Giả sử chúng ta muốn cùng nhau lấy các cấu trúc kỳ hạn chênh lệch tín dụng hiện tại của các lớp rủi ro khác nhau liên quan đến đường cong lợi suất không cổ tức chuẩn. Chúng ta biểu thị
là số lượng trái phiếu của lớp thứ i rủi ro cho i = 1, 2 ,... , n. J0 là số lượng trái phiếu của lớp chuẩn.
t là giá thị trường tại ngày t của trái phiếu thứ j của lớp thứ i rủi ro. là giá lý thuyết tại ngày t của liên kết thứ j của lớp thứ i rủi ro. vectơ giá là = ( ) ji=1,…,ji và = ( ) ji=1,…,ji, tương ứng.
là thời điểm đáo hạn của trái phiếu thứ j (trong nhiều năm) của lớp rủi ro thứ i. là lợi tức và / hoặc nợ gốc của trái phiếu thứ j của lớp rủi ro thứ i tại thời điểm ≥ t αji là số lượng dòng tiền cho trái phiếu thứ j của lớp rủi ro thứ i
Bi(t,s) là yếu tố giảm giá liên quan đến lớp rủi ro thứ i (giá tại ngày t của một trái phiếu không phiếu giảm giá của lớp thứ i trả $1 tại ngày s ). B0 (t,s) là chức năng giảm giá liên quan đến lớp điểm chuẩn. Lưu ý rằng chúng tôi có ràng buộc sau đây đối với chương trình giảm thiểu ∀i = 0, 1, 2 ,... , n
52
Có hai cách để mô hình hóa mối quan hệ giữa các yếu tố giảm giá:
Chức năng giảm giá liên quan đến lớp rủi ro thứ i là tổng của chức năng giảm giá của lớp điểm chuẩn cộng với chức năng chênh lệch.
trong đó Si(t,s) là chức năng giảm giá chênh lệch liên quan đến lớp rủi ro thứ i và S0 (t,s) = 0 .
Chức năng giảm giá liên quan đến lớp rủi ro thứ i là phép nhân của chức năng chiết khấu của lớp chuẩn bằng chức năng chênh lệch
trong đó Ti(t,s) là chức năng giảm giá chênh lệch liên quan đến lớp rủi ro thứ i và T0 (t,s) = 1 .
Ưu điểm của mô hình đầu tiên là chúng tôi giữ ký tự tuyến tính của vấn đề cho chương trình giảm thiểu nếu chúng tôi viết chức năng giảm giá như một hàm tuyến tính của các tham số được ước tính. Ngược lại, mô hình thứ hai dẫn đến một chương trình giảm thiểu phi tuyến nhưng trực quan hơn theo nghĩa là chúng ta có thể viết lãi suất không cổ tức rủi ro dưới dạng tổng của lãi suất không không cổ tức chuẩn cộng với chênh lệch18
trong đó là lãi suất không cổ tức liên tục kết hợp của lớp rủi ro thứ i tại ngày t với ngày đáo hạn s − t và là chênh lệch tại ngày t cho đáo hạn s − t giữa lãi suất không cổ tức rủi ro và lãi suất không cổ tức chuẩn.
Trong trường hợp không có cơ hội chênh lệch giá, mối quan hệ sau đây phải giữ
53
Sử dụng chênh lệch phụ trợ
Khi chúng ta mô hình hóa chức năng giảm giá liên quan đến lớp rủi ro thứ i như tổng của chức năng chiết khấu của lớp chuẩn cộng với chức năng chênh lệch, chúng ta phải đối mặt với vấn đề giảm thiểu tương tự như đã phơi bày trước đây trong phần về "Tham số hóa của Chức năng chiết khấu như một Hàm Spline." Trên thực tế, chúng tôi có được
Houweling et al. (1999) đề xuất mô hình hóa các chức năng giảm giá với B-splines. Ví dụ: chúng ta có thể sử dụng tham số hóa sau đây vào ngày t = 0
Ở đây, chức năng giảm giá cũng như chức năng chênh lệch giảm giá được mô hình hóa theo cùng một cách sử dụng bậc ba B-splines và cùng một số điểm đi qua. Chúng tôi có thể thay đổi vị trí các điểm đi qua, số điểm đi qua và chọn các đường B-splines hai thứ tự thay vì khối B-splines để mô hình hóa chức năng chênh lệch chiết khấu.
Các chức năng giảm giá cũng có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng các splines theo cấp số nhân. Trong phương trình (4,18), bạn chỉ cần thay thế s bằng e−αs để có được các hàm giảm giá spline theo cấp số nhân. Ý tưởng là cùng ước tính trong một quy trình một bước các thông số a0,k và ai,k∀i, ∀k, phù hợp nhất với giá thị trường của trái phiếu của các lớp rủi ro n và các công cụ của đường cong chuẩn. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một chương trình GLS như đã được phơi bày trước đó trong phần về "Tham số hóa của chức năng giảm giá như một hàm Spline."
Sử dụng chênh lệch nhân
Khi chúng tôi mô hình hóa chức năng chiết khấu liên quan đến lớp rủi ro thứ I là sản phẩm của chức năng chiết khấu của lớp chuẩn bằng chức năng chênh lệch, chúng tôi có thể viết lãi suất không cổ tức rủi ro dưới dạng tổng lãi suất không cổ tức chuẩn cộng với chênh lệch
54
trong đó Ri(t, s − t) là lãi suất không cổ tức của lớp rủi ro thứ i tại ngày t với sự trưởng thành s − t, và ti(t, s − t) là chênh lệch tại ngày t cho đáo hạn s − t giữa lãi suất không cổ tức rủi ro và lãi suất không cổ tức chuẩn
R(t, s − t) có thể được mô hình hóa trực tiếp theo cách tương tự như chúng tôi đã viết lãi suất không cổ tức về bậc ba B-splines (xem phương trình (4,15)), khi mục tiêu của chúng tôi là lấy được đường cong lợi suất không cổ tức liên ngân hàng. Mô hình hóa đó làm tang tính mạch lạc hơn vì đường cong benchmark là đường cong lợi suất không cổ tức liên ngân hàng. Almeida et al. (1998, 2000) cho thấy sự chênh lệch ti(t, s − t) có thể được mô phỏng thành công bằng cách sử dụng đa thức Legendre; vì vậy chúng tôi có được tại ngày t = 0
trong đó Pp(x) đa thức Legendre được định nghĩa như sau
Ví dụ, bốn đa thức Legendre đầu tiên là
Lưu ý rằng đa thức trực giao khác cũng có thể được sử dụng. Trong trường hợp không có cơ hội chênh lệch giá, mối quan hệ sau đây phải giữ:
Một chương trình bình phương nhỏ nhất20 được sử dụng để ước tính các tham số a0,k và ci,p∀i, ∀k, ∀p, phù hợp nhất với giá thị trường trái phiếu của các lớp rủi ro n và của
Ví dụ 4.15 So sánh các phương pháp rời rạc và chung
Chúng ta có được đường cong chênh lệch không cổ tức cho lĩnh vực ngân hàng trong Khu vực đồng euro kể từ ngày 31 tháng 5 năm 2000, sử dụng đường cong không cổ tức liên ngân hàng làm đường cong chuẩn. Với mục đích đó, chúng tôi sử dụng hai phương pháp khác nhau:
1. Phương pháp rời rạc. Chúng tôi xem xét các tiêu chuẩn bậc ba B-splines để mô hình hóa hai chức năng giảm giá liên quan, tương ứng, với đường cong năng suất không cổ tức rủi ro và đường cong chuẩn. Chúng tôi xem xét các splines sau [0;1], [1;5], [5;10] cho đường cong chuẩn và [0;3], [3;10] cho lớp rủi ro. Vì không có trái phiếu rủi ro ngắn được trích dẫn trên market, chúng tôi thêm 20 bps vào phân khúc ngắn hạn của đường cong không cổ tức rủi ro so với đường cong chuẩn. Kết quả về giá cả được tóm tắt trong Bảng 4.8
55
đường cong chuẩn. Chương trình là phi tuyến và do đó tốn nhiều thời gian hơn so với một chương trình tuyến tính đơn giản. Lưu ý rằng Jankowitsch và Pichler (2002) đề xuất mô hình lãi suất không cổ tức chuẩn Rc (t, s − t) với hình thức chức năng Svensson (1994) và tín dụng chênh lệch với biểu mẫu Nelson và Siegel (1987).