Bài toán nội suy nhiều biến là bài toán thường gặp trong ứng dụng thực tiễn. Để tiện cho trình bày, ta ký hiệu hàm nội suy (x) thay cho g(x) và bài toán phát biểu như sau:
Bài toán nội suy nhiều biến:
Xét miền giới nội D trong Rn và f : D (Rn)Rm là một hàm liên tục xác định trên D. Người ta chỉ mới xác định được tại N điểm x1, x2….xN trong D là
f(xi) =
yi với mọi i=1,2…,N và cần tính giá trị của f(x) tại các điểm x khác trong D. Ta tìm một hàm (x) xác định trên D có dạng đã biết sao cho:
(xi )=yi , i=1,…N. (1.12) và dùng (x) thay cho f(x). Khi m >1, bài toán nội suy tương đương với m bài toán nội suy m hàm nhiều biến giá trị thực, nên để đơn giản ta chỉ cần xét với m=1.
Các cách tiếp cận chính giải quyết bài toán:
Các hàm nội suy (x) được chọn dưới dạng thuận tiện cho sử dụng, nên mặc dù các chuyên gia giải tích số đã có những nỗ lực để phát triển lý thuyết nộisuy đa thức, nhưng tính toán thường phức tạp và dễ có hiện tượng phù hợp trộị Mặt khác, đòi hỏi hàm nội suy thoả mãn chặt điều kiện (1.12) gây nên các khó khăn trong tính toán và chọn lớp hàm nội suy mà vẫn có thể cho kết quả xấp xỉ tồi (phù hợp trội). Một hướng đang được ứng dụng rộng rãi là tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (hoặc đủ tốt) và dùng nó để nội suy giá trị hàm số tại các điểm khác mốc nội suỵ Trong trường hợp này ta xem nó là nghĩa suy rộng của bài toán nội suỵ Mặc dù các kết quả trong luận án là xét bài toán nội suy phát biểu ở trên nhưng đề so sánh với các phướng pháp được ứng dụng thông dụng, chúng tôi xét cả bài toán xấp xỉ và cách tiếp cận giải quyết.
Sau đây là các phương pháp được ứng dụng rộng rãi nhất.
- Học dựa trên mẫụ Thuật ngữ này được T. Mitchell dùng để chỉ các phương pháp k-lân cận nhất, phương pháp hồi qui trọng số địa phương. - Mạng Nơron MLP.
- Mạng Nơron RBF (mặc dù T. Mitchell cũng xếp vào lớp học dựa trên mẫu nhưng chúng tôi tách riêng dựa theo đặc tính huấn luyện).
Trong đó phương pháp k-lân cận gần nhất với trọng số nghịch đảo khoảng cách cho kết quả là hàm nội suy, còn hồi quy trọng số địa phương và mạng nơron MLP chỉ cho kết quả là hàm xấp xỉ. Các phương pháp học dựa trên mẫu không thể huấn luyện trước được mà chỉ xác định được khi biết điểm cần nội suỵ Chất lượng của các mạng nơron tuỳ thuộc vào phương pháp huấn luyện, mạng RBF huấn luyệnđầy đủ với số hàm cơ sở ít hơn số mốc nội suy chỉ cho kết quả là hàm xấp xỉ.
Phương pháp sử dụng mạng nơ ron RBF sẽ được trình bày trong Mục 1.3 của chương 1.