Hãy xem xét hàm G, cung cấp tỷ lệ lợi suất không phiếu giảm giá tại chỗ như thu được thông qua mô hình "Vasicek mở rộng" (xem phương trình (4.13))
72
Chúng tôi nhớ lại rằng vấn đề tối ưu hóa được xác định bởi các phương trình (4,8) đến (4,9), có thể được giải quyết thông qua việc sử dụng cái gọi là "thuật toán Newton sửa đổi". Thuật toán này cũng thường được sử dụng để hiệu chuẩn các mô hình lãi suất được thảo luận trong Chương 12.
Thuật toán Newton Chúng tôi xem xét một điểm khởi đầu nhất định (u(0)) = (L(00), S0(0), γ0(0)), cho một giá trị nhất định của tham số a (được gọi là tham số quy mô). Thuật toán dựa trên phương pháp Newton. Đầu tiên chúng ta có được một bản mở rộng Taylor thứ hai của hàm J xung quanh giá trị u(0). Chúng tôi thực sự xem xét một xấp xỉ bậc hai J (0) cho J xung quanh u(0):
trong đó ∇J (u(0)) biểu thị độ dốc của J trong u(0), nghĩa là vector của các dẫn xuất bậc nhất của J:
∇2J (u(0)) là ma trận Hessian của J trong u(0), nghĩa là ma trận đối xứng chứa các dẫn xuất thứ hai của J:
Chúng tôi cố gắng giảm thiểu J (0)(u), mà chúng tôi biểu thị bằng F (u). Điều này tương đương với việc tìm kiếm vector cột thỏa mãn
73
do đó u(1) là một giải pháp cho hệ thống tuyến tính sau:
Ở bước k, chúng tôi xem xét J (k), xấp xỉ bậc hai của J xung quanh u (k), mà chúng tôi giảm thiểu để có được u (k +1) được xác định bởi
Tuy nhiên, lưu ý rằng phương pháp này có thể cung cấp maxima địa phương cũng như các điểm yên cho chức năng J. Nói cách khác, hướng, hoặc "hướng Newton" -(∇2J (u(k))-1∇J (u(k)), được biểu thị bằng -δ(k), không nhất thiết phải là hướng hạ. Do đó, thuật toán cần được điều chỉnh để J giảm sau mỗi bước. Việc giảm thiểu cục bộ của J dựa trên sự xuống dốc dọc theo hướng Newton.
Tối ưu hóa tuyến tính dọc theo hướng Newton
Bắt đầu từ (u(0)) = (L(00), S0(0), γ0(0)), chúng tôi xây dựng chuỗi điểm u(k) sao cho
α(k) được chọn để
(do đó, giá trị thực sự giảm ở mỗi bước); Có giá trị nhỏ nhất có thể
Vì người ta không thể trực tiếp có được giá trị α(k) nhận ra mức tối thiểu cho J (u(k+1)), người ta cần giảm thiểu xấp xỉ bậc hai của J (u(k+1)) một lần nữa, mà chúng ta biểu thị bằng J (k)(u(k+1)), dựa trên sự mở rộng Taylor thứ hai xung quanh u(k):
Do đó, giảm thiểu J (k)(u(k+1)) là giảm thiểu
Hoặc tương đương
74
Với
Người ta cần phân biệt giữa hai trường hợp trong việc giảm thiểu H (α(k)):
Ở đây, chúng tôi chia hướng xuống cho hai ở mỗi bước. Người ta có thể đã sử dụng bất kỳ số nào khác. Con số đó càng lớn, con số càng chậm sẽ thoát khỏi giá trị u(k). Trong mọi trường hợp, thuật toán yêu cầu một đặc điểm kỹ thuật cho một quy tắc dừng. Ví dụ, việc giảm thiểu có thể được dừng lại bất cứ khi nào khoảng cách L2 giữa hai điểm liên tiếp u (k +1) - u(k) trở nên nhỏ hơn 10-7.