4.2.1 Cách chọn rổ công cụ
Rổ đầu vào chứa ba loại công cụ: lãi suất thị trường tiền tệ, hợp đồng giao sau và hợp đồng hoán đổi.
Lãi suất thị trường tiền tệ
Chúng tôi xem xét lãi suất thị trường tiền tệ với các kỳ hạn dao động từ 1 ngày đến 1 năm, ví dụ, Lãi suất Euribor hoặc lãi suất Libor. Các lãi suất này, được thể hiện trên cơ sở Thực tế / 360 (hoặc 365), lần đầu tiên được chuyển đổi vào lãi suất không cổ tức tương đương với cơ sở Thực tế / 365 (hoặc 30/360). Ví dụ, vào ngày 01/01/99, chúng tôi giả sử rằng tỷ lệ Libor 1 tháng bằng 2,5%. Sử dụng cơ sở Thực tế/365, tương đương tỷ lệ zero-coupon (biểu thị bằng R(0, 1/12)) được đưa ra bởi
Hợp đồng giao sau14
Ở giai đoạn này, chúng ta chỉ cần xem xét các hợp đồng tương lai dựa trên lãi suất thị trường tiền tệ, ví dụ, hợp đồng Libor 3 tháng hoặc Euribor 3 tháng và tìm lãi suất không cổ tức từ dữ liệu thô. Giá của một hợp đồng 3 tháng lãi suất Libor kỳ hạn 3 tháng là 100 trừ cho lãi suất15 cơ sở giao sau 3 tháng. Ví dụ, vào ngày 15/03/99, lãi suất kỳ hạn 3 tháng LIBOR là 3% và hợp đồng kỳ hạn 3 tháng LIBOR với ngày đáo hạn là tháng 6 năm 1999 có giá bằng 96.5. Do đó, vào ngày 15/03/99, lãi suất kỳ hạn 3 tháng, bắt đầu từ ngày 15/06/99, là 3,5%. Tỷ lệ giao ngay 6 tháng (được ký hiệu bằng R(0, 6/12)) được lấy như sau:
Tương tự, từ giá của các hợp đồng giao sau có ngày đáo hạn tháng 9 năm 1999, tháng 12 năm 1999 và tháng 3 năm 2000, chúng ta có thể có được tỷ lệ zero-coupon R(0, 9/12), R(0, 1) và R(0, 15/12)
Hợp đồng hoán đổi16
Chúng tôi xem xét lợi suất hoán đổi Libor (hoặc Euribor) 3 hoặc 6 tháng với các kỳ hạn từ 1 năm đến 30 năm và tìm lãi suất không cổ tức tương đương. Lợi suất hoán
14 Để có mô tả chi tiết các hợp đồng giao sau, chúng tôi giới thiệu người đọc đến Chương 11.
15 Xem Chương 11 dành cho các hợp đồng kỳ hạn và hợp đồng giao sau.
44
đổi là lợi suất mệnh giá; vì vậy tỷ lệ zero-lợi suất không cổ tức với kỳ hạn 2 năm R(0, 2) thu được như là giải pháp cho phương trình sau17
trong đó SR(2) là lợi suất hoán đổi 2 năm và R(0, 1) bằng SR(1). Giá giao ngay R(0, 3), . . , R(0, 10) được thu thập đệ quy trong một fashion tương tự
17 Xem Chương 10 dành cho hợp đồng hoán đổi.
Example 4.13 Chúng tôi đưa ra dưới đây một ví dụ về một rổ thực sự vào ngày 31 tháng 5 năm 2001 trên thị trường liên ngân hàng euro
Lãi suất Euribor:
Kỳ hạn Lãi suất Euribor
1 ngày 4.56%
1 tuần 4.57%
45
4.2.2 Phương pháp nội suy
Nội suy tuyến tính và nội suy bậc ba
Trong ví dụ trên, rổ của chúng ta chứa 30 công cụ với kỳ hạn từ 1 ngày đến 30 năm, cho phép chúng ta lấy được 30 lãi suất không cổ tức với kỳ hạn từ 1 ngày đến 30 năm. Nếu chúng ta cần một cấu trúc thuật ngữ không cổ tức liên tục, chúng ta có thể sử dụng nội suy tuyến tính hoặc nội suy bậc ba, như đã giải thích trong phần trước về "Các loại nội suy khác nhau", hoặc chúng ta có thể sử dụng nội suy khác là nội suy logarit tuyến tính của các yếu tố chiết khấu.
Hợp đồng giao sau Euribor kỳ hạn 3 tháng
Kỳ hạn Giá mua-bán Kỳ hạn Giá mua-bán
6/2001 95.52-95.5275 6/2002 95.58-95.5825
9/2001 95.73-95.735 9/2002 95.45-95.4525
12/2001 95.68-95.6825 12/2002 95.29-95.295
3/2002 95.71-95.7175 3/2003 95.26-95.2675
Lợi suất hoán đổi Euribor kỳ hạn 6 tháng
Kỳ hạn Lãi suất hoán đổi (%) Kỳ hạn (Năm) Lãi suất hoan đổi (%)
27 tháng 4.634 10 5.583 30 tháng 4.6698 11 5.65 33 tháng 4.714 12 5.711 3 năm 4.762 13 5.765 4 năm 4.914 14 5.813 5 năm 5.059 15 5.856 6 năm 5.193 20 5.983 7 năm 5.319 25 6.052 8 năm 5.426 30 6.056 9 năm 5.511 - -
Chúng ta cần chú ý đến mối liên hệ giữa lãi suất thị trường tiền tệ và hợp đồng tương lai, và giữa các hợp đồng tương lai và hợp đồng hoán đổi. Ví dụ, lãi suất không cổ tức kỳ hạn 9 tháng có nguồn gốc từ thị trường tiền tệ có thể khác với lãi suất không cổ tức kỳ hạn 9 tháng có nguồn gốc từ các hợp đồng tương lai. Chúng ta phải đối mặt với ba phân đoạn khác nhau với các tác nhân khác nhau và, vì tất cả các loại chi phí hao mòn (chi phí giao dịch, giá thầu - như chênh lệch ...), cân nhắc thuế và quy ước tính toán, một số khác biệt có thể xuất hiện và không thể kinh doanh chênh lệch. Theo một quy tắc đơn giản, sự đáo hạn của lãi suất không cổ tức cuối cùng được suy ra từ thị trường tiền tệ và sự trưởng thành của phiếu giảm giá từ các hợp đồng tương lai phải khác nhau tối thiểu là 1 tháng. Quy tắc tương tự được áp dụng cho việc kết nối giữa hợp đồng tương lai và hợp đồng hoán đổi
46
Nội suy logarit tuyến tính
Hãy xem xét rằng chúng ta biết tại ngày t = 0 hai yếu tố giảm giá B(0, x) và B(0, z) và cần biết B(0, y) với y ∈ [x; z]. Sử dụng nội suy logarit tuyến tính với các yếu tố chiết khấu, B(0, y) được đưa ra theo công thức sau:
Sử dụng biểu thức sau đây trong đó Rc(0, y) là lãi suất không cô tức liên tục kết hợp tại ngày t = 0 đến lúc đáo hạn là y
phương trình (4.14) trở thành
Chúng tôi quan sát thấy rằng số lượng Rc(0, y)·y thu được bằng nội suy tuyến tính giữa và
4.2.3 Phương pháp bình phương tối thiếu dựa trên lãi suất
Các phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng để lấy đường cong liên ngân hàng hiện tại rất giống với các phương pháp được sử dụng để lấy đường cong kho bạc không mặc định hiện tại. Sau khi chuyển đổi dữ liệu thị trường thành lãi suất không cổ tức tương đương, đường cong lãi suất không cổ tức có nguồn gốc bằng cách sử dụng quy trình hai giai đoạn:
1. viết tỷ lệ zero-coupon như một hàm B-spline;
2. Sắp xếp chúng thông qua phương pháp bình phương nhỏ nhất bình thường (OLS)
Viết lãi suất không cổ tức về hàm B-Spline
Chúng ta có lãi suất không cổ tức tương đương N được biểu thị bằng R(0, n) cho n = 1,... ,N. Sử dụng ký hiệu tiêu chuẩn, chúng tôi biểu thị bằng (0,θ) lãi suất không cổ tức lý thuyết với ngày đáo hạn θ. (0,θ) có thể được viết dưới dạng tổng các hàm B-spline bậc ba, đảm bảo đạt được các đường cong điểm hoàn toàn trơn tru:
Khi ý tưởng là xây dựng lại đường cong liên ngân hàng cho các kỳ hạn từ 1 ngày đến 10 năm, một lựa chọn tiêu chuẩn cho các đường splines có thể là [0, 1/2], [1/2, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6], [6, 8] và [8, 10]. Trong trường hợp đó, chúng tôi viết cụ thể
47
trong đó , , , , , , , , , , , , , và . Nhớ lại rằng các tham số , , , , , chỉ được đáp ứng < < < 0 <... < 10 < < < và được định nghĩa là điều kiện toán học để viết các hàm B-spline. Phương pháp này cho phép chức năng phù hợp là một trận đấu gần như hoàn hảo cho tất cả các điểm R (0, n). Lưu ý rằng có thể hoàn toàn phù hợp với tất cả các điểm thị trường bằng cách chọn nhiều splines như các điểm thị trường.
Lập chức năng thông qua một phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường
Bước cuối cùng bao gồm giảm thiểu tổng số bình phương trải rộng giữa giá thị trường và tỷ lệ lý thuyết theo chương trình sau đây.
4.2.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất dựa trên giá cả
Phương pháp này là một phương pháp ban đầu bao gồm chuyển đổi tỷ giá thành giá. Sau khi chuyển đổi dữ liệu thị trường thành lãi suất không cổ tức tương đương, việc lấy nguồn từ đường cong lãi suất không cổ tức bao gồm quá trình ba giai đoạn:
1. Chuyển đổi dữ liệu thị trường thành giá trái phiếu; 2. Viết chức năng giảm giá như một hàm B-spline;
3. Giá phù hợp thông qua một phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS).
Chuyển đổi dữ liệu thị trường thành giá trái phiếu
Tất cả các lợi suất được trích dẫn (lãi suất thị trường tiền tệ, lãi suất hợp đồng giao sau và lợi suất hoán đổi) lần đầu tiên được đồng nhất trên cơ sở trái phiếu:
• Lãi suất thị trường tiền tệ đầu tiên được chuyển đổi thành lãi suất không cổ tức tương đương, và sau đó thành trái phiếu không cổ tức cung cấp 100 đô la khi đáo hạn. Ví dụ, vào ngày 02/01/00, chúng tôi cho rằng lãi suất Libor kỳ hạn 3 tháng bằng 3%. Tương đương về lãi suất không cổ tức (ký hiệu bằng R(0, 3/12)) được đưa ra bởi
và chúng tôi chuyển đổi lãi suất không cổ tức này thành trái phiếu không cổ tức cung cấp $ 100 vào ngày 05/01/00 có giá P vào ngày 02/01/00 được đưa ra bởi
48
Lãi suất không cổ tức (với kỳ hạn thấp hơn hoặc bằng 1 năm) có nguồn gốc từ các hợp đồng giao sau được chuyển đổi theo cách tương tự như trái phiếu không cổ tức. Cuối cùng, lãi suất hoán đổi là lợi suất mệnh giá, giá hoán đổi bằng 100 đô la (giả sử
một khoản gốc danh nghĩa 100 đô la).
Viết chức năng chiết khấu theo hàm B-Spline
Ý tưởng ở đây là viết chức năng chiết khấu B(0,θ) (hoặc giá của trái phiếu không cổ tức trả 1 đô la khi đáo hạn θ) dưới dạng tổng khối B-splines:
Giá phù hợp thông qua phương pháp bình phương tổng quát nhỏ nhất
Bước cuối cùng bao gồm giảm thiểu tổng của các bình phương trải rộng giữa giá thị trường Pn và giá lý thuyết Pn theo chương trình sau.
trong đó, đối với n = 1,... ,N, là giá thị trường và là giá lý thuyết thu được dưới dạng tổng dòng tiền chiết khấu sử dụng chức năng chiết khấu B(0,θ).
Đường cong Liên ngân hang – Bậc ba B-Splines
Phương pháp bình phương nhỏi nhất dựa trên lãi suất
Ngày 10/19/00 Tổng bình phương chênh lêch 2.3971E-07 Bình quân chênh lệch 0.012%
Lãi suất công cụ Đáo hạn Lãi suất không cổ tức thị trường (%)
Lãi suất không cổ tức lý thuyết (%) Chênh lệch (%) Quy trình giảm thiểu 1 tuần Euribor 10/26/00 4.911 4.910 0.001 1 tháng Euribor 11/20/00 5.017 5.007 0.009
Example 4.14 10/19/2000—Euro Interbank Market—Tái tạo đường cong lợi suất không lợi tức bằng cách sử dụng bậc ba B-Splines
Chúng tôi lấy được đường cong lãi suất hoán đổi không cổ tức Euribor kể từ ngày 19 tháng 10 năm 2000 (xem Hình 4.16), sử dụng cả phương pháp bình phương nhỏ nhất dựa trên lãi suất (xem Bảng 4.6) và dựa trên giá (xem Bảng 4.7). Chúng tôi xem xét các splines sau đây trong cả hai trường hợp: [0,1/2], [1/2,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,8] và [8,10]. Lưu ý rằng phương pháp đầu tiên dành riêng cho việc định giá các công cụ và tính toán chênh lệch hoán đổi tài sản, trong khi phương pháp thứ hai thuận tiện cho việc ước tính các cấu trúc thời hạn chênh lệch tín dụng khi sử dụng mô hình ước tính chung. Về mức phù hợp (xem Bảng 4.6 và 4.7), cả hai phương pháp đều chứng minh là hiệu quả, đặc biệt là phương pháp đầu tiên (xem tổng số lỗi bình phương). Cái thứ hai ít chính xác hơn trong việc thay thế đầu ngắn của đường cong [0,3]. Sự khác biệt này là do thực tế là phương pháp thứ hai dựa trên sự phù hợp về giá cả, trong khi các công cụ ngắn hạn được trang bị tốt nhất về năng suất. Thật vậy, một sự phù hợp rất tốt của giá có thể
49 2 tháng Euribor 12/19/00 5.066 5.102 -0.036 3 tháng Euribor 01/19/01 5.198 5.167 0.031 Euribor hợp đồng giao sau Th12 00 03/19/01 5.228 5.232 -0.004 Euribor hợp đồng giao sau Th03 01 06/18/01 5.263 5.266 -0.003 Euribor hợp đồng giao sau Th06 01 09/17/01 5.280 5.279 0.001 Euribor hợp đồng giao sau Th09 01 12/17/01 5.287 5.283 0.004
Hoán đổi 2 năm 10/21/02 5.331 5.311 0.000
Hoán đổi 3 năm 10/20/03 5.384 85.384 0.000
Hoán đổi 4 năm 10/19/04 5.465 5.465 0.000
Hoán đổi 5 năm 10/19/05 5.552 5.552 0.000
Hoán đổi 6 năm 10/19/06 5.648 5.648 0.000
Hoán đổi 7 năm 10/19/07 5.733 5.733 0.000
Hoán đổi 8 năm 10/20/08 5.803 5.803 0.000
Hoán đổi 9 năm 10/19/09 5.861 5.861 0.000
Hoán đổi 10 năm 10/19/10 5.935 5.935 0.000
Đường cong Liên ngân hang – Bậc ba B-Splines Phương pháp bình phương nhỏi nhất dựa trên giá
Ngày 10/19/00 Tổng bình phương chênh lêch 0.0003 Bình quân chênh lệch 0.0045
Lãi suất công cụ Đáo hạn Lợi tức Giá thị trường (%) Giá lý thuyết (%) Chênh lệch (%) Quy trình giảm thiểu 1 tuần Euribor 10/26/00 0 99.908 99.907 0.001 1 tháng Euribor 11/20/00 0 99.573 99.572 0.001 2 tháng Euribor 12/19/00 0 99.180 99.175 0.004 3 tháng Euribor 01/19/01 0 98.734 98.744 -0.010 Euribor hợp đồng giao sau Th12 00 03/19/01 0 97.914 97.915 -0.001
50 Euribor hợp đồng giao sau Th03 01 06/18/01 0 96.657 96.649 0.008 Euribor hợp đồng giao sau Th06 01 09/17/01 0 95.415 95.413 0.002 Euribor hợp đồng giao sau Th09 01 12/17/01 0 94.191 94.198 -0.007
Hoán đổi 2 năm 10/21/02 5.31 100.000 99.997 0.003
Hoán đổi 3 năm 10/20/03 5.38 100.000 100.001 -0.001
Hoán đổi 4 năm 10/19/04 5.45 100.000 99.999 0.001
Hoán đổi 5 năm 10/19/05 5.53 100.000 100.002 -0.002
Hoán đổi 6 năm 10/19/06 5.62 100.000 99.995 0.005
Hoán đổi 7 năm 10/19/07 5.69 100.000 100.007 -0.007
Hoán đổi 8 năm 10/20/08 5.76 100.000 99.995 0.005
Hoán đổi 9 năm 10/19/09 5.81 100.000 100.002 -0.002
Hoán đổi 10 năm 10/19/10 5.86 100.000 100.000 0.000
che giấu một sự phù hợp không đầy đủ của lợi suất, vì thời gian rất nhỏ của các công cụ ngắn hạn. Ví dụ, một sự thay đổi 10 bps trong năng suất của một công cụ 3 tháng xấp xỉ dẫn đến thay đổi giá 2,5 cent, hoặc nói cách khác, lỗi giá 1 cent tương đương với lỗi lợi suất 4 bps.
4.3 Xây dựng cấu trúc kỳ hạn chênh lệch tín dụng
Cấu trúc thuật ngữ của chênh lệch tín dụng cho một lớp xếp hạng nhất định và một khu vực kinh tế nhất định có thể được lấy từ dữ liệu thị trường thông qua hai phương pháp khác nhau: phương pháp rời rạc và phương pháp chung. Cái đầu tiên bao gồm việc lấy riêng cấu trúc thuật ngữ của lợi suất không cổ tức không cố định và cấu trúc thuật ngữ của lợi suất không cổ tức rủi ro để có được bằng cách phân biệt cấu trúc thuật ngữ của chênh lệch tín dụng không cổ tức. Ngược lại, cấu trúc thứ hai bao gồm tạo ra cả hai cấu trúc thuật ngữ của lợi suất không cổ tức thông qua quy trình một bước.
4.3.1 Phương pháp rời rạc
Đối với một lớp xếp hạng rủi ro nhất định và một khu vực kinh tế nhất định, bắt nguồn từ cấu trúc thuật ngữ hiện tại của chênh lệch tín dụng bằng cách sử dụng phương pháp rời rạc là một quy trình ba bước:
51
Đầu tiên, lấy đường cong lợi suất không cổ tức chuẩn. Nó có thể được coi là đường cong lợi suất không cổ tức của Kho bạc hoặc đường cong lợi suất không cổ tức liên ngân hàng, sử dụng một trong các phương pháp được giải thích trong Phần 4.1 và 4.2.
Sau đó, tạo thành một giỏ trái phiếu đồng nhất cho lớp rủi ro được nghiên cứu, sử dụng phương pháp được mô tả trong phần "Làm thế nào để chọn một giỏ trái phiếu?", và lấy đường cong lợi suất không cổ tức tương ứng bằng cách sử dụng các phương pháp tương tự như các phương pháp được trình bày trong Phần 4.1. Cuối cùng, có được đường cong chênh lệch tín dụng không cổ tức bằng cách trừ đi
đường cong lợi suất không cổ tức chuẩn khỏi đường cong lợi suất không cổ tức rủi ro.
Hạn chế của phương pháp này là chênh lệch tín dụng ước tính (1) rất nhạy cảm với các