2 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n
2.3 D¤ng chu©n tc trìn
Gi£ sû f : D → Rn l h m x¡c ành tr¶n tªp mð D ⊂ Rn sao cho vîi méi x ∈ D cho tr÷îc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ætænæm
˙
y = f(y),
câ duy nh§t nghi»m ϕ(t, x) n¶n kho£ng tçn t¤i cüc ¤i J(x) = (t−(x), t+(x)),
thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u ϕ(t, x) =x. °t Ω = Ω (f) = (t, x) ∈ R×D|t−(x) < t < t+(x), x ∈ D . Khi â i) Ω mð trong R×D; ii) ϕ : Ω →D l li¶n töc; iii) ϕ(0,·) =idD;
iv)ϕ(t, ϕ(s, x)) =ϕ(t+s, x)vîi måix ∈ D v måis ∈ J(x),t ∈ J(ϕ(s, x))
(do t½nh duy nh§t nghi»m).
Khi â ϕ gåi l mët dáng (ho°c mët h» ëng lüc àa ph÷ìng) tr¶n L sinh bði tr÷íng vectì f ho°c sinh bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n y˙ = f(y).
N¸u Ω = R×D, tùc l t−(x) = −∞ v t+(x) = +∞ vîi måi x ∈ D, ϕ gåi l mët dáng to n cöc (ho°c h» ëng lüc to n cöc) tr¶n D. Chó þ r¬ng n¸u f ∈ Cr(D,Rn) th¼ ϕ ∈ Cr(Ω,Rn).
Chó þ r¬ng b§t cù dáng ϕ(t, x) kh£ vi theo t n o công sinh ra bði mët tr÷íng vectì n o â.
Thªt vªy, gi£ sû D l tªp mð trong Rn v ϕ mët dáng tr¶n D. X¡c ành f bði
f(x) = d
dtϕ(t, x)|t=0.
Khi â x(t) = ϕ(t, x0) l nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u
(
˙
x = f(x)
x(0) = x0.
Chó þ r¬ng n¸u ϕ l dáng sinh tr÷íng vectì f th¼ f gåi l ph¦n tû sinh cõa dáng. Do
lim
t→0
ϕ(t, x)−x
t = f(x), ∀x ∈ D, suy ra ph¦n tû sinh ÷ñc x¡c ành duy nh§t bði dáng.
Gi£ sû ϕ l mët dáng tr¶n D. Khi â vîi méi x ∈ D h m ϕ(x) = ϕ(·, x) : J(x) → D
Mët iºm x l mët iºm tîi h¤n (ho°c mët iºm c¥n b¬ng, mët iºm k¼ dà) cõa dáng ϕ n¸u ϕ(t, x) =x vîi måi t ∈ J(x).
Mët iºm x l mët iºm tu¦n ho n cõa dáng ϕ n¸u tçn t¤i T 6= 0 sao cho ϕ(t+T, x) = ϕ(t, x) vîi måi t ∈ J(x) m t+T ∈ J(x). Trong tr÷íng hñp n y câ thº chùng minh J(x) = R. Måi sè T 6= 0 câ t½nh ch§t n y gåi l mët chu k¼ cõa x. N¸u x l iºm tu¦n ho n th¼ ta nâi ÷íng dáng ϕ(·, x) l tu¦n ho n.
ành lþ 2.3.1. Gi£ sû ϕ l dáng tr¶n D. Khi â ϕt l mët çng phæi tø
Ωt l¶n Ω−t v (ϕt)−1 = ϕ−t vîi måi t∈ R.
Chùng minh. Ta câ J(ϕ(t, x)) =J(x)−t. Do â vîi måi x ∈ R v x∈ Ω, ta câ −t ∈ J(ϕ(t, x)) v do â ϕ(t, x) ∈ Ω. Tø ¥y ta câ
ϕ(−t, ϕ(t, x)) = ϕ(t−t, x) = x,
tùc l ϕ−t(ϕt(x)) = x vîi måi x ∈ Ω. N¸u ta thay t bði −t, ta câ ϕt(ϕ−t(y)) = y vîi måi y ∈ Ω−t. Tø ¥y ϕt l mët song ¡nh tø Ωt, l¶n
Ω−t v (ϕt)−1 = ϕ−t. ành l½ ÷ñc chùng minh.
V½ dö 2.3.2. Gi£ sû D = R v ϕ l dáng sinh bði tr÷íng vectì x → x2 tr¶n R. Do â ϕ(·, y) l nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u x˙ = x2, x(0) = y. B¬ng ph÷ìng ph¡p t¡ch bi¸n, t¼m ÷ñc ϕ(t, x) = ( 1 1 x−t n¸u x 6= 0 0 n¸u x= 0, v t−(x) = ( −∞ n¸u x ≥ 0 1 x n¸u x < 0, t+(x) = ( 1 x n¸u x > 0 +∞ n¸u x ≤ 0.
Do â Ω ⊂ R×R l mi·n n¬m giúa hai nh¡nh cõa hyperbol x = 1t. Vîi t > 0 ta câ Ωt = −∞,1 t v Ωt = −1 t,+∞ .
Vîi méi x ∈ Ωt, ta nhªn ÷ñc, b¬ng c¡ch chi¸u iºm (t, ϕ(t, x)) tr¶n ç thà ϕx xuèng tröc th¯ng ùng, r¬ng ϕt(x) ∈ Ω−t.
Nâi ri¶ng, iºm x ∈ D m J(x) =R ch¿ l iºm døng x = 0.
çng phæi ϕt : Ωt →Ω−t giúa cè ành iºm døng 0 v b£o to n h÷îng tø kho£ng (−∞,0) l¶n −1t,0 v tø kho£ng 0, 1t l¶n (0,+∞).
ành ngh¾a 2.3.1. Hai dáng ϕ : R× D → D v ψ : R ×E → E gåi l li¶n hñp tæpæ n¸u tçn t¤i mët çng phæi h : D → E sao cho
h(ϕ(t, x)) = ψ(t,(h(x)),
vîi måi t ∈ R v måi x ∈ D. Nâi c¡ch kh¡c, ψ = h◦ϕ(t,·)◦h−1. H m h gåi l mët li¶n hñp tæpæ n¸u th¶m i·u ki»n h v h−1 l nhúng h m kh£ vi li¶n töc r l¦n th¼ ta nâi r¬ng ϕ v ψ l Cr-li¶n hñp.
ành ngh¾a 2.3.2. Hai dáng ϕ : R × D → D v ψ : R × E → E gåi l t÷ìng ÷ìng tæpæ n¸u tçn t¤i mët çng phæi h : D → E v mët h m tham sè hâa l¤i thíi gian α : R×D →R sao cho
h(ϕ(α(t, x)) = ψ(t,(h(x)),
vîi måi t ∈ R v måi x ∈ D. N¸u th¶m i·u ki»n h kh£ vi li¶n töc r l¦n ta nâi r¬ng ϕ v ψ l Cr- t÷ìng ÷ìng.
Mët t÷ìng ÷ìng tæpæ bi¸n quÿ ¤o th nh quÿ ¤o b£o to n sü ành h÷îng cõa thíi gian nh÷ng câ thº tham sè hâa l¤i thíi gian tr¶n méi quÿ ¤o ri¶ng l´.
Nh÷ mët v½ dö minh håa sü kh¡c nhau giúa hai kh¡i ni»m tr¶n, ta x²t hai dáng tr¶n m°t ph¯ng ϕ(t, x) = cost −sint sint cost ! x, v ψ(t, y) = cos2t −sin2t sin2t cos2t ! y,
t÷ìng ùng sinh ra bði c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ˙ x = 0 −1 1 0 ! x, v ˙ y = 0 −2 2 0 ! y. C¡c h m h(x) = x v α(t, x) = 2t ch¿ ra r¬ng hai dáng n y l t÷ìng ÷ìng tæpæ. Tuy nhi¶n, hai dáng n y khæng li¶n hñp tæpæ do n¸u °tt = π ta th§y h m h : R2 → R2 thäa m¢n x˙ = f(x) s³ thäa m¢n h(x) = h(−x)
vîi måi x, i·u â câ ngh¾a l h khæng thº kh£ nghàch. 2.3.1 ành l½ rót gån
ành lþ rót gån tr¼nh b y ð ¥y l trong tr÷íng hñp tham sè. Thay v o â, cho mët d¤ng r³ nh¡nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, x²t hå trìn cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh tham sè hâa bði tham sè húu h¤n chi·u. T§t c£ gi£ thi¸t l àa ph÷ìng g¦n iºm ang x²t cõa ÷íng trán bi»t thùc, trong â vi ph¥n cõa bi»t thùc l kh¡c 0 vîi gi¡ trà ¢ cho b¬ng 0 cõa tham sè v ph÷ìng tr¼nh tr÷íng h÷îng l ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán. Nëi dung n y ÷ñc tr¼nh b y theo b i b¡o sè ([4], [7]).
M»nh · 2.3.3. Mët hå trìn cõa ph÷ìng tr¼nh
a(x, y, ε)dy2 −2b(x, y, ε)dxdy +c(x, y, ε)dx2 = 0, (2.12) câ tham sè ε húu h¤n chi·u g¦n iºm P cõa ÷íng cong bi»t thùc D(P) = 0, dD(P) 6= 0.
Khi â tr÷íng h÷îng l ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong câ d¤ng
dy2 +c(x, y, ε)dx2 = 0. (2.13) g¦n iºm gèc t¤i c, v c(O) = 0 = cx(O) 6= cy(O) l mët h m trìn mîi sau khi thay êi sü lüa chån tåa ë.
Chùng minh. ¦u ti¶n, chån tåa ë trìn àa ph÷ìng g¦n iºm P vîi iºm gèc tåa ë, t¤i iºm n y sao cho h÷îng tröc tåa ë l iºm câ gi¡ trà ch½nh x¡c cõa ph÷ìng tr¼nh tr÷íng h÷îng. i·u â d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh (2.12) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
a(x, y, ε)p2 −2b(x, y, ε)p+ c(x, y, ε) = 0,
t¤i p = dxdy v a, b, c l c¡c h m trìn; a(O) 6= 0 = b(O) = c(O), cy(O) 6= 0
do tåa ë ¢ chån v i·u ki»n D(O) = 0,|Dx(O)|+|Dy(O)| 6= 0. Ð ¥y, O = (0,0,0). èi vîi mët tåa ë mîi y, ye = Y (x,y, εe ) ta câ
dy
dx = Yx(x,y, εe ) +Y
e
y(x,y, εe )dey dx.
Th¸ v o ph÷ìng tr¼nh câ ÷ñc sau khi bi¸n êi ìn gi£n ph÷ìng tr¼nh Y2 e y dye dx 2 + 2Y e y [Yx−b(x, Y, ε)]dye dx +c(x, Y, ε) +Y 2 x −2b(x, Y, ε)Yx = 0, (2.14) trong â sè h¤ng thù hai l 0n¸u biºu thùc trong ngo°c vuæng l 0, ngh¾a l Y l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
Yx = b(x, Y, ε).
èi vîi b§t k¼ i·u ki»n trìn ¢ cho tr¶n m°t ph¯ng x = 0, ph÷ìng tr¼nh cuèi còng câ duy nh§t nghi»m trìn bði v¼ m°t ph¯ng x = 0khæng câ iºm °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh. Chån Y(0,y, εe ) = ey nghi»m t÷ìng ùng d÷îi d¤ng
Y(x,y, εe ) = ye+ xB(x,y, εe ),
t¤i B l mët h m trìn, do Bê · Hadamard. Thay th¸ nghi»m cho (2.14) v nh¥n k¸t qu£ vîi Y−2
e
y câ d¤ng ph÷ìng tr¼nh c¦n thi¸t (2.13) vîi mët h m mîi c, c(O) = 0 = cx(O) 6= cy(O).
Cho (2.13) ph²p n¥ng l¶n lôy thøa g§p σ câ d¤ng
trong tåa ë x v p = dydx tr¶n ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng, ph÷ìng tr¼nh tr÷íng h÷îng câ thº ÷ñc ành ngh¾a tr¶n ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng bði tr÷íng vectì
v := (−2p, cx+pcy).
Khi â iºm gèc l iºm k¼ dà cõa tr÷íng vectì n y, ngo i ra tr¶n ÷íng th¯ng p= 0 cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa g§p, tr÷íng n y l b¬ng 0 ho°c câ h÷îng cõa tröc p. Ngo i ra, t¤i iºm (x, p)
cõa ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng, £nh cõa tr÷íng n y d÷îi ph²p n¥ng l¶n lôy thøa g§p l
σ∗v(x, p) = (2p,−cx+pcy).
Do â ành thùc cõa ma trªn vîi c¡c cët v v σ∗v t¤i mët iºm (x, p)
câ gi¡ trà 4p2cy. Do cy(O) 6= 0 n¶n ành thùc cõa ma trªn n y câ ch½nh x¡c sè 0 bªc hai tr¶n ÷íng th¯ng cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa g§p. °c bi»t tr÷íng v v σ∗v ch¿ th¯ng h ng tr¶n dáng. Tr¶n cì sð â giîi thi»u c¡c kh¡i ni»m v· t½nh t÷ìng th½ch.
Tr¶n m°t ph¯ng, tr÷íng vectì v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa kh£ vi vîi ÷íng th¯ng cõa c¡c iºm cè ành gåi l t÷ìng th½ch t¤i mët iºm cõa ÷íng, n¸u g¦n iºm n y ành thùc cõa ma trªn ÷ñc x¡c ành bði tr÷íng v £nh d÷îi ph²p n¥ng l¶n lôy thøa câ sè 0 bªc hai. Trong m°t ph¯ng tr÷íng h÷îng v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa kh£ vi vîi ÷íng cõa c¡c iºm cè ành ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch t¤i iºm cõa ÷íng n¸u tr÷íng câ thº ÷ñc x¡c ành bði tr÷íng vectì t÷ìng th½ch vîi ph²p n¥ng l¶n lôy thøa t¤i iºm n y. T½nh t÷ìng th½ch cõa phæi ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü.
V½ dö 2.3.4. Trong m°t ph¯ng, tr÷íng vectì (x, αy) vîi α > 1 v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa (x, y) 7→ (α+1)α−x−12αy,2x−α(α−+1)1 y l t÷ìng th½ch. Hai èi t÷ñng (h m ho°c phæi cõa h m, x¤ £nh, ...) ÷ñc gåi l Cr-t÷ìng ÷ìng dåc theo tr÷íng vectì kh£ vi v gåi tt l Cr-t÷ìng ÷ìng n¸u chóng câ thº bi¸n êi th nh bði ¡nh x¤ Cr - vi çng phæi ÷íng cong t½ch ph¥n cõa tr÷íng v o ch½nh chóng. èi vîi hå tham sè húu h¤n cõa Cvr- t÷ìng
÷ìng l Cr - vi çng phæi b£o tçn ph¥n thî tü nhi¶n tr¶n hå tham sè ε v ¡nh x¤ c¡c ÷íng cong t½ch ph¥n cõa tr÷íng (v,ε˙ = 0) v o ch½nh nâ; Cr- t÷ìng ÷ìng l m¤nh n¸u nâ b£o tçn tham sè.
ành lþ 2.3.5. (xem [7]). Hai phæi ð iºm gèc cõa hå trìn (v, σ1) v
(v, σ2) c¡c c°p t÷ìng th½ch cõa tr÷íng vectì v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa còng vîi tham sè húu h¤n chi·u v m°t ph¯ng cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa, m i qua iºm gèc l Cv∞- t÷ìng ÷ìng, n¸u cho b§t k¼ gi¡ trà tham sè cè ành g¦n b¬ng 0, tr÷íng v l ÷íng n¬m ngang c¡c iºm cè ành cõa ph²p lôy thøa h¦u khp nìi.
Gåi ph¡t biºu n y l ành lþ rót gån.
ành lþ rót gån n y l nghi¶n cùu d¤ng chu©n tc àa ph÷ìng cõa d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n trong tr÷íng hñp têng qu¡t cho lþ thuy¸t v· d¤ng chu©n tc àa ph÷ìng cõa c¡c c°p t÷ìng th½ch vîi tr÷íng vectì v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa.
C¡c b÷îc ch½nh cõa chùng minh ành lþ n y gièng nh÷ trong b i b¡o sè [5]. Gëp chùng minh n y ð ¥y bði v¼ ành lþ n y l cæng cö ch½nh º suy ra c¡c d¤ng chu©n tc cho d¤ng r³ nh¡nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng vectì.
º chùng minh ành lþ, l§y g¦n iºm gèc tåa ë c¡c tåa ë àa ph÷ìng trìn x, y v ε d¤ng l¡ tr¶n tham sè nh÷ vªy hå σ1 v m°t ph¯ng cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa câ d¤ng (x, y, ε) 7→(x,−y, ε) v y = 0 t÷ìng ùng. Vi»c lüa chån nh÷ vªy l õ måi h m trìn f,f(O) = 0, m vi ph¥n t¤i iºm gèc câ gi¡ trà kh¡c 0 tr¶n vectì ri¶ng cõa ¤o h m σ1,∗(O) v chån tåa ë àa ph÷ìng mîi x = F + σ1∗F, y = F − σ∗1F, v còng tåa ë ε . Theo t½nh t÷ìng th½ch cõa v = (v1, v2) v σ1, t¼m h m sè v1(x, y, ε) v2(x, y, ε) v1(x,−y, ε) −v2(x,−y, ε) = −v1(x, y, ε)v2(x,−y, ε)−v1(x,−y, ε)v2(x, y, ε), câ ch½nh x¡c sè 0 bªc hai tr¶n m°t ph¯ng y = 0 cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa.
°c bi»t tr¶n m°t ph¯ng n y v1v2 ≡ 0. Nh÷ng tr÷íng (v,ε˙ = 0) l ÷íng n¬m ngang ¸n m°t ph¯ng h¦u khp nìi do theo gi£ sû cõa ành lþ, v do â ¯ng thùc cuèi còng bao h m v1(x,0, ε) ≡ 0. Ngo i ra (0,1,0)
l sü xu§t hi»n cõa ¤o h m σ1∗, σ2∗ vîi gi¡ trà ri¶ng −1 t¤i iºm b§t ký cõa m°t ph¯ng.
Do â c¡c ¤o h m n y l gièng nhau t¤i iºm b§t ký cõa m°t ph¯ng, n¶n trong c¡c tåa ë ÷ñc chån g¦n iºm gèc, hå σ2 câ thº vi¸t d÷îi d¤ng
(x, y, ε) 7→ x+y2r(x, y, ε),−y +y2s(x, y, ε), ε, vîi mët sè h m trìn r v s. V¼ vªy tçn t¤i tåa ë
ζ = (x+y2R(x, y, ε), η = y+ y2S(x, y, ε),
vîi mët sè h m trìn R v S v gièng ε, trong â hå σ2 cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa câ d¤ng
(ζ, η, ε) 7→ (ζ,−η, ε).
Ph¦n cán l¤i cõa chùng minh düa tr¶n ph÷ìng ph¡p çng nh§t ¤i sè ÷ñc · xu§t bði Thom. T¤i àa ph÷ìng g¦n iºm gèc x²t sü bi¸n d¤ng trìn cõa tåa ë
γt : (ζt, ηt, ε) 7→(ζt,−ηt, ε), trong â
ζt = x+ty2R(x, y, ε), ηt = y +ty2S(x, y, ε), v bi¸n d¤ng t÷ìng ùng cõa hå ph²p n¥ng l¶n lôy thøa σ1 v σ2:
(ζt, ηt, ε) 7→ (ζt,−ηt, ε).
Suy ra tø Vt, tr÷íng bi¸n d¤ng vi ph¥n t÷ìng ùng l vªn tèc chuyºn ëng cõa iºm £nh d÷îi mët bi¸n d¤ng trìn cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa. D¹ th§y Vt l bi¸n d¤ng ang x²t khæng câ ph¦n tû dåc theo tröc tham sè.
Bê · 2.3.6. Tr÷íng V l tr÷íng bi¸n d¤ng vi ph¥n cõa bi¸n d¤ng trìn hå σ, nâ l thî tr¶n tham sè khi v ch¿ khi σ∗V = −V.
Bê · 2.3.7. èi vîi bi¸n d¤ng g cõa çng nh§t thùc, nâ l thî tr¶n tham sè, vîi hå vªn tèc h cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa σ : (x, y, ε) 7→ (x,−y, ε)
bà bi¸n d¤ng vîi vªn tèc h−σ∗h.
Nhúng bê · n y t÷ìng tü nh÷ nhúng ph¡t biºu t÷ìng ùng tø b i b¡o sè ([5], [6]). Chùng minh bði ph²p to¡n trüc ti¸p. Do Bê · 2.3.6 ¢ chùng minh ành lþ ¦y õ àa ph÷ìng g¦n kho£ng [0,1] cõa t- tröc, tr¼nh b y bi¸n d¤ng vªn tèc
Vt = ftv−(γt∗ft)γ∗v. (2.15) Trong â v l tr÷íng vectì v ft l h m trìn tr¶n t, x, y v ε. Kh£ n«ng gi£i ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh èi vîi ft düa tr¶n sü t÷ìng th½ch cõa hå σ1
v σ2 vîi hå v m ngay lªp tùc bao h m sü t÷ìng th½ch cõa hå v v γt
cho måi t ∈ [0,1] do ành ngh¾a cõa γt.
Bi¸n d¤ng vªn tèc (bä qua ch¿ sè t) V tr¶n m°t ph¯ng y = 0 (ho°c η = 0) câ khæng ½t nh§t cõa c§p hai. Do â, nâ câ thº ÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng
V = η2 h(ζ, η, ε) r(ζ, η, ε)
!
, (2.16)
vîi mët sè h m trìn h v r. Ngo i ra, do Bê · 2.3.6 bi¸n d¤ng vªn tèc ph£i thäa m¢n ¯ng thùc γ∗V = −V. Thay v o biºu thùc (2.16) câ
η2h(ζ,−η, ε) −η2r(ζ,−η, ε) ! = − η 2h(ζ, η, ε) η2r(ζ, η, ε) ! . Do â h(ζ,−η, ε) = −h(ζ, η, ε) v r(ζ,−η, ε) = r(ζ, η, ε) vîi c¡c h m h v r l¦n l÷ñt l ch®n v l´. Do â t½nh ch§t àa ph÷ìng g¦n iºm gèc câ d÷îi d¤ng h(ζ, η, ε) =ηp(ζ, η2, ε) v r(ζ, η, ε) = q(ζ, η2, ε) vîi mët sè h m trìn p v q. Do â vªn tèc V câ d¤ng V(ζ, η, ε) =η3p(ζ, η2, ε) ∂ ∂ζ +η 2q(ζ, η2, ε) ∂ ∂η. (2.17)
Hìn núa tr¶n m°t ph¯ng η = 0 câ γ∗v = −v do i·u gi£ sû cõa ành lþ v· t½nh t÷ìng th½ch v t½nh ch§t n¬m ngang. Do â g¦n iºm gèc cõa tr÷íng v câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
v(ζ, η, ε) =ηl(ζ, η, ε) ∂
∂ζ +m(ζ, η, ε) ∂
∂η, (2.18)
vîi mët sè h m trìn l v m. Lóc n y h m f l têng cõa c¡c ph¦n ch®n v l´ cõa nâ vîi bi¸n sè khæng êi η, tùc l
f(ζ, η, ε) =u(ζ, η2, ε) +ηω(ζ, η2, ε)
t¤i u v ω l c¡c h m trìn. Thay th¸ biºu thùc n y cho f v biºu thùc (2.17) v (2.18) th nh c¡c sè h¤ng b¶n ph£i cõa (2.15) câ ÷ñc
(ftv)(ζ, η, ε) = [u(ζ, η2, ε) +ηω(ζ, η2, ε)] ηl(ζ, η, ε) ∂ ∂ζ +m(ζ, η, ε) ∂ ∂η (2.19) (γt∗ft) (ζ, η, ε) = f(ζ,−η, ε) = u(ζ, η2, ε)−ηω(ζ, η2, ε) (γt∗v) (ζ, η, ε) =−ηl(ζ,−η, ε)∂ζ∂ +m(ζ,−η, ε)∂η∂ ((γt∗ft)γt∗v) (ζ, η, ε) =−[u(ζ, η2, ε)−ηω(ζ, η2, ε)]ηl(ζ,−η, ε)∂ζ∂ + m(ζ,−η, ε)∂η∂ . (2.20)
Lóc n y thay th¸ c¡c biºu thùc (2.17), (2.19) v (2.20) ( l¦n l÷ñt vîi V, ftv v (γt∗ft)γt∗v) v o biºu thùc (2.15) ta câ
η3p(ζ, η2, ε)∂ζ∂ +η2q(ζ, η2, ε)∂η∂
= [u(ζ, η2, ε) + ηω(ζ, η2, ε)]hηl(ζ, η, ε)∂ζ∂ +m(ζ, η, ε)∂η∂ i +[u(ζ, η2, ε)−ηω(ζ, η2, ε)](ηl(ζ,−η, ε)∂ζ∂ +m(ζ,−η, ε)∂η∂ ) = [uη(l(ζ, η, ε) +l(ζ,−η, ε)) +ωη2(l(ζ, η, ε)−l(ζ,−η, ε))]∂ζ∂
+[u(m(ζ, η, ε) +m(ζ,−η, ε)) +ωη(m(ζ, η, ε)−m(ζ,−η, ε))]∂η∂ . C¥n b¬ng c¡c ph¦n tû ph½a tr¡i v v¸ ph£i cõa biºu thùc ti¸p, theo i ¸n h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh tr¶n u v ω:
(
uη(l(ζ, η, ε) + l(ζ,−η, ε)) +ωη2(l(ζ, η, ε)−l(ζ,−η, ε)) = η3p(ζ, η2, ε)
Ð ¥y chia ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n cho η rçi rót gån h» ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng ( u(l(ζ, η, ε) +l(ζ,−η, ε)) +ωη(l(ζ, η, ε)−l(ζ,−η, ε)) = η2p(ζ, η2, ε) u(m(ζ, η, ε) +m(ζ,−η, ε)) +ωη(m(ζ, η, ε)−m(ζ,−η, ε) =η2q(ζ, η2, ε). (2.21) ành thùc cõa ma trªn cõa h» n y l
l(ζ, η, ε) +l(ζ,−η, ε) η(l(ζ, η, ε)−l(ζ,−η, ε)) m(ζ, η, ε) +m(ζ,−η, ε) η(m(ζ, η, ε)−m(ζ,−η, ε)) = η2[L+Q(ζ, η, ε)], t¤i L = 2[l(0,0,0)mη(0,0,0)−lη(0,0,0)m(0,0,0)] v Q l h m trìn tri»t ti¶u t¤i iºm gèc.
Do â (2.21) l trìn gi£i ÷ñc èi vîi u v ω g¦n iºm gèc n¸u L 6= 0
bði v¼ v¸ ph£i cõa h» chia cho η2. Nh÷ng L khæng b¬ng 0 do i·u ki»n t½nh t÷ìng th½ch cõa hå ph²p n¥ng l¶n luÿ thøa v tr÷íng. Thªt vªy do t½nh t÷ìng th½ch, di»n t½ch cõa h¼nh b¼nh h nh ÷ñc ành ngh¾a bði gi¡ trà cõa tr÷íng v v γ∗v câ sè 0 bªc hai tr¶n m°t ph¯ng η = 0 cõa c¡c iºm cè ành cõa ph²p n¥ng l¶n lôy thøa. Do â h m
v γ∗v