D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbolic

ành lþ 1.2.5. Gi£ sû r¬ng ph÷ìng tr¼nh

L[u] = auxx+ 2buxy +cuyy +dux+ euy +f u = g, (1.23) l  hyperbolic trong mi·n D. Câ h» to¤ ë (ξ, η) m  ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng chu©n t­c

trong â ω(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)), `1 l  ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh c§p mët v  G l  h m phö thuëc tr¶n (1.23).

Chùng minh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû r¬ng a(x, y) 6= 0 vîi måi

(x, y) ∈ D. C¦n chùng minh hai h m sè ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho A(ξ, η) = aξx2 + 2bξxξy +cξy2 = 0,

C(ξ, η) = aηx2 + 2bηxηy +cηy2 = 0.

Ph÷ìng tr¼nh nhªn ÷ñc khi h m η gièng ph÷ìng tr¼nh vîi ξ; do â, c¦n gi£i duy nh§t mët ph÷ìng tr¼nh. â l  ph÷ìng tr¼nh c§p mët khæng g¦n nh÷ tuy¸n t½nh; nh÷ng l  d¤ng to n ph÷ìng trong ξ nâ câ thº vi¸t nh÷ t½ch sè cõa hai sè h¤ng tuy¸n t½nh

1

a

h

aξx+ (b−pb2 −ac)ξyi haξx+ (b+pb2 −ac)ξyi = 0. Do â, c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh d÷îi ¥y

aξx+ (b+ pb2 −ac)ξy = 0. (1.24) aξx+ (b−pb2 −ac)ξy = 0. (1.25) º câ ÷ñc ph²p bi¸n êi khæng k¼ dà (ξ(x, y), η(x, y)) chån ξ l  mët nghi»m cõa (1.24) v  η l  mët nghi»m cõa (1.25).

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa (1.24) l  dx dt = a, dy dt = b+ p b2 −ac, dξ dt = 0.

Do â, ξ l  h¬ng sè tr¶n méi °c tr÷ng. °c tr÷ng l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh dy dx = b+√ b2 −ac a . (1.26) H m sè η l  h¬ng sè tr¶n °c tr÷ng x¡c ành bði dy dx = b−√b2 −ac a . (1.27)

ành ngh¾a 1.2.2. Tªp nghi»m cõa (1.26) v  (1.27) ÷ñc gåi l  hai hå °c tr÷ng (hay ph²p chi¸u °c tr÷ng) cõa ph÷ìng tr¼nh L[u] = g.

V½ dö 1.2.6. X²t ph÷ìng tr¼nh Tricomi

uxx+ xuyy = 0, x < 0.

T¼m ¡nh x¤ q = q(x, y), r = r(x, y) bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh tr¶n th nh d¤ng chu©n t­c v  tr¼nh b y ph÷ìng tr¼nh trong h» tåa ë n y. Gi£i: Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l 

dy±

dx = ±√−x, v  tªp nghi»m cõa chóng l  3

2y± ±(−x)32 = constant. Do â, bi¸n sè ëc lªp l  q(x, y) = 3 2y + (−x)32, r(x, y) = 3 2y −(−x)32. D¹ th§y qx = −rx = −3 2(−x)12, qy = ry = 3 2.

ành ngh¾a v(q, r) =u(x, y). B¬ng quy t­c chuéi ta câ ux = −3 2(−x)12vq+ 3 2(−x)12vr uy = 3 2(vq+ vr) uxx = −9 4xvqq − 9 4xvrr + 2 9 4xvqr + 3 4(−x)−21(vq −vr) uyy = −9 4(vqq + 2vqr +vrr).

Th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh Tricomi câ ÷ñc uxx +xuyy = −9(q −r)23 vqr + vq −vr 6(q−r) = 0. V½ dö 1.2.7. X²t ph÷ìng tr¼nh uxx −2 sinxuxy −cos2xuyy −cosxuy = 0. (1.28) T¼m h» to¤ ë s = s(x, y), t = t(x, y) bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh tr¶n trð th nh d¤ng chu©n t­c. Chùng minh r¬ng trong h» tåa ë n y ph÷ìng tr¼nh câ

d¤ng vst = 0 v  t¼m nghi»m têng qu¡t. Gi£i:

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l  dy±

dx = −sinx±√sin2x+ cos2x = −sinx±1.

V¼ vªy, tªp nghi»m l  y± = cosx±x + constant. Ph²p bi¸n êi c¦n t¼m l  s(x, y) = cosx+x−y, t(x, y) =cosx−x−y.

B¥y gií ta x²t h m sè v(s, t) =u(x, y) v  th¸ v o ph÷ìng tr¼nh (1.28). Ta câ

[vss(−sinx+ 1)2 + 2vst(−sinx+ 1)(−sinx−1) +vtt(−sinx−1)2 +vs(−cosx) + vt(−cosx)]−2 sinx[vss(sinx−1) +vst(sinx−1) +vst(sinx+ 1) +vtt(sinx+ 1)]−cos2x[vss+ 2vst +vtt]

−cosx(−vs−vt) = 0.

Do â, −4vst = 0, v  d¤ng chu©n t­c l  vst = 0.

Nghi»m têng qu¡t l  v(s, t) = F(s) +G(t) vîi måi F, G ∈ C2(R). Do â, nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.28) l 

u(x, y) =F(cosx+x−y) +G(cosx−x−y).