Bài 3.1. Tại khoảng cách A, B trong không khí, AB = 8 cm, người ta lần lượt đặt hai điện tích điểm q1 = 10-8C, q2 = - 10-8C.
a. Tính điện thế tại O trung điểm AB và tại M với MA vuông góc với AB, MA = 6cm.
64
b. Tính công của lực điện trường khi điện tích q = - 10-9 C di chuyển từ O đến M theo quỹ đạo là một nửa đường tròn đường kính OM.
Bài giải
a. Trước hết cần vẽ hình theo đầu bài ( hình 3.1) + Xét điện thế tại O
Điện thế tại một điểm sẽ là tổng hợp của hai điện thế do hai điện tích q1, q2 gây nên
Điện thế tại O:
V0 = V1.0 + V2.0 = k + k Vì AO = BO, q1 = - q2 nên V0 =0 .
+ Điện thế tại M: (MA vuông góc với MB) VM = V1.M + V2.M = k + k
Với BM = = 10 cm
VM = 9.109 + 9.109 = 600V Công của lực điện trường
b . Công của lực điện trường:
Công của lực điện trường của q1 và q2 thực hiện khi q di chuyển không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo của q:
AOM = q(V0 – VM) = - 10-9( 0 – 600) = 6.10-7J
Đáp số: a. Vo = 0; VM = 600V b. AOM = 6.10-7J
Bài 3. 2. Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m1 = m ; q1 = + q , m2 = 4m ; q2 = +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang. Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên. Đẩy quả
Hình 3.1 q2 O q1 A M B
65
cầu 1 chuyển động hướng thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2.
a.Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu. b. Xét trường hợp a = tính rmin.
c. Tính vận tốc của u1, u2 của hai quả cầu theo (v0, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng. Xét trường hợp a = .
Bài giải
Quá trình chuyển động của các quả cầu được mô tả như hình 3.2a, b,c, d
Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều. Khi khoảng cách cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng
vận tốc ( )
- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có :
mv0 = (4m+m)u (1) - Năng lượng của hệ tại thời điểm buông tay
W1 = + k
Năng lượng của hệ tại vị trí có khoảng cách cực tiểu m1 q1 q2 m2 a m1 q1 q2 m2 a m1 q1 q2 m2 rmin q2 m2 m1 q1 rmin Hình 3.2 a b c d
66
W2 = + ) + k
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
+ k = + ) + k
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: rmin = (3) b. Xét trường hợp a = ( hai quả cầu ở rất xa nhau) từ (3) ta có
rmin = (4)
Khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:
mv0 = mu1 + 4mu2 u1 = v0 - 4u2 (5) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
+ k = +4 (6)
Thay (5) vào (6) ta có
5mu22 - 2mv0u2 - = 0 (7) Giải phương trình ta được nghiệm
u2 =
Vì phải cùng chiều với , nghĩa là u2 phải cùng dấu với với v0 nên phải lấy dấu "+":
u2 =
67 Thay (8) vào (5) ta được :
u1 = - 4 (9)
Ta thấy u1 trái dấu với v0 ( Ngược chiều với ( ) vì quả cầu 1 bật trở lại Trong trường hợp a = thì ta có u2 = và u1 = -
Đáp số: Bài 3.3. Một quả cầu nhỏ khối lượng m mang điện tích q1 = -q chuyển động từ vị trí A trên mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng nằm ngang ( hình 3.3). Ở chân C của đường thẳng đứng AC có quả cầu nhỏ mang điện tích q2 = +q được giữ cố định. Xác định vận tốc vB của quả cầu m khi nó xuống đến chân dốc B. Khảo sát sự phụ thuộc của vB vào góc α trong các trường hợp:
a) α = 450 ; b) α > 450; c) α < 450
Bài giải
- Năng lượng của quả cầu m ở điểm A ( hình 3.3) WA = mgh + q1VA
WA = mgh + k WA= mgh - k - Năng lượng của quả cầu m ở điểm B:
WB = + k m Hình 3.3 A C B α q1 q2
68
WB = k
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai điểm A và B ta có WA = WB
mgh - k = k
Suy ra : vB2 = 2[gh - (1 - tanα)] 2[gh
vB = (1)
- Điều kiện để bài toán có nghiệm là
>0 (2) Xét các trường hợp cụ thể:
a) Khi α = 450 thì tanα = 1 do đó vB = .
Như vậy trong trường hợp này, vận tốc vB của vật tại B có giá trị giống như là trường hợp không có điện tích q2 tại C, nghĩa là giống như khi vật không chịu tác dụng của lực điện do điện tích q2 gây ra.
Tuy nhiên cần chú ý trong thực tế khi chuyển động từ A đến B quả cầu luôn chịu tác dụng của điện tích q2 ( lúc đầu quả cầu được tăng tốc, sau đó nó chịu tác dụng của lực cản theo phương chuyển động, do q2 tạo ra)
b) Khi α > 450 thì < 0
Do đó: ) > gh
Nên vận tốc vB của vật tại B có trị số lớn hơn so với khi không có điện tích q2 tại C.
c) Khi α < 450 thì > 0
Do đó ) < gh nên vận tốc vB của vật tại B có trị số nhỏ hơn so với khi không mặt điện tích q2 tại C.
Mặt khác nếu có trị số sao cho 0) =
69
Vận tốc của quả cầu ( do đó động năng của nó đạt giá trị cực đại trong khoảng AB tại vị trí mà thế năng của vật đạt cực tiểu.
Nếu α < α0 thì quả cầu không chuyển động đến điểm B được; tùy theo trị số của α mà quả cầu sẽ dừng lại tại một điểm D nào đó trên mặt phẳng nghiêng, và sau đó có thể lại quay về A và dao động từ A đến D và ngược lại.
Đáp số: vB
Bài 3. 4.Trên một mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát µ, có hai quả cầu nhỏ đứng yên, có khối lượng m và M, tích điện trái dấu Q và -Q.
(hình 3.4 ).
Người ta bắt đầu đẩy chầm chậm quả cầu 1 ( khối lượng m) cho chuyển động về phía quả cầu 2 cho đến khi quả cầu 1 tự chuyển động tiếp được thì thôi. Sau đó, khi quả cầu 2 ( khối lượng M) bắt đầu có thể dịch chuyển thì người ta lấy đi nhanh các điện tích ở các quả cầu. Hỏi khối lượng hai quả cầu phải thỏa mãn điều kiện nào để sau đó chúng có thể va chạm được vào nhau sau khi chúng tiếp tục chuyển động ? Bỏ qua kích thước của hai quả cầu.
Bài giải
- Quá trình dịch chuyển của quả câu được minh họa trên hình 3.4 (a,b,c) - Các lực tác dụng gây gia gia tốc cho mỗi quả cầu: Lực điện, lực ma sát - Quả cầu 1 có thể tự chuyển động được, khi lực hút tĩnh điện bắt đầu thắng được lực ma sát giữa quả cầu 1 và mặt phẳng nằm ngang, khoảng cách giữa hai quả cầu khi đó là:
= µmg ( 1) m, Q M, - Q 1 r 2 Hình 3.4 m, Q M, -Q 1 r1 2 m, Q M, -Q 1 r0 2 Hình 3.4(a, b, c) m, Q M, - Q 1 r 2 a) b) c)
70
- Quả cầu 2 có thể bắt đầu chuyển động được từ vị trí cách quả cầu 1 một khoảng r1 :
= µMg ( 2) - Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có = Ams
- = µmg(r0 - r1) 3)
Với v là vận tốc của quả cầu 1 khi hai quả cầu cách nhau một khoảng r1.
- Khi hai quả cầu mất hết điện tích, điều kiện để quả cầu 1 đuổi kịp quả cầu 2 là: ≥ µmgr1 (4) Từ (1) ta có = µmgr0 (5) Từ (2) ta có = µmgr1 (6) Thay (5) và (6) vào (3) ta có : = µgr1(M -m) Kết hợp với (4) ta có µgr1(M -m) ≥ µmgr1 Suy ra : M - m ≥ m và ≥ 2 Đáp số: ≥ 2
Bài 3.5: Ba quả cầu nhỏ tích điện được giữ nằm yên trên một đường thẳng, trong mặt phẳng nhẵn nằm ngang. Khoảng cách từ quả cầu ở giữa đến hai quả cầu bên cạnh là d, khối lượng các quả là m1; m2 = 2m1 ; m3 = 5m1. Điện tích của chúng lần lượt là q1 ; q2 = q1 ; q3 = 2q1. Người ta thả các quả cầu cho tự
71
do. Hãy tìm vận tốc của mỗi quả quả cầu sau khi chúng đã dịch chuyển ra rất xa nhau. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài giải:
- Lực tác dụng gây ra gia tốc cho các quả cầu ( Hình 3.5) Quả cầu m1: ; ; F21 = k ; F31 = k = k Quả cầu m2: ; ; F12 = k ; F32 = k Quả cầu m3: ; ; F13 = k F23 = k
- Tại thời điểm ban đầu hợp lực tác dụng lên mỗi quả cầu có độ lớn là Quả cầu m1; F1 = F21 + F31 = k
Quả cầu m2; F2 = F32 - F12
F2 = k - k = k Quả cầu m3; F3 = F13 - F23
F3 = - - k = - k
Gia tốc chuyển động của mỗi quả cầu khi đó lần lượt là q1,m1 q2,2m1 q3,5m1
d d
O x
72
a1 = = ;
a2 = = ; a3 = = -
- Xét trong hệ quy chiếu gắn với quả cầu giữa m2 thì tại thời điểm ban đầu ta
có : a12 = a1 - a2 =
a32 = a3 - a2 = - = - a12 - Từ đó suy ra: v12 = - v32 ;
Ta lại có: v12 = v1 - v2 và v32 = v3 - v2
Vậy: v2 = (1) Hệ thức (1) luôn đúng ở thời điểm bất kỳ
- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ba quả cầu: m1v1 + m2v2 + m3v3 = 0
Suy ra: m1v1 + 2m1v2 + 5m1v3 = 0
v1 + 2v2 + 5v3 = 0
(2)
- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :
+ + = m1v12 + 2m1v22 + 5m1v32
Suy ra = m1(v12 + 2v22 + 5v32 ) (3) - Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta có:
73
v3 = ; v1 = - 3v3 = -3 ;
v2 = - v3 = -
Đáp số: v1 = 3 ; v2 = - ; v3 =
Bài tập học sinh tự giải
Bài 3.6. Hai điện tích q1 = 5.10-6 C và q2 = 2.10-6 C đặt tại hai đỉnh A, D của hình chữ nhật ABCD. Cho AB = 30cm, BC =40cm. Tính công của lực điện trường khi dịch chuyển điện tích q = 10-9 C di chuyển từ B đến C.
Đáp số: ABC = 3,6.10-5V/m.
Bài 3.7. Hai điện tích q1 = 3.10-8 C và q2 = -5.10-8 C đặt tại A, B trong không khí. Cho AB = 8 cm. Tìm những điểm mà ở đó điện thế bằng không.
a) Trên AB.
b) Trên đường thẳng vuông góc với AB tại A
Đáp số: a) CA = 3cm ; CB = 5 cm ( C nằm giữa AB) CA = 12cm ; CB = 20 cm ( C nằm ngoài AB) b) Khoảng cách từ C xuống AB là x ; x = 6 cm. Bài 3.8. Một quả bóng bay được bơm khí heli, mang điện tích q = - 5,5.10-8 C bay thẳng đứng lên không khí một khoảng d = 520m từ vị trí ban đầu A đến vị trí cuối B. Bình thường điện trường tồn tại trong khí quyển gần mặt đất có cường độ E = 150 V/m và hướng xuống dưới. Tính hiệu thế năng (điện) của quả bóng giữa các vị trí A và B.
Đáp số : W = 4,3.10-3J Bài 3.9. Tại hai điểm A và B cách
nhau một đoạn a = 20 cm có hai điện
Hình 3.9 a
A B
74 tích điểm được giữ cố định q1 = 9.10- 6 C và q2 = -.10-6 C.
Một hạt có khối lượng m = 0,1 g và điện tích q3 = 10-6 C, chuyển động từ rất xa đến, theo đường BA như (HV) . Hỏi hạt đó phải có vận tốc tối thiểu bằng bao nhiêu để nó có thể đến được điểm B, bỏ qua tác dụng của trọng trường
Đáp số: v0 ≈ 60 m/s
Bài 3.10. Hai quả cầu nhỏ cùng khối lượng m, nối với nhau bằng một sợi dây dài l, nằm trên mặt phẳng ngang có có hệ số ma sát là µ. Điện tích mỗi quả bằng q. Xác định vận tốc cực đại của mỗi quả cầu khi dây nối bị tuột ra.
Đáp số :vmax= q -
Bài 3.11. Ba quả cầu 1,2 và 3 có cùng điện tích q = 1µC được giữ nằm yên trên một đường thẳng nằm ngang. Quả cầu 2 nằm ở giữa, cách hai quả cầu 1 và 3 một khoảng a = 0,1 m. Khối lượng của các quả cầu tương ứng bằng m1 = 0,1g; m2 =10 g và m3 = 1 kg. Buông các quả cầu cho chúng chuyển động tự do. Hãy tính một cách gần đúng vận tốc của chúng khi chúng ở rất xa. Bỏ qua ma sát.
Đáp số :v2 = 4m/s và v3 = 0,04m/s. Bài 3.12. Hai quả cầu kim loại giống nhau, có cùng bán kính r = 1cm, cùng khối lượng m =4g, được treo vào hai sợi dây mảnh cách điện, không dãn ( khối lượng không đáng kể ) vào cùng điểm treo O. Khoảng cách từ tâm O đến đến tâm quả cầu là l = 10cm. Ban đầu hai quả cầu tiếp xúc với nhau. Sau khi truyền điện tích cho các quả cầu, chúng đẩy nhau và dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng , khi đó lực căng dây treo là T = 4,9.10-2 N. Tính điện thế của các quả cầu khi đó. Lấy g = 9,8m/s2
75 2.3.4. Chủ đề 4: Tụ điện
Bài 4.1. Tụ điện phẳng gồm hai bản tụ hình vuông cạnh a = 20 cm đặt cách nhau d = 1 cm, chất điện môi giữa hai bản là thủy tinh có 6. Hiệu điện thế giữa hai bản U = 50V
a. Tính điện dung của tụ điện. b. Tính điện tích của tụ điện.
c. Tính năng lượng của tụ điện. Tụ điện có dùng làm nguồn điện được không Bài giải:
a. Điện dung của tụ điện:
C = . = .
C = . = 212,4.10-12 F = 212,4 pF b. Điện tích của tụ điện:
Q = C.U = 10,62.10-9 C ≈ 10,6 nC c. Năng lượng tụ điện :
W = QU = 265,5.10-9 J ≈ 266 nJ
Khi tụ điện phóng điện tụ sẽ tạo thành dòng điện. Tuy nhiên thời gian thời gian phóng điện của tụ rất ngắn, nên tụ không thể dùng làm nguồn điện được. Dòng điện do nguồn sinh ra phải tồn tại ổn định trong một thời gian khá dài.
Đáp số: a. C = 212,4 pF b. Q ≈ 10,6 nC c. W ≈ 266 nJ
Bài 4.2. Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng không khí là d = 1,5 cm. Người ta đặt vào hai bản tụ một hiệu điện thế U = 3,9.104 V
76
a. Hỏi tụ điện có bị "đánh thủng" không ? Cho biết không khí trở thành dẫn điện khi cường độ điện trường lớn hơn giá trị Ek = 3.106 V/m ( Ek thường được gọi là điện trường giới hạn).
b. Nếu khi đó lại đặt vào giữa hai bản một tấm thủy tinh dày 3mm, có hằng số điện môi = 7 thì tụ điện có bị hỏng không, biết rằng điện trường giới hạn đối với thủy tinh là Et = 107 V/m
Bài giải:
Điện trường giới hạn đối với một vật cách điện là điện trường nhỏ nhất để xảy ra hiện tượng phóng điện đâm xuyên trong vật liệu đó, nghĩa là nếu điện trường lớn hơn giá trị này, vật liệu không có khả năng cách điện nữa và trở thành dẫn điện.
a. Khi chưa có thủy tinh, cường độ điện trường trong tụ là: E = = 2,6.104 V/m < Ek
Tụ điện không bị "đánh thủng" (nổ)
b. Khi có tấm thủy tinh, điện dung của tụ điện tăng lên. Do đó với cùng một hiệu điện thế U giữa hai bản tụ điện, điện tích ở các bản tăng lên, làm cho điện trường trong khoảng không khí tăng lên. Gọi E1 và E2 là cường độ điện trường trong phần không khí và trong tấm thủy tinh, ta có:
U = E1( d -l) + E2l, với E =
Từ đó: E1 = = 3,14.106 V/m > Ek
Vì vậy, khi đó hiệu điện thế U của nguồn đặt trực tiếp vào hai mặt tấm thủy tinh. Điện trường trong tấm thủy tinh bây giờ là E2' = = 1,3.107 V/m > E1: thủy tinh bị đâm xuyên và tụ điện bị "nổ"
Đáp số: a. Tụ điện không bị đánh thủng. b. Tụ điện bị đánh thủng