Trong tối ưu hóa đa mục tiêu, lời giải thu được sẽ bao gồm một tập các lời giải thay vì một lời giải như trong tối ưu hóa đơn mục tiêu. Để so sánh tập các lời giải thu được giữa các thuật toán đa mục tiêu khác nhau, người ta thường sử dụng một số độ đo. Phần này trình bày một số độ đo phổ biến thường được sử dụng trong các bài toán tối ưu đa mục tiêu.
C-metric [22]
Giả sử A và B là hai thuật toán xấp xỉ biên Pareto của một bài toán tối ưu đa mục tiêu. C(A, B) được định nghĩa là tỉ lệ các lời giải trong thuật toán B bị trội bởi ít nhất một lời giải của A, tức là:
C(A, B) = |{x∈B|∃y∈A:yx}|
|B| . (1.23)
Chú ý rằng C(A, B) không nhất thiết phải bằng 1− C(B, A). C(A, B) = 1 có nghĩa là tất cả các lời giải trong B bị trội bởi một số lời giải trongA, trong khi đó C(A, B) = 0 có nghĩa là không lời giải nào trong B bị trội bởi một lời giải trong A.
Để thuận tiện cho việc so sánh, đôi khi sự khác biệt về độ đoC giữa hai thuật toán thường hay được sử dụng.
δ(A, B) = C(A, B)− C(B, A). (1.24) Giá trị của δ nằm trong khoảng từ [−1,1]. δ(A, B) = 1 có nghĩa là tất cả các lời giải thu được bởi thuật toánA trội hơn các lời giải thu được của thuật toán B.
N DS-metric [22]
N DS (Non-dominated solutions) của một thuật toán A được tính bằng số lượng lời giải không bị trội thu được trên biên Pareto của thuật toán A, tức là:
N DS(A) =|A|. (1.25)
HV-metric [22]
chiếu z∗. Một thuật toán có giá trị độ đo HV càng cao thì càng tốt. Hình 1.10 minh họa độ đo HV cho bài toán tối ưu hóa hai mục tiêu.
Hình 1.10: Minh họa độ đo HV cho bài toán tối ưu hai mục tiêu, trong đó z∗ là điểmtham chiếu. tham chiếu.
Để thuật tiện cho việc so sánh độ đo HV-metric giữa hai thuật toán, luận án định nghĩa độ đo S. Độ đo S(A, B) giữa thuật toán A và thuật toán B là số lượng bộ dữ liệu mà thuật toán A vượt trội hơn thuật toán B trên độ đo HV.
S(A, B) = no.instances X i=1 (HV(A, r)>HV(B, r)). (1.26) ∆ - metric [22]
Giá trị∆của một tập các lời giải nhận được bởi thuật toán Ađược tính toán như sau:
∆(A) = df +dl +
P|A|
j=1(dj−d)
df +dl+|A|d (1.27) Trong đó, df và dl là khoảng cách từ hai điểm cực biên tới hai điểm cực của Pareto tối ưu. dj là khoảng cách giữa hai lời giải láng giềng, d là trung bình khoảng cách của tất cả các điểm liền nhau trên biên. ∆(A) = 0 nghĩa là các lời giải được phân phối đều trong không gian, do đó, ∆(A) càng thấp, thì thuật toán càng tốt.