Cơ sở toán học
Phép biến đổi Fourier suy rộng (Generalized Fourier Transform-GFT) được đưa
ra bởi S.Olhede và A.T.Walden vào năm 2005 [10]. GFT cho phép ta đưa một tín hiệu có tần số biến đổi theo thời gian về một tín hiệu có tần số không đổi, cụ thể như sau: 2 [ft+s (t)]0 ( ) i G X x t e π dt +∞ − −∞ = ∫ (3.12) a) b)
70
Trong đó, s0(t) là hàm giá trị thực chỉ phụ thuộc vào thời gian. Ta thấy, GFT chính là phép FT của một tín hiệu 2 0( )
( ) ( ) i s t
u t =x t e− π . Với quan điểm này, phép biến
đổi Fourier suy rộng ngược (inverse Generalized Fourier Transform-iGFT) có thể được định nghĩa dựa trên phép biến đổi Fourier ngược như sau:
2 ft ( ) G( ) i u t X f e π df +∞ −∞ = ∫ (3.13) Do đó: 2 s (t)0 2 ft ( ) i G( ) i x t e π X f e π df +∞ −∞ = ∫ (3.14) Vấn đề đặt ra là cần lựa chọn hàm s0(t) để tín hiệu u(t) có tần số không đổi theo thời gian. Ta thấy, nếu chọn s0(t) thỏa mãn
'
0( ) ( ) 0
s t = f t − f (3.15)
với f(t) là tần số của tín hiệu ban đầu và f0 là tần số không đổi chọn trước, thì yêu cầu này sẽđược thỏa mãn. Thực vậy, với cách lựa chọn trên, tín hiệu u(t) trở thành:
0
0 2 ( ) 2 ( ( ) ) 0
2 ( ) 2
( ) ( ) i s t ( ) i f t dt i f t f dt ( ) i f
u t =x t e− π =A t e π∫ e− π∫ − =A t e π
Tín hiệu u(t) thu được khi đó có tần số f0 không đổi được chọn trước kể trên. Vậy nếu có thể tạo ra một hàm s0(t) thỏa mãn điều kiện trên thì ta có thể đưa tín hiệu x(t) có tần sốthay đổi theo thời gian về tín hiệu u(t) có tần số f0 không đổi mà tín hiệu x(t) ban đầu vẫn có thể được phục hồi thông qua phép biến đổi iGFT. Tần số f(t) của tín hiệu có thểthu được từđầu đo pha hoặc ước lượng từ chính phân bố
thời gian - tần sốnhư WFT hay WT.
Ví dụ minh họa
Xét tín hiệu x7 =5ei2 (5π t+sin(2 ))t có tần số thay đổi theo thời gian: f7(t)=2cos(2t)+5
71
một tín hiệu u7 có tần sốkhông đổi f0 chọn trước bất kỳ. Giả sử, ta chọn giá trị f0=3
(Hz). Theo công thức (3.15), hàm s0(t)khi đó sẽ là:
0( ) ( 7( ) 0) sin(2 ) 2 s t =∫ f t − f dt= t + t Hình 3.5: Tín hiệu x7(t) và u7(t) Tín hiệu u7(t) sẽ có dạng: 2 (sin( ) 2 ) 7( ) ( ). i t t u t =x t e− π + , hai hàm x7(t) và u7(t) được thể hiện trên hình 3.5.
Như vậy, thông qua việc nhân tín hiệu với hàm i2 s t0( )
e− π ta có thểđưa một tín hiệu có tần số biến đổi theo thời gian về một tín hiệu có tần sốkhông đổi tùy chọn. Nhờ đặc điểm này, phép biến đổi GFT thường được sử dụng để xử lý các tín hiệu có tần số biến đổi theo thời gian, ví dụnhư khi ta lọc một điều hòa ăn khớp trong tín hiệu
dao động đo được từ hộp sốbánh răng có tốc độ quay biến đổi nhanh theo thời gian. Trong chương này, GFT sẽđược sử dụng nhằm nâng cao hiệu quả của phương pháp nén đồng bộ SWFT và SWT với các tín hiệu có tần sốthay đổi.