Phép biến đổi nén đồng bộ suy rộng

Cơ sở toán học

Khi sử dụng SWT để phân tích tín hiệu x6, tại các thời điểm t<7,5, ứng với đoạn tín hiệu có tần sốkhông đổi f6=5, kết quảthu được là rất rõ ràng, các hệ số SWT có giá trị lớn (từ 10 đến 20). Tại các thời điểm t≥7,5, ứng với đoạn tín hiệu có tần số

72

thay đổi f6=5-sin(t), kết quả thu được không rõ nét bằng, các hệ số SWT cũng có

giá trị nhỏ hơn (xấp xỉ 5) trong khi hai đoạn tín hiệu mô phỏng có cùng biên độ

(hình 3.4).

Thực tế chứng minh, phương pháp nén đồng bộ đạt hiệu quả cao nhất khi tín hiệu có tần số không đổi, tần số tín hiệu càng biến đổi nhanh theo thời gian thì hiệu quả của việc “nén” tín hiệu càng giảm. Nguyên nhân là khi thực hiện nén đồng bộ, ta chỉ quan tâm đến sự phân bố năng lượng của tín hiệu xung quanh tần số trung tâm f. Thực tế, năng lượng của tín hiệu cũng có sự phân bố xung quanh thời gian trung tâm τ tương tự như với tần số. Mặc dù sự phân bố này nhỏ hơn rất nhiều so với phân bốnăng lượng xung quan tần số trung tâm, khi tính toán SWFT hay SWT

ta đã bỏqua, nhưng khi tần số tín hiệu thay đổi nhanh theo thời gian, nó ảnh hưởng lớn đến kết quảthu được.

Để khắc phục nhược điểm này, Chuan Li và Ming Liang đã đề xuất phép biến

đổi nén đồng bộ suy rộng (Generalized Synchrosqueezing Transform-GST) [11]. Ý

tưởng của phương pháp này là sử dụng phép biến đổi Fourier suy rộng để đưa một tín hiệu có tần số biến đổi theo thời gian f(t) về tín hiệu có tần số f0 không đổi qua

đó tăng hiệu quả của phép biến đổi nén đồng bộ.

Xét một tín hiệu x(t) có tần số thay đổi theo thời gian fx(t). x(t) ban đầu được chuyển thành tín hiệu giải tích thông qua phép biến đổi Hilbert:x t( )=x t( )+iH x t{ ( )}. Bằng phép biến đổi Fourier suy rộng, tín hiệu giải tích x t( ) được chuyển thành tín hiệu u(t) có tần sốkhông đổi theo thời gian.

0

2 ( ) ( ) ( ) i s t

u t =x t e − π

Để loại bỏ ảnh hưởng của các thành phần tần số âm, tín hiệu u(t) lại được chuyển sang dạng giải tích: u t( )=u t( )+iH u t{ ( )}. Sau đó, áp dụng phép biến đổi WFT (hoặc WT) với u t( ), kết quảthu được là phân bố thời gian - tần sốWFTu(τ,ξ)

73

lượng xung quanh thời gian trung tâm τ không làm ảnh hưởng đến các giá trị

WFTu(τ,ξ) (WTu(τ,s)). Tại mỗi tần số ξ (tỷ lệ s), ta nhân WFTu(τ,ξ) (WTu(τ,s)) với hàm chuyển i2 s t0( ) e− π : 0 2 ( ) WFT ( , )y τ ξ =WFT ( , ).u τ ξ e−i πs τ hoặc 2 0( ) WT ( , )y τ s =WT ( , ).u τ s e−i πs τ (3.16) Việc nhân thêm hàm exp(-i2πs0(τ)) không làm thay đổi biên độ và vị trí của hệ

số WFTu(τ,ξ) trong mặt phằng thời gian - tần số (τ,ξ) (WFTy(τ,ξk)=WFTu(τ,fk)) hoặc hệ sốWTu(τ,s) trong mặt phằng thời gian - tỉ lệ(τ,s) (WTy(τ,sk)=WTu(τ,sk)) nhưng tần số tức thời của hàm WFTu(τ,ξ) (WTu(τ,s)) tính theo công thức (3.2) hoặc (3.7) khi đó

sẽ có giá trị bằng với tần số tức thời của tín hiệu x(t) (fy(τ,ξk)=fx(τ) hoặc fy(τ,sk)=fx(τ)) [11]. Khi thực hiện nén đồng bộ với hàm WFTy(τ,ξk) (WTy(τ,sk)), kết quảthu được là: : ( , ) 1 ( , ) WFT ( , )( ) k y k s y s u k k f f V f f ξ τ ξ τ τ ξ ξ − = ∆ ∆ ∑ hoặc 3/ 2 : ( , ) 1 ( , ) WT ( , ) ( ) k y k s y s u k k s f s f T f s s s f τ τ τ − = ∆ ∆ ∑ (3.17)

Do các giá trị Vy(τ,fs) hay Ty(τ,fs) được tính thông qua WFTu(τ,ξ) (WTu(τ,s)), có

độ lớn không bị ảnh hưởng bởi sự phân bốnăng lượng xung quanh thời gian trung tâm, nên ta vẫn giữ được hiệu quả cao của phép biến đổi nén đồng bộ như với tín hiệu có tần sốkhông đổi u t( ). Mặt khác fy(τ,ξk)=fx(τ) (hoặc fy(τ,sk)=fx(τ)) nên các giá trị Vy(τ,fs) hay Ty(τ,fs) sẽ phân bố tại các vị trí tương tự khi ta thực hiện nén đồng bộ

với tín hiệu x(t), tín hiệu được phục hồi ngay trong miền thời gian - tần số.

Bên cạnh việc cho kết quả có độ phân giải cao trong cả miền thời gian và miền tần số, GST còn giúp lọc bỏ một số thành phần tín hiệu nằm bên ngoài vùng tần số

quan tâm. Do tín hiệu u(t) được đưa về dạng giải tích u t( ), bỏ qua các thành phần tần số âm, các thành phần trong tín hiệu x(t) ban đầu có f t( )−s t0'( )<0cũng sẽ bị

74

loại bỏ trong quá trình này. Tuy nhiên, ta cũng cần lựa chọn giá trị f0 đủ lớn để

không làm mất các thông tin quan trọng trong tín hiệu.

Việc tính toán SWFT được thực hiện theo các bước sau (hình 3.6) [11]:  Bước 1: Tạo tín hiệu giải tích từ tín hiệu ban đầu x t( )=x t( )+iH x t{ ( )}.

 Bước 2: Đưa tín hiệu thu được về dạng có tần sốkhông đổi bằng việc nhân với hàm chuyển: 2 0( ) ( ) ( ) i x t u t =x t e − π .  Bước 3: Tạo tín hiệu giải tích u t( )=u t( )+iH u t{ ( )}.  Bước 4: Thực hiện phép biến đổi WFT với tín hiệu u t( ), kết quả là phân bố thời gian - tần sốWFTu(τ,f).

 Bước 5: Tái tạo tín hiệu ban đầu thông qua việc nhân với hàm chuyển:

WFTv(τ,f)=WFTu(τ,f)exp(-i2πx0(t)).

 Bước 6: Thực hiện phép biến đổi nén đồng bộ với phân bốWFTv(τ,f) vừa tìm

được.

Hình 3.6:Giải thuật tính toán GST trên cơ sở Fourier dạng cửa sổ

Việc tính toán GST trên cơ sở phép biến đổi Wavelet được thực hiện hoàn toàn

tương tự.

SW

75

Ví dụ minh họa

Ta tiếp tục xét tín hiệu x7(t), kết quả biến đổi SWT của x7(t) được thể hiện trên hình 3.5. Tương tự với đoạn tín hiệu có tần sốthay đổi của tín hiệu x6(t), phép biến

đổi SWT tỏ ra kém hiệu quả, tín hiệu vẫn trải trên một miền tần số rộng (hình 3.7).

Để nâng cao hiệu quả của SWT, ta sẽ áp dụng phép biến đổi GST với tín hiệu này.

Hình 3.7:Biến đổi SWT của tín hiệu x7(t)

Tín hiệu x7(t) được chuyển sang tín hiệu giải tích u t7( )có tần số f0 chọn trước

không đổi theo thời gian bằng phép biến đổi GFT trước khi thực hiện biến đổi WT.

Như ta đã biết, phép biến đổi WT cho độ phân giải tần số cao, độ phân giải thời gian thấp ở vùng tần số thấp và ngược lại với vùng tần số cao nên giá trị f0 thường

được chọn là giá trị tần số nhỏ nhất của tín hiệu. Điều này giúp tăng độ phân giải tần số, mặt khác, do u t7( )có tần số tức thời không phụ thuộc vào thời gian nên việc lựa chọn f0 nhỏ không làm ảnh hưởng đến độ phân giải thời gian của tín hiệu.

Trong trường hợp này ta chọn f0=3, các giá trị WTu(τ,sk)được thể hiện trên hình 3.5b. Phân bố WTu(τ,sk) có các giá trị tần số tức thời fu(τ,sk) bằng với giá trị f0 (dải màu đỏ liên tục hình 3.8a). Để phục hồi lại tín hiệu x(t), ta không sử dụng phép biến

đổi iGFT mà biến đổi ngay trong miền thời gian - tỷ lệ. Thông qua việc nhân các giá trị WTu(τ,sk) với hàm chuyển exp(-i2πs0(τ)) theo công thức (3.16), các hệ số

76

tín hiệu x(t) (dải màu thay đổi liên tục từ xanh sang hồng hình 3.8b và 3.9a) nhưng

các hệ số này có độ lớn bằng với WTu(τ,sk) và vẫn phân bố xung quanh tỉ lệs411 ứng với tần sốf0=f411=3.

Hình 3.8:Tần số tức thời fu(τ,sk) (a), fy(τ,sk) (b)

Nhờ có các tần số tức thời thay đổi theo quy luật fx(t), các hệ sốTy(τ,fs)thu được khi ta thực hiện SWT với các hệ số WTy(τ,sk) sẽ phân bố đúng theo quy luật fx(t)

trong mặt phẳng thời gian - tần số. Mặt khác, hiệu quả của SWT vẫn được đảm bảo do các hệ số WTy(τ,sk) phân bố xung quanh tần số f0 tương tự như hàm u t7( )có tần sốkhông đổi theo thời gian hình 3.9b.

Hình 3.9:Giá trị fy(τ,sk) tại vị trí f=3 (Hz) (a) và biến đổi GST của tín hiệu x7(t) (b)

a) b)

77

Với việc áp dụng áp dụng phép biến đổi GST, ta có thể khắc phục được nhược

điểm của SWT đối với các tín hiệu có tần số biến đổi nhanh theo thời gian, kết quả thu được cho độ phân giải cao cả trong miền thời gian và miền tần sốđồng thời loại bỏ được một số thành phần tín hiệu nằm ngoài vùng tần số cần quan tâm. Với những ưu điểm của mình, GST hứa hẹn là một phương pháp hiệu quả trong việc giám sát tình trạng và chẩn đoán hư hỏng của hộp số do tốc độ quay của chúng

thường thay đổi theo thời gian tùy vào yêu cầu công nghệ và có các thành phần dao

động nằm trên một vùng tần số rộng.

Kết luận chương 3

Chương 3 trình bày về phép biến đổi nén đồng bộ nhằm nâng cao độ phân giải cho kết quả phân tích thu được từ biến đổi Fourier dạng cửa sổ và biến đổi Wavelet.

Tuy nhiên, để khắc phục nhược điểm là kém hiệu quảđối với các tín hiệu có tần số

biến đổi nhanh theo thời gian của phép nén đồng bộ, phương pháp nén đồng bộ suy rộng được ra đời. Kết quả phân tích tín hiệu dao động bằng phương pháp nén đồng bộ suy rộng có độ phân giải cả trong miền thời gian và miền tần số được nâng cao rõ rệt ngay cả khi tần số của tín hiệu thay đổi nhanh theo thời gian nên phương pháp

này rất phù hợp để áp dụng giám sát tình trạng máy quay vốn có tốc độ không ổn

định hoặc thay đổi theo thời gian do yêu cầu công nghệ. Các ứng dụng cụ thểđược trình bày chi tiết trong chương 4.

78

CHƯƠNG 4: MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC