Bài toán tối ưu con

trong đó inf được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển ổn định hóa hệ thống. b. Độ dự trữ ổn định cực đại là   2 1 2 max 1 0 H e N M     (2.21)

c. Các bộ điều khiển tối ưu đều có dạng 1

K UV , với U,V∈RH∞ thỏa

mãn: N U   H N M V M                 (2.22)

Các định lý trên cho ta những nhận xét sau:

- Độ dự trữ ổn định cực đại có thể được tính trực tiếp từ công thức (2.21) - Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H∞ có thể được thực hiện thông qua bài toán mở rộng Nehari

2.2.5. Bài toán tối ưu con

Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của γ, đó là γmin = 1/εmax.

Việc giải bài toán tối ưu H∞ với γ > γmin cho kết quả là một tập các bộ điều khiển ổn định hóa K sao cho: K   1 1

I GK M

I   



     

  . Đây chính là bài toán tối ưu con (suboptimal problem). Lời giải dạng không gian trạng thái của bài toán này được xác định theo các bước như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Bước 1: Giải hai phương trình Riccati GCARE và GFARE.

Phương trình GCARE (Generalized Control Algebraic Riccati Equation):

 1   1  1  1 

0

A BS D C    X X A BS D C   XBS B X  C IDS D C   (2.23) vớiS  I D D vớiS  I D D

Phương trình GFARE đã trình bày ở trên:

 1   1  1  1 

0

A BD R C Z   Z A BD R C   ZC S CZ  B ID R D B    (2.24.) với R= I + DD* với R= I + DD*

Bước 2: Tính giá trị γ nhỏ nhất có thể đạt được:

 

 1 2min 1 max ZX min 1 max ZX

   (2.25)

trong đó λmax(.) là trị riêng lớn nhất, X và Z lần lượt là nghiệm của GCARE và GFARE.

Buớc 3: Chọn γ>γmin. Thông thường, chọn γ>γmin một chút; γ = 1.05γmin.

Bước 4: Bộ điều khiển trung tâm có biểu diễn trạng thái được xác định:

  2 1 2 1 1 1 0 W W A BF ZC C DF ZC K B X D                    (2.26)   1 F  S D C B X và  2  1 W  I SZ I

Công thức tính ở bước 2 có thể được dẫn ra từ công thức (2.20) trong định lý 5. Nếu M N,  coprime bên trái chuẩn thì N M H có thể được xác định từ nghiệm của hai phương trình Ricatti GCARE và GFARE như sau:

  2    1

max

h

N M  XZ IZX  Từ đó ta suy ra giá trị min: 1   1 2 Từ đó ta suy ra giá trị min: 1   1 2

min emax 1 max ZX

    

Ta thấy rằng đối với bài toán ổn định bền vững cho mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn, ta chỉ cần tìm nghiệm của các phương trình GFARE

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

và GCARE là đủ để tính được giá trị γmin mà không cần phải thực hiện thủ tục lặp γ. Trong bước 3, ta chọn γ>γmin nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điều khiển có khả năng ổn định hóa hệ thống.

Trong trường hợp bài toán tối ưu, γ=γmin thì ma trận W1 trong (2.23) suy biến. Và do đó, (2.23) sẽ không áp dụng được. Tuy nhiên nếu ta chọn γ gần

γmin (γ = 1.05γmin) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối ưu sẽ khác nhau không đáng kể.

2.2.6. Điều khiển định dạng vòng H∞

2.2.6.1. Thủ tục nắn dạng vòng H∞

Định nghĩa 1: Hai ma trận M và N trong không gian RH∞ được gọi là đồng

dạng phải trong không gian RH∞ nếu chúng có cùng số cột và nếu tồn tại các ma trận Xr và Yr trong RH∞ sao cho: X Yr r M X Mr Y Nr I

N

 

  

 

  (2.27)

Hai ma trận M và N trong không gian RH∞ được gọi là đồng dạng trái trong không gian RH∞ nếu chúng có cùng số cột và nếu tồn tại các ma trận Xl và Yl

trong RH∞ sao cho: l

l l l X MN MX NY I Y          (2.28)

Định nghĩa 2: Hai ma trận M(s) và N(s) trong không gian RH∞ được gọi là

đồng dạng chuẩn trên không gian RH∞ nếu và chỉ nếu:

  T    T 

N s N  s M s M  s I (2.29)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.3. Mô hình điều khiển bền vững với các thông số biến đổi

Xét một hệ điều khiển vòng kín như chỉ ra trên Hình 2.1. Gọi P là mô hình chuẩn, mô hình định dạng, với bộ bù trước và bù sau W1 và W2, là Ps.

12 1 2 1 W W s s s s s A B P P M N C D           (2.30)

Giả sử hệ bị ảnh hưởng bởi các thông số thay đổi ΔM, ΔN, hệ có nhiễu PΔ trở thành:   1 

P  M  M  N N (2.31). Theo lý thuyết độ lợi nhỏ, hệ với thông số biến đổi ổn định bền vững Theo lý thuyết độ lợi nhỏ, hệ với thông số biến đổi ổn định bền vững nếu và chỉ nếu tồn tại một bộ điều khiển K∞ sao cho:

1 1w 1 / w 1 / z s I T I P K M K                   (2.32)

Dựa trên các công thức trên, các bước thiết kế bộ điều khiển định dạng vòng H∞ như sau:

Bước 1: Hệ chuẩn P trước hết được định dạng nhờ bộ bù trước W1 và bộ

bù sau W2 để đạt được hình dạng vòng hở yêu cầu. Sau khi chọn được W1 và W2, giá trị 𝛾opt được tính toán theo công thức sau:  1 2

max

1

opt ZX

   (2.33) Trong đó Z,X là nghiệm của hai phương trình Ricatti GCARE và GFARE trên. Trong đó Z,X là nghiệm của hai phương trình Ricatti GCARE và GFARE trên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Bước 2: Lựa chọn 1

opt opt

   và tổng hợp một bộ điều khiển K∞ theo

công thức: 2 T 1 T  2 T 1 Ts s s s s s