D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic

ành lþ 1.2.8. Gi£ sû (1.23) l  ph÷ìng tr¼nh parabolic trong mi·n D. Khi â h» tåa ë (ξ, η) cõa ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng chu©n t­c

ωξξ +`1[ω] = G(ξ, η),

trong â ω(ξ, η)=u(x(ξ, η), y(ξ, η)), `1 l  ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh c§p mët v  G l  h m tòy þ trong (1.23).

Chùng minh. V¼ b2 −ac = 0 gi£ sû r¬ng a(x, y) 6= 0 vîi måi (x, y) ∈ D. T¼m hai h m sè ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho B(ξ, η) = C(ξ, η) = 0 vîi måi (x, y) ∈ D. i·u n y õ º C = 0, tø â parabol cõa ph÷ìng tr¼nh k²o theo l  B = 0. Do â, t¼m h m η l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

C(ξ, η) = aηx2 + 2bηxηy +cηy2 = 1

a(aηx+bηy)

2

= 0. Khi â η l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p mët

aηx+bηy = 0.

V¼ vªy nghi»m η l  h¬ng sè tr¶n méi °c tr÷ng, ngh¾a l  tr¶n méi ÷íng cong â l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

dy dx =

b a.

B¥y gií i·u ki»n duy nh§t tr¶n bi¸n ëc lªp thù hai ξ l  ành thùc Jacobian cõa ph²p bi¸n êi khæng tri»t ti¶u trong D, v  câ thº l§y mët h m ξ b§t ký nh÷ vªy. Chó þ r¬ng ph÷ìng tr¼nh parabolic thøa nhªn duy nh§t mët hå c¡c °c tr÷ng, èi vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh hypebolic câ hai hå °c tr÷ng.

V½ dö 1.2.9. Chùng tä r¬ng ph÷ìng tr¼nh

x2uxx −2xyuxy +y2uyy + xux +yuy = 0, (1.29) l  parabolic, t¼m d¤ng chu©n t­c v  nghi»m têng qu¡t tr¶n nûa m°t ph¯ng x > 0. Gi£i: çng nh§t a = x2,2b = −2xy, c= y2, do â b2 −ac = x2y2 −x2y2 = 0 l  ph÷ìng tr¼nh l  parabolic. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l  dy dx = −y x,

v  nghi»m l  xy = constan. Tø â, t¼m ÷ñc η(x, y) = xy. Bi¸n sè thù hai câ thº lüa chån ξ(x, y) = x. Gi£ sû v(ξ, η) = u(x, y). Th¸ to¤ ë mîi ξ v  η v o ph÷ìng tr¼nh (1.29) câ ÷ñc

x2(y2vηη + 2yvξη +vξξ)−2xy(vη +xyvηη +xvξη) +x2vηη +xyvη +xvξ +xyvξ = 0.

Tø â

ξ2vξξ +ξvξ = 0,

ho°c vξξ + 1ξvξ = 0 v  ¥y l  d¤ng chu©n t­c c¦n t¼m.

Tªp hñp ω = vξ câ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng bªc nh§t ωξ+1ξω = 0. Nghi»m l  lnω = −lnξ +fe(η), ho°c ω = f(ξn). V¼ vªy v thäa m¢n

v = Z vξdξ = Z ωdξ = Z f(η) ξ dξ = f (η) lnξ +g(η).

Khi â nghi»m têng qu¡t u(x, y) cõa (1.29) l u(x, y) =f(xy) lnx+g(xy)

trong â f, g ∈ C2(R) l  h m thüc tuý þ.