Trong nhiều trường hợp như quá trình bật - tắt máy, tăng - giảm tốc độ hay tốc
độthay đổi liên tục theo thời gian, tín hiệu dao động thu được trên vỏmáy cũng có
tần số thay đổi theo thời gian. Với dạng tín hiệu này, các phương pháp cổ điển gặp nhiều khó khăn trong việc biểu diễn hay phân tích tín hiệu.
Việc biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian đơn thuần chỉ thể hiện được sự thay
đổi của biên độ theo thời gian, không cung cấp thông tin về tần số nên khó có thể
mô tả chính xác dạng tín hiệu này. Các chỉ số thống kê cũng chỉ cho ta biết sự thay
đổi tình trạng của chi tiết máy trong một khoảng thời gian dài, không thích hợp để
thể hiện các đại lượng biến đổi nhanh theo thời gian như biên độ, tần số. Với
phương pháp trung bình hóa, khi tốc độthay đổi, ta vẫn có thể thực hiện với sự trợ
giúp của tín hiệu pha, tuy nhiên, việc lắp đặt thêm thiết bị đo pha gây tốn kém và trong nhiều trường hợp không khảthi, đặc biệt khi máy đang chạy.
Với các phương pháp phân tích trong miền tần số, biên độ tại tần số f là tổng
biên độ các tín hiệu có tần số f xuất hiện trong toàn bộ tín hiệu. Hoàn toàn không cung cấp cho ta thông tin về thời gian cũng như sự thay đổi của tần số theo thời gian. Lọc số cũng tỏ ra kém hiệu quả vì tín hiệu cần thu được trải dài trong một miền tần số. Hơn nữa, hiện tượng chồng lấn tần số(overlapping)cũng gây khó khăn cho phương pháp này, trong cùng một miền tần số có thể chứa thông tin của nhiều tín hiệu, nhiều bậc điều hòa khác nhau.
Những hạn chế trên đòi hỏi những phương pháp biểu diễn tín hiệu mới, có khả năng cung cấp đồng thời thông tin về thời gian, tần số, biên độ. Các phương pháp có
44
thể kể đến như biểu đồ hình thác, biến đổi Fourier dạng cửa sổ, biến đổi Wavelet, phân tích Wigner-Ville. Trong đó, phổ biến và có nhiều ứng dụng hơn cả là hai
phương pháp biến đổi Fourier dạng cửa sổ (Window Fourier Transform-WFT) và biến đổi Wavelet (Wavelet Transform-WT).
2.1.2 Phép biến đổi Fourier dạng cửa sổ
Cơ sở toán học
Giả sử, ta có một tín hiệu x(t) có tần số thay đổi theo thời gian. Khi đó, tại mỗi thời điểm t, ta nhân đoạn tín hiệu với cửa sổ có chiều dài N và thực hiện phép biến
đổi Fourier (hình 2.1). Kết quả, ta thu được phép biến đổi Fourier dạng cửa sổđược
định nghĩa như sau [6]:
2 2
WFTx( , )τ f +∞x t w t( ) ( τ)e−i πftdt e−i π τf +∞eiξτX( )ξ W f( ξ ξ)d
−∞ −∞
= ∫ − = ∫ − (2.1)
Với x(t) là tín hiệu cần phân tích, w(t) là hàm trọng lượng hay hàm cửa sổ và
X(ξ) và W(ξ) lần lượt là biến đổi Fourier của hai hàm trên.
Hình 2.1: Mô tả quá trình tín toán WFT
Tín hiệu sau khi biến đổi có thể phục hồi lại bằng phép biến đổi WFT ngược (inverse Window Fourier Transform-iWFT) như sau:
1
( ) W ( , )
a
g x
45
với xa(t) là tín hiệu phân tích (analytic signal) của x(t) và Cg =π∫G( )ξ ξd .
Khi tính toán số, với một tín hiệu x[tn], n=1,…,N được lấy mẫu với tần số lấy mẫu fs, WFT của tín hiệu thường được tính trong miền tần số, dựa trên giải thuật biến đổi Fourier nhanh thuận và nghịch - FFT và iFFT đã trình bày ở trên, cụ thể
gồm các bước sau (hình 2.2) [7]:
Hình 2.2:Giải thuật tính toán phép biến đổi Fourier dạng cửa sổ
Bước 1: Thực hiện lọc thông dải, loại bỏ các thành phần tín hiệu nằm ngoài vùng tần số cần quan tâm [fmin;fmax].
Bước 2: Trong vùng tần số [fmin;fmax], xác định các giá trị tần số fk =(k− ∆1) f
với k=1,...,N. Chú ý rằng các giá trịfk không phụ thuộc vào các thông số của tín hiệu như tần số lấy mẫu fs hay chiều dài tín hiệu T.
Bước 3: Tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) X( )ξ =FFT x t{ }( ) trong đó các
giá trị ξđược xác định 1 [ ,...,ξ ξN]=[0,2 f /N,...,2 [(N-1)/2] f /N,-2 [(N-1)/2] f /N,...,-2 f /N]π s π ↑ s π ↓ s π s . Gán các giá trịX tại tần số âm bằng 0: X(ξ <0)=0. Bước 4: Tại mỗi giá trịfk: 4.1 Xác định các giá trị của cửa sổ trong miền tần số
46 [ ] { 2 1 2 } 1 1 W( ),..., ( ) w( j f tk ,..., w( ) j f tk N) k k N N f −ξ W f −ξ =FFT t e− π t e− π . Trong một số trường hợp có thể xác định được hàm W(f - )k ξj , ta tính các giá trị fk−ξjvà thay trực tiếp vào hàm này.
4.2 Từ công thức (2.1), ta tính được biến đổi WFT của tín hiệu tại tần sốfk là [ ] { } 1,.., 1 1 1 ( k, n N) ( ,..., ( N)) iFFT ( ) ( k ),..., p( N) ( k N) X f τ = = c t c t = xξ W f −ξ X ξ W f −ξ . Ví dụ minh họa Xét một tín hiệu sau: 20 sin(2 .5. ), 5 10 sin(2 .10. ), 5 x t t x t t π π = < = ≥
Hình 2.3: Phổbiên độ-thời gian (a), biên độ-tần số (b)
Tín hiệu gồm hai thành phần tần số f1=5 ứng với các thời điểm t<5(s) và f2=10
ứng với các thời điểm t≥5(s). Các cách biểu diễn tín hiệu theo phổ biên độ - thời
gian và biên độ - tần số đều không thể miêu tả chính xác nhất về tín hiệu này. Trên phổ biên độ - thời gian, ta có thể xác định được biên độ và thời điểm thay đổi của tần số, tuy nhiên, ta không biết được chính xác các giá trị tần số có trong tín hiệu (hình 2.3a). Đối với phổbiên độ - tần số, ta có thể biết được các thành phần tần số
trong tín hiệu và biên độ của từng thành phần, tuy nhiên lại không thấy được sự thay đổi của tần số theo thời gian (hình 2.3b).
47
Hình 2.4: Biến đổi WFT của tín hiệu có tần sốthay đổi theo thời gian
Khi sử dụng phép biến đổi WFT, kết quả thu được cho ta đầy đủ thông tin về
thời gian, tần số và biên độ, được biểu diễn trên hệ tọa độ 3 chiều với độ lớn của
biên độđược thể hiện thông qua thang màu (hình 2.4).