm hình tam giác...
2.3.ăNĕngăl căt ăduyăhƠm
2.3.1. Khái niệm năng lực tư duy hàm
trên chúng tôi đã làm rõkhái niệm về năng lực, tư duy hàm, các hoạt động tư duy hàm trong dạy học toán tiểu học. Năng lực tư duy hàm được hiểu là:
Năng lực tư duy hàm là khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi và khả năng phát hiện ra sự tương ứng hay mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động, biến đổi đó.
2.3.2. Các thành tố của năng lực tư duy hàm
Năng lực tư duy hàm là một thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học. Vì vậy, ngoài các thành tố của năng lực tư duy thì năng lực tư duy hàm của học sinh tiểu học được bộc lộ qua các biểu hiện sau:
- Khả năng xem xét, nhìn nhận, khái quát hóa các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi.
- Phát hiện sự tương ứng hay mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi.
- Khả năng biểu đạt các nội dung của các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm.
2.4.ăNĕngăl căkháiăquát hóa từăcácăm uăhìnhăhìnhăh c 2.4.1. Mẫu hình hình học
2.4.1.1. Khái niệm
Mẫu hình hay mẫu hình khoa học, từ cuối thế kỉ 19 có nghĩa là nề nếp dạng thức suy nghĩ trong một khuôn khổ thực nghiệm khoa học hay các ngữ cảnh khác nhau của tri thức. Trong mư i năm qua, việc sử dụng các mẫu hình tăng trư ng hình học
trong lớp học toán học đã nhận được sự quan tâm ngày càng nhiều của các nhà nghiên cứu giáo dục. Một mẫu hình tăng trư ng hình học có thể được định nghĩa là “một dãy các hình ảnh trong đó các đối tượng trong hình thay đổi từ một vị trí này sang một vị trí tiếp theo, theo một cách có thể dự đoán được (quy luật) và thư ng liên quan đến hai biến”. Việc khám phá các mẫu hình này là cầu nối cho sự phát triển của tư duy hàm của học sinh.
2.4.1.2. Năng lực khái quát hóa từ các mẫu hình hình học
Trong quan niệm về tư duy hàm, Smith (2008) cho rằng“tư duy tập trung vào mối quan hệ giữa hai (hoặc nhiều) đại lượng khác nhau, cụ thể là các kiểu suy nghĩ dẫn từ các mối quan hệ cụ thể đến khái quát hóa mối quan hệ đó qua các trường hợp”. Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự biểu đạt sự vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động chứ không phải trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách r i nhau, cụ thể là các con số, hình ảnh được nhìn thấy hoặc được xây dựng trong chuỗi mẫu hình. Mối quan hệ hàm là mối quan hệ có thể xác định giữa số giai đoạn và một số khía cạnh của mẫu hình tăng trư ng hình học.
Suy luận bằng hình ảnh được xác định là một thành phần quan trọng cho sự phát triển của tư duy hàm. Một hình thức lý luận “dựa vào các mối quan hệ có thể được rút ra trực quan từ một tập hợp các trường hợp nhất định” (Rivera & Becker, 2005, trang 199). Điều này đặc biệt hữu ích với mẫu hình tăng trư ng hình học, vì mối quan hệ hàm có thể được bắt nguồn dựa trên bản chất cụ thể của mẫu hình. Do đó, điều quan trọng là phải xem xét việc thúc đẩy suy luận hình học trong ngữ cảnh toán học này. Khám phá một mẫu hình có thể tạo ra trong lớp học sự tập trung vào suy luận dựa trên hình ảnh như là một con đư ng để suy nghĩ về hàm.
Một hàm được định nghĩa là một quy tắc gán cho một phần tử của một miền xác định một phần tử duy nhất trong miền tương ứng. Hiệp hội giáo viên quốc gia của Mỹ (2000) mô tả các yếu tố như mô hình, quan hệ và hàm cần phải học như thế nào. Đặc biệt học sinh sẽ có thểbiểu diễn, phân tích và tổng hợp một loạt mẫu hình với các bảng, biểu đồ, từ ngữ, các quy tắc biểu tượng, liên kết và so sánh các hình thức biểu diễn khác nhau cho một mối quan hệ, xác định hàm và đối chiếu các thuộc tính của chúng từ các bảng biểu.
Công việc tạo ra các mẫu hình hình học cung cấp cơ hội cho học sinh phân tích các mô hình cụ thể của các mẫu hình, tổng hợp từ các mô hình này, biểu diễn các mối quan hệ, khám phá các kiểu mối quan hệ hàm khác nhau.
Các mẫu hình gia tăng hình học, mẫu hình có thể phát triển theo một số lượng cố định các phần trong mỗi giai đoạn hoặc b i một số lượng ngày càng tăng của mỗi
giai đoạn. Khái quát hóa là một năng lực đặc thù của tư duy, đóng vai tròquan trọng trong sự phát triển trí tuệ. Khái quát hóa các mẫu hình có thể xem như là sản phẩm của tư duy và ngôn ngữ. Quá trình khái quát hóa các mẫu hình là con đư ng kết gắn xây dựng tư duy hàm bền vững.
2.4.1.3. Mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến
Phân biệt giữa mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến được hiểu theo nghĩa thông thư ng như sau (Jurdak & Mouhayar, 2013): Một mẫu hình là tuyến tính nếu sự khác biệt giữa hai bước liên tiếp trong mẫu hình là hằng số. Nói cách khác, mẫu hình là tuyến tính nếu công thức khái quát mô tả tính chất bước thứ n bất kì có dạng f(n) an b. Một mẫu hình là phi tuyến tính nếu sự khác biệt giữa hai bước liên tiếp trong mẫu hình không là hằng số.
Sau đây là một số ví dụ về mẫu hình tuyến tính và phi tuyến.
Ví dụ 1: Xét mẫu hình 2.1 sau
Hình 2.1. Mẫu hình tuyến tính
Xuất phát từ hình 1 n= 1 ta thấy rằng mỗi hình phía sau đều hơn hình trước là một hình vuông, ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp theo với công thức tổng quát là n 1 (với n là số thứ tự của hình). Đây là một mẫu hình tuyến tính.
Ví dụ 2: Xét mẫu hình 2.2 sau
Hình 2.2. Mẫu hình phi tuyến
Ta thấy hình 1 (n = 1)có 1 hình vuông, hình 2 (n = 2) có 4 hình vuông, hình 3 (n = 3) có 9 hình vuông, vậy ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp theo với công thức tổng quát là n x n (với n là số thứ tự của hình). Đây là một mẫu hình phi tuyến.
Trên đây là hai ví dụ đơn giản cho ta thấy về mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến, nhưng không phải bất kì mẫu hình nào ta cũng có thể tìm được công thức tổng quát dễ dàng như vậy. Vấn đề đặt ra đây là làm như thế nào để học sinh tiểu học
có thể khái quát được công thức tổng quát cho các mẫu hìnhhình học. 2.4.1.4. Các chiến lược khái quát hóa mẫu hình
Các mô hình phát triển hình học có đặc điểm làm cho chúng tr nên độc đáo và lý tư ng cho việc khám phá mẫu cầu nối với sự phát triển của tư duy hàm. E. Smith (2008) định nghĩa tư duy hàm là “tư duy đại diện tập trung vào mối quan hệ giữa hai (hoặc nhiều) số lượng khác nhau, cụ thểcác loại suy nghĩ dẫn từ các mối quan hệ cụ thể (cá nhân) đến khái quát hóa mối quan hệ đó qua các trường hợp”. Trư ng hợp cụ thể là các con số như chúng được nhìn thấy hoặc được xây dựng trong chuỗi mẫu. Mối quan hệ hàm là mối quan hệ có thể được xác định giữa số giai đoạn và một số khía cạnh của mô hình phát triển hình học.
Lý luận bằng hình ảnh được xác định như là một thành phần quan trọng cho sự phát triển của tư duy hàm. Một hình thức lý luận “dựa vào các mối quan hệ có thể được rút ra trực quan từ một tập hợp các trường hợp nhất định” (Rivera và Becker, 2005). Điều này đặc biệt hữu ích với mô hình hình học phát triển, vì một mối quan hệ hàm có thể được bắt nguồn dựa trên bản chất cụ thể của mô hình. Do đó, điều quan trọng là phải xem xét việc thúcđẩy lý luận hình học trong ngữ cảnh toán học.
Ví dụ: khám phá một mô hình L trong một lớp học, tập trung vào lậpluận hình học là một con đư ng để suy nghĩ về hàm. Đầu tiên hiển thị một mô hình phát triển hình học, mô hình L trên bảng thông minh gồm (3 giai đoạn). Học sinh có thể đi thẳng vào mối quan hệ bằng số hơn là sử dụng các mẫu hình chính để giúp các em tổng hợp các mối quan hệ hàm. Giáo viên cố gắng tập trung sự chú ý của học sinh về cấu trúc của mô hình qua từng giai đoạn và đặt câu hỏi: “Em nhậnthấy gì về mô hình này?’’.
Học sinh có thể sẽ phát hiện: “Nó sẽ tăng lên hai”, và giáo viên hỏi học sinh các giải thích (Chỉ ra rằng mẫu tăng hai hình vuông từ giai đoạn này sang giai đoạn khác bằng cách thêm một hình hình vuông bên phải và bên trên).
Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3) Hình 2.3. Mô hình chữ L 1 +1 +1 1 +1 +1
Cố gắng tổng hợp tư duy của học sinh, và dựa trên mẫu để trình bày các cách giải thích. Tiếp theo, yêu cầu học sinh sử dụng cách họ có thể mô tả để mô tả các giai đoạn khác của mẫu, chẳng hạn như: giai đoạn 8, 10, 20. Mô hình hình học phát triển và thảo luận trong lớp học sẽ giúp cho việc khám phá ban đầu của học sinh vào suy nghĩ hàm. Mô hình L tăng lên b i một số ô cố định trong mỗi giai đoạn. Đây được gọi là sự khác biệt không đổi và tạo ra một hàm cho số ô vuông trong bất kỳ giai đoạn nào của mô hình. Hàm, trong dạng đơn giản, rõ ràng của nó, là t 2n 1, trong đó t đại diện cho tổng số ô vuông trong hình và n
đại diện cho số giai đoạn. Đây không phải là cách duy nhất mà mối quan hệ hàm này có thể được đại diện chính xác.
Việc tạo ra mẫu hình học cung cấp cơ hội cho học sinh phân tích các mô
hình cụ thể của các mẫu, tổng hợp từ các mô hình này điều tra các đại diện của các mối quan hệ, và khám phá các loại mối quan hệ hàm khác nhau. Mô hình
phát triển hình học cung cấp bối cảnh cho học sinh hiểu được ý nghĩa của các biến và cách chúng có thể được sử dụng. Với các mô hình phát triển, nó có thể được phát triển theo một số lượng cố định các phần trong mỗi giai đoạn, hoặc b i một số lượng ngày càng tăng của mỗi giai đoạn. Có rất nhiều cách để nhìn thấy mô hình này phát triển như thế nào, và mỗi trong số này có thể dẫn đến một sự thể hiện khác nhau, nhưng tương đươngvề mối quan hệ hàm.
Ví dụ: Từ mô hình L, liên quan đến suy nghĩ quy nạp: “mô hình đang tăng
lên hai ô vuông từ giai đoạn này sang giai đoạn khác bằng cách thêm một hình vuông bên phải và bên trên”.
Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3) Hình 2.4. Mô hình L theo suy nghĩ quy nạp
1 +1 +1 1 +1 +1
Các cách nhìn khác của mô hình L có thể dẫn đến các biểu hiện của các công thức rõ ràng thể hiện khả năng tư duy tiên tiến hơn. Một công thức rõ ràng là một quy tắc mà mỗi giai đoạn mối quan hệ biến thiên giữa biến độc lập và biến phụ thuộc.
Cách nhìn này sẽ tạo ra một công thức rõ ràng của t n n 1hoặc t 2n 1.
Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3) Hình 2.5. Mô hình L thể hiện mối quan hệ biến thiên
Cách nhìn cột dọc của hình vuông nhiều hơn số giai đoạn 1, hai hàng hình vuông cho mỗi bên bằng với số giai đoạn. Điều này tạo ra công thức
1.
t n n Hoặc cách nhìn ra một hàng n1 ô vuông với một cột của n hình
vuông vuông góc với nó. Công thức rõ ràng tương ứng là n 1 n. Mỗi công thức đơn giản hóa các đại số cho t 2n 1.
Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3) Hình 2.6. Mô hình L theo cách nhìn cột dọc
1 1
1
Quy tắc tương ứng rõ ràng thư ng được xem là hữu ích và dễ áp dụng hơn các quy tắc đồng biến thiên (Lannin, Barker, & Townsend, 2006). Quy tắc đồng biến thiên rất dễ phân biệt nhưng khi học sinh cần khái quát xa (Ví dụ: số ô vuông trong giai đoạn 20), sử dụng quy tắc đồng biến thiên tr nên khó khăn. Quy tắc tương ứng rõ ràng có hiệu quả hơn cho các nhiệm vụ tổng quát hóa vì nó dễ dàng hơn để tính toán. Tuy nhiên, các quy tắc tương ứng rõ ràng có thể khó tạo ra hơn. Một số nhà giáo dục toán học cho rằng sự hiểu biết và thành thạo với các quy tắc hàm rõ ràng là cần thiết cho năng lực trong đại số (Bezuszka & Kenney, 2008; Lannin,..., 2006). Vì đa số những ngư i tiếp cận mô hình phát triển hình học sử dụng tư duy đồng biến thiên, điều quan trọng là giúp họ xem cách thức đồng biến thiên nhìn thấy có thể chuyển thành mối quan hệ tương ứng rõ ràng. Garcia-Cruz và Martinon (1998) phân biệt giữa hai cách tiếp cận quy nạp khác nhau: đếm tất cả và đếm trên. Chiến lược đếm trên là cách tiếp cận đồng biến thiên được minh họa hình trên. Chiến lược đếm tất cả là một cách hơi khác để nhìn thấy mô hình phát triển hình học và tự nó cho một quy tắc tương ứng rõ ràng cho các mối quan hệ hàm. Sử dụng chiến lược đếm tất cả các cách tiếp cận, học sinh nhận ra rằng giai đoạn 1 của mẫu được lồng nhau trong mỗi giai đoạn kế tiếp và sự khác biệt không đổi được thêm vào những giai đoạn sau đó.