T½nh to¡n cõa h» to¤ ë chu©n tc cho tr÷íng hñp eliptic câ ph¦n kÿ c ng hìn trong tr÷íng hñp hypebolic hay trong tr÷íng hñp parabolic. Tuy vªy, d÷îi gi£ thi¸t bê sung r¬ng h» sè ph¦n ch½nh cõa ph÷ìng tr¼nh l c¡c h m t½ch ph¥n thüc, nhúng i·u ki»n º x¡c ành ph²p bi¸n êi chu©n tc l ho n to n gièng vîi cho tr÷íng hñp hyperbolic.
ành ngh¾a 1.2.3. Gi£ sû D l mi·n ph¯ng. H m f :D → R ÷ñc gåi l t½ch ph¥n trong D n¸u èi vîi méi iºm (x0, y0) ∈ D câ khai triºn chuéi luÿ thøa hëi tö
f (x, y) = ∞ X k=0 k X j=0 aj,k−j(x−x0)j(y−y0)k−j, câ gi¡ trà trong l¥n cªn N cõa (x0, y0).
ành lþ 1.2.10. Gi£ sû (1.23) l eliptic trong mi·n ph¯ng D v c¡c h» sè a, b, c l c¡c h m t½ch ph¥n thüc trong D. Khi â tçn t¤i h» to¤ ë (ξ, η)
th¼ ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng chu©n tc nh÷ sau
ωξξ + ωηη +`1[ω] = G(ξ, η),
trong â `1 l ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh c§p mët v G l h m b§t ký trong (1.23).
Chùng minh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû r¬ng a(x, y) 6= 0 vîi måi
(x, y) ∈ D. Th§y r¬ng vîi hai h m ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) l thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
A(ξ, η) = aξx2 + 2bξxξy +cξy2 = C(ξ, η) = aηx2 + 2bηxηy + cηy2. (1.30) B(ξ, η) =aξxηx+b(ξxηy +ξyηx) +cξyηy = 0. (1.31) ¥y l h» cõa hai ph÷ìng tr¼nh khæng tuy¸n t½nh c§p mët. Khâ kh«n chõ y¸u trong tr÷íng hñp eliptic â l (1.30)-(1.31) ÷ñc gh²p th nh æi. º t¡ch ríi ph÷ìng tr¼nh n y, câ thº sû döng m°t ph¯ng phùc v ph¥n t½ch gi£ thi¸t. H» (1.30)-(1.31) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng sau
a(ξx2 −ηx2) + 2b(ξxξy −ηxηy) +c(ξy2 −η2y) = 0, (1.32) aξxiηx+b(ξxiηy +ξyiηx) + cξyiηy = 0, (1.33) trong â i = √
−1. ành ngh¾a h m phùc φ = ξ +iη.
H» (1.32)-(1.33) l t÷ìng ÷ìng vîi gi¡ trà ph÷ìng tr¼nh phùc aφ2x+ 2bφxφy +cφ2y = 0.
Ta câ c¡c ph÷ìng tr¼nh t÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp hyperbolic. Nh÷ng trong tr÷íng hñp hyperbolic khæng thº kiºm tra ÷ñc nghi»m thüc hay nâi c¡ch kh¡c nhúng ph÷ìng tr¼nh elliptic khæng thº t¼m ÷ñc d¤ng °c tr÷ng. T÷ìng tü trong tr÷íng hñp hyperbolic, khæng x²t ¸n c¡c d¤ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng bªc hai ð tr¶n v nhªn ÷ñc hai ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh, nh÷ng b¥y gií câ c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m gi¡ trà phùc (trong â x, y l bi¸n sè phùc). C¥u häi quan trång v· t½nh tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa nghi»m s³ ngay lªp tùc xu§t hi»n. Bi¸t r¬ng, n¸u h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p mët l t½ch ph¥n thüc khi â câ thº gi£i quy¸t v sû döng ph÷ìng ph¡p nh÷ trong tr÷íng hñp thüc. M°t kh¡c nghi»m cõa hai ph÷ìng tr¼nh l sè li¶n hñp phùc.
V¼ vªy, c¦n gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh
Nh÷ tr÷îc â, nghi»m φ, ψ l h¬ng sè tr¶n "°c tr÷ng" (ành ngh¾a v· m°t ph¯ng phùc): dy dx = b±i√ ac−b2 a .
T÷ìng tü trong tr÷íng hñp hypebolic, ph÷ìng tr¼nh trong h» to¤ ë mîi câ d¤ng
4vφψ +... = 0.
¥y khæng d¤ng chu©n tc eliptic vîi h» sè thüc. Quay l¤i bi¸n thüc ξ v η dòng ph²p bi¸n êi tuy¸n t½nh
ξ = Reφ, η = Imφ.
Khi â ξ v η l nghi»m cõa h» (1.30)-(1.31), ti¸p theo r¬ng trong bi¸n sè ξ v η ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng chu©n tc.
V½ dö 1.2.11. X²t ph÷ìng tr¼nh Tricomi
uxx +xuyy = 0, x > 0.
T¼m ph²p bi¸n êi chu©n tc q = q(x, y), r = r(x, y) v d¤ng chu©n tc t÷ìng ùng.
Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m cho °c tr÷ng l dy
dx = ±√−x v nghi»m cõa chóng l 3
2y ±i(x)32 = constant. Do â, bi¸n sè chu©n tc l q(x, y) = 32y v r(x, y) = −(x)32. Ta câ qx = 0, qy = 3 2 rx = −3 2(x) 1 2, ry = 0. Gi£ sû v(q, r) =u(x, y). Do â ux = −32(x)12vr uy = 32vq uxx = 94xvrr − 43(x)−12vr uyy = 94vqq.
Th¸ v o ph÷ìng tr¼nh Tricomi, ta câ d¤ng chu©n tc
1 xuxx +uyy = 9 4 vqq +vrr+ 1 3rvr = 0.
Ch֓ng 2
D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng
2.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai vîi hai bi¸n ëc lªp
X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai cho h m hai bi¸n ëc lªp x, y câ d¤ng
L[u] = auxx + 2buxy +cuyy +dux+euy +f u= g, (2.1) trong â a, b, ..., f, g l h m ¢ x¡c ành cõa x, y v u(x, y) l h m ch÷a bi¸t. Gi£ sû r¬ng h» sè a, b, c khæng tri»t ti¶u còng lóc.
To¡n tû
L0[u] = auxx+ 2buxy +cuyy,
vîi i·u ki»n c§p hai (cao nh§t) cõa to¡n tû L ÷ñc gåi l ph¦n ch½nh cõa L. Tø â ch¿ ra r¬ng nhi·u t½nh ch§t cì b£n nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) l x¡c ành bði ph¦n ch½nh cõa nâ, v ch½nh x¡c hìn b¬ng d§u hi»u cõa bi»t sè δ(L) := b2−ac cõa ph÷ìng tr¼nh. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh theo d§u hi»u cõa δ(L).
ành ngh¾a 2.1.1. Ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi l
+ parabolic t¤i iºm (x, y) n¸u δ(L)(x, y) = 0. + eliptic t¤i iºm (x, y) n¸u δ(L)(x, y) < 0. ành ngh¾a 2.1.2. Ph²p bi¸n êi
Φ :
(
ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y),
÷ñc gåi l tåa ë thay êi (ho°c ph²p bi¸n êi khæng ký dà) n¸u ành thùc Jacobian J := ξxηy −ξyηx cõa ph²p bi¸n êi khæng tri»t ti¶u ð b§t k¼ iºm x, y. ành lþ 2.1.1. Gi£ sû Φ : ( ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), l h m trìn cõa bi¸n sè thay êi, theo â
JΦ(P) = ∂(ξ, η)
∂(x, y) 6= 0,
v ph÷ìng tr¼nh auxx + 2buxy + cuyy +dux+euy +f u = g trð th nh Auξξ + 2Buξη +Cuηη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (2.2) Khi â d§u hi»u cõa bi»t sè trong Q = Φ(P) t÷ìng tü trong P
Chùng minh. Gi£ sû
L[u] = auxx + 2buxy +cuyy +dux+euy +f u= g, (2.3) v gi£ sû (ξ, η) = (ξ(x, y), η(x, y)) l ph²p bi¸n êi khæng k¼ dà vîi ω(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)). Ch¿ ra r¬ng ω l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh c§p hai vîi d¤ng t÷ìng ùng. Khi â
ux = ωξξx+ωηηx
uy = ωξξy +ωηηy
uxx = ωξξξx2 + 2ωξηξxηx+ωηηηx2 +ωξξxx+ωηηxx
uxy = ωξξξxξy +ωξη(ξxηy +ξxηx) +ωηηηxηy +ωξξxy +ωηηxy uyy = ωξξξy2 + 2ωξηξyηy + ωηηη2y + ωξξyy +ωηηyy.
Th¸ v o (2.3) th¼ ω thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh sau: l[ω] := Aωξξ + 2Bωξη +Cωηη +Dωξ +Eωη +F ω = G, trong â h» sè cõa ph¦n ch½nh cõa to¡n tû tuy¸n t½nh ` ÷ñc cho bði
A(ξ, η) =aξx2 + 2bξxξy +cξy2
B(ξ, η) =aξxηx+ b(ξxηy +ξyηx) +cξyηy C(ξ, η) =aηx2 + 2bηxηy +cηy2.
Chó þ r¬ng, n¸u khæng t½nh to¡n c¡c h» sè cõa ¤o h m c§p th§p hìn (D, E, F) th¼ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh x¡c ành duy nh§t bði ph¦n ch½nh cõa nâ (v½ dö h» sè cõa sè h¤ng c§p hai). Trong t½nh to¡n sì c§p ch¿ ra h» sè n y tho£ m¢n ph÷ìng tr¼nh ma trªn d÷îi ¥y:
A B B C ! = ξx ξy ηx ηy ! a b b c ! ξx ηx ξy ηy ! .
Gåi J l ành thùc Jacobian cõa ph²p bi¸n êi. L§y ành thùc hai b¶n cõa ph÷ìng tr¼nh ma trªn ð tr¶n, ta câ
−δ(`) =AC −B2 = J2(ac−b2) = −J2δ(L).
Do â, d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh l b§t bi¸n d÷îi ph²p bi¸n êi khæng k¼ dà.
Ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t, ph÷ìng tr¼nh sâng v ph÷ìng tr¼nh Laplace l ph÷ìng tr¼nh c§p hai tuy¸n t½nh. Câ thº th§y r¬ng ph÷ìng tr¼nh sâng l hyperbolic, ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t l parabolic, v ph÷ìng tr¼nh Laplace l eliptic.
Chùng minh trong ph¦n ti¸p theo, n¸u ph÷ìng tr¼nh (2.1) l hyperbolic (hay parabolic, eliptic) trong mi·n D khi â câ thº t¼m mët h» tåa ë m ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng ìn gi£n, gåi l d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh. Hìn núa trong tr÷íng hñp t÷ìng tü ph¦n ch½nh cõa d¤ng chu©n tc l t÷ìng ÷ìng vîi ph¦n ch½nh cõa ph÷ìng tr¼nh cì b£n cõa to¡n lþ. ¥y l mët trong nhúng lþ do nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh cì b£n n y.
ành ngh¾a 2.1.3. D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbolic l `[ω] = ωξη +`1[ω] = G(ξ, η),
trong â `1 l ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh c§p mët v G l h m sè. T÷ìng tü nh÷ vªy d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic l
`[ω] = ωξξ + `1[ω] = G(ξ, η), v d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh eliptic l
`[ω] = ωξξ +ωηη +`1[ω] = G(ξ, η).
Th§y r¬ng thay êi tuy¸n t½nh ìn gi£n cõa tåa ë bi¸n ph÷ìng tr¼nh sâng trð th nh ph÷ìng tr¼nh ωξη = 0.
2.2 D¤ng chu©n tc khæng àa ph÷ìngXu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng Xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng
dφ2 + (1−r)dr2 = 0. (2.4) Cho b§t ký ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng vîi h» sè khæng trìn nh®n, tròng vîi ph÷ìng tr¼nh (2.4) g¦n ÷íng trán r = 1 trong mi·n r ≥ 1 câ d¤ng
(1 +a(r, φ))dφ2 +b(r, φ)drdφ + (1−r)(1 +c(r, φ))dr2 = 0, (2.5) trong â a, b, c l c¡c h m trìn v ph¯ng tr¶n r = 1. Ngo i ra h m n y câ chu ký 2π vîi sü b£o to n φ.
ành lþ 2.2.1. Ph÷ìng tr¼nh (2.5) l rót gån v· mët trong nhúng k½ hi»u cõa ph÷ìng tr¼nh (2.4) trong mët sè l¥n cªn cõa ÷íng trán r = 1 khi mët sè tåa ë thay êi câ d¤ng
( e
r = r +R(r, φ)
e
èi vîi mët sè h m trìn R v Φ câ chu ký 2π trong φ v ph¯ng tr¶n ÷íng trán r = 1, khi g¦n ÷íng trán n y th¼ ph÷ìng tr¼nh eliptic ·u câ d¤ng
[D(r, φ) (1 +ur)]r + [D−1(r, φ)uφ]φ = 0, (2.7) vîi h m trìn D ÷ñc x¡c ành bði a, b, c v b¬ng 1 trong mi·n r ≥ 1 câ nghi»m trìn b¬ng 0 trong mi·n n y.
Nh÷ l÷u þ ð tr¶n b i to¡n ành lþ rót gån n y suy ra d¤ng chu©n tc c¦n thi¸t tø b i to¡n nêi ti¸ng èi vîi sü tçn t¤i cõa mð rëng trìn cho nghi»m cõa b i to¡n Cauchy èi vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh eliptic ·u thæng qua mët si¶u m°t. Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.7) mð rëng nh÷ vªy l duy nh§t.
Bê · 2.2.2. N¸u câ h m trìn f tr¶n m + 1 bi¸n thüc x ∈ R v y ∈ Rm
l ph¯ng tr¶n m°t ph¯ng x= 0, khi â vîi b§t ký sè thüc d÷ìng ν tçn t¤i h m trìn F tr¶n m+ 1 bi¸n thüc nh÷ tr¶n sao cho x ≥0
f (x, y) = F (xν, y).
Thªt vªy, vîi z 6= 0 ành ngh¾a F(z, y) := f(|z|ν1, y). Th§y r¬ng b¶n ngo i si¶u ph¯ng z = 0 h m F l h m trìn. Nh÷ng f l ph¯ng tr¶n x = 0, v do â h m F công ph¯ng tr¶n z = 0. V¼ vªy F l h m trìn v ph¡t biºu cõa Bê · l ch½nh x¡c.
Dòng ph¡t biºu n y, vi¸t l¤i (2.5) g¦n ÷íng trán r = 1 trong mi·n r ≤ 1 d÷îi d¤ng
(1 +A(z, φ))dφ2 +B(z, φ)dzdφ+ 4
9(1 +C(z, φ))dz
2 = 0,
vîi z := (1−r)32 v c¡c A, B, v C l h m trìn v ph¯ng tr¶n z = 0 vîi chu ký 2π trong φ. Sau khi chia cho h» sè 1 +A ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng
dφ2 + B(z, φ)dzdφ+ 4
9(1 +C (z, φ))dz
2
= 0, (2.8)
vîi c¡c h m sè mîi B, v C câ còng t½nh ch§t tr¶n. º chùng minh ành lþ, x²t ph÷ìng tr¼nh n y trong mi·n z ≥ 0 g¦n d¤ng ÷íng thay êi v
kiºm so¡t c¡c thay êi tåa ë ÷ñc sû döng cho sü çng nh§t cõa h m trìn, ph¯ng tr¶n ÷íng n y.
º lo¤i bä h m B c¦n l§y tåa ë mîi φe g¦n ÷íng trán z = 0 v h m â l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
2φez −Bφeφ = 0,
vîi gi¡ trà ban ¦u φ tr¶n ÷íng trán. Nghi»m n y tçn t¤i v l duy nh§t v¼ ÷íng khæng câ c¡c iºm °c t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh. Ngo i ra, nghi»m n y b¬ng φ cho ¸n mët h m ph¯ng tr¶n ÷íng trán bði v¼ h m B l ph¯ng tr¶n nâ.
V¼ vªy lóc n y x²t ph÷ìng tr¼nh (2.8) vîi B ≡ 0 câ d¤ng
dφ2 + (1 +C(z, φ))dz2 = 0, (2.9) câ thº thu ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2.8) khi B ≡ 0 vîi sü thay êi t l» cõa tåa ë z.
º chùng minh ành lþ 2.2.1 l ¦y õ trong mi·n z ≥ 0g¦n vîi ÷íng trán c¦n t¼m tåa ë cõa (2.6), tùc l
e
z = z+Z(z, φ), φe= φ+ Φ(z, φ), (2.10) vîi Z v Φ l c¡c h m trìn, chóng câ chu ký 2π vîi b£o tçn argument thù hai v ph¯ng tr¶n ÷íng trán z = 0. Nh÷ vªy, trong c¡c tåa ë mîi ph÷ìng tr¼nh (2.9) câ d¤ng (bä qua d§u ng¢)
dφ2 +dz2 = 0, l¶n ¸n ph²p nh¥n tr¶n mët h m trìn b§t bi¸n.
Thªt vªy, ph÷ìng tr¼nh cuèi còng cõa c¡c ph²p bi¸n êi
b
φ = φ, 2
3(1−rb)32 = z,
÷ñc gi£m trong mi·n z ≥ 0 g¦n ÷íng trán z = 0 v· d¤ng dφb2 + (1−rb)drb2 = 0,
trong mi·n br ≤1 g¦n vîi ÷íng trán br = 1. V¼ t½nh ph¯ng cõa h m Φ v Z tr¶n ÷íng trán ze= 0 sü thay êi cuèi còng cõa tåa ë
(r, φ) 7→(r,b φb),
l trìn trong mi·n r ≤ 1 g¦n vîi ÷íng trán r = 1 v câ thº ÷ñc mð rëng mët c¡ch d¹ d ng ¸n mët sè l¥n cªn cõa ÷íng trán n y nh÷ x¤ £nh çng nh§t trong mi·n r ≥ 1.
Do â, õ º chùng minh sü tçn t¤i cõa tåa ë (2.6) vîi c¡c t½nh ch§t ¢ y¶u c¦u. º x¥y düng tåa ë nh÷ vªy, tø (2.10) l§y vi ph¥n ta câ
dz = (1 + Φφ)dze−Zφdφe ∆ , dφ = −Φzdez+ (1 +Zz)dφe ∆ , trong â ∆ = (1 +Zz)(1 + Φφ)−ZφΦz,
v thay th¸ chóng cho (2.9). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh thu ÷ñc vîi ∆2 ÷ñc
[(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2]dφe2 −2[(1 +Zz)Φz + (1 +C)(1 + Φφ)Zφ]dzdφ
+[Φ2z + (1 +C)(1 + Φφ)2] = 0.
C¦n t¼m mët h m Z trìn v Φ ph¯ng tr¶n z = 0 sao cho trong ph÷ìng tr¼nh cuèi còng, h» sè trung b¼nh b¬ng khæng v hai sè kh¡c b¬ng nhau. i·u â d¨n ¸n h» ph÷ìng tr¼nh
(
(1 +Zz)Φz + (1 +C)(1 + Φφ)Zφ = 0
(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = Φ2z + (1 +C)(1 + Φφ)2. (2.11) Thay th¸ tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n cõa h»
Φz = −(1 +C)(1 + Φφ)Zφ
1 +Zz , ¸n b÷îc thù hai câ ph÷ìng tr¼nh sau ¥y
(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = (1 +C)(1 + Φφ)Zφ 1 +Zz 2 + (1 +C)(1 + Φφ)2,
ho°c (1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = (1 +C)(1 + Φφ) 1 +Zz 2 [(1 +C)Zφ2 + (1 +Zz)2]. T¼m h m Z l ph¯ng tr¶n ÷íng trán z = 0. èi vîi h m nh÷ vªy, biºu thùc b¶n tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh cuèi l khæng b¬ng khæng g¦n ÷íng trán n y. Chia ph÷ìng tr¼nh cuèi còng b¬ng biºu thùc n y v sû döng t½nh ph¯ng (c¦n thi¸t) cõa Z v Φ câ ph÷ìng tr¼nh
√
1 +C(1 + Φφ) = 1 +Zz.
Ph÷ìng tr¼nh n y còng vîi ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa (2.11) d¨n ¸n
(
−Φz = √
1 +CZφ
1 + Φφ = √ 1
1+C(1 +Zz).
i·u ki»n kh£ t½ch cho h» n y cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai sau ¥y √ 1 +CZφ φ + 1 √ 1 +C(1 +Zz) z = 0. trong â h m D, D(z, φ) = p1 +C(z, φ) l h m trìn v b¬ng 1 trong mi·n z ≤ 0(r ≥ 1). Trong mi·n g¦n ÷íng trán n y, ph÷ìng tr¼nh cuèi còng câ nghi»m Z = 0. Do â, n¸u nghi»m n y câ thº mð rëng trìn ¸n mët l¥n cªn cõa ÷íng trán sau â ph¦n mð rëng l ph¯ng tr¶n ch½nh ÷íng trán â v sü thay êi c¦n thi¸t cõa tåa ë tçn t¤i. Do â ph¡t biºu cõa ành lþ 2.2.1 l óng.
2.3 D¤ng chu©n tc trìn
Gi£ sû f : D → Rn l h m x¡c ành tr¶n tªp mð D ⊂ Rn sao cho vîi méi x ∈ D cho tr÷îc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ætænæm
˙
y = f(y),
câ duy nh§t nghi»m ϕ(t, x) n¶n kho£ng tçn t¤i cüc ¤i J(x) = (t−(x), t+(x)),
thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u ϕ(t, x) =x. °t Ω = Ω (f) = (t, x) ∈ R×D|t−(x) < t < t+(x), x ∈ D . Khi â i) Ω mð trong R×D; ii) ϕ : Ω →D l li¶n töc; iii) ϕ(0,·) =idD;
iv)ϕ(t, ϕ(s, x)) =ϕ(t+s, x)vîi måix ∈ D v måis ∈ J(x),t ∈ J(ϕ(s, x))
(do t½nh duy nh§t nghi»m).
Khi â ϕ gåi l mët dáng (ho°c mët h» ëng lüc àa ph÷ìng) tr¶n L sinh bði tr÷íng vectì f ho°c sinh bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n y˙ = f(y).
N¸u Ω = R×D, tùc l t−(x) = −∞ v t+(x) = +∞ vîi måi x ∈ D, ϕ gåi l mët dáng to n cöc (ho°c h» ëng lüc to n cöc) tr¶n D. Chó þ r¬ng n¸u f ∈ Cr(D,Rn) th¼ ϕ ∈ Cr(Ω,Rn).
Chó þ r¬ng b§t cù dáng ϕ(t, x) kh£ vi theo t n o công sinh ra bði mët tr÷íng vectì n o â.
Thªt vªy, gi£ sû D l tªp mð trong Rn v ϕ mët dáng tr¶n D. X¡c ành f bði
f(x) = d
dtϕ(t, x)|t=0.
Khi â x(t) = ϕ(t, x0) l nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u
(
˙
x = f(x)
x(0) = x0.
Chó þ r¬ng n¸u ϕ l dáng sinh tr÷íng vectì f th¼ f gåi l ph¦n tû sinh cõa dáng. Do
lim
t→0
ϕ(t, x)−x
t = f(x), ∀x ∈ D, suy ra ph¦n tû sinh ÷ñc x¡c ành duy nh§t bði dáng.
Gi£ sû ϕ l mët dáng tr¶n D. Khi â vîi méi x ∈ D h m ϕ(x) = ϕ(·, x) : J(x) → D
Mët iºm x l mët iºm tîi h¤n (ho°c mët iºm c¥n b¬ng, mët iºm k¼ dà) cõa dáng ϕ n¸u ϕ(t, x) =x vîi måi t ∈ J(x).
Mët iºm x l mët iºm tu¦n ho n cõa dáng ϕ n¸u tçn t¤i T 6= 0 sao cho ϕ(t+T, x) = ϕ(t, x) vîi måi t ∈ J(x) m t+T ∈ J(x). Trong tr÷íng hñp n y câ thº chùng minh J(x) = R. Måi sè T 6= 0 câ t½nh ch§t n y gåi l mët chu k¼ cõa x. N¸u x l iºm tu¦n ho n th¼ ta nâi ÷íng dáng ϕ(·, x) l tu¦n ho n.
ành lþ 2.3.1. Gi£ sû ϕ l dáng tr¶n D. Khi â ϕt l mët çng phæi tø
Ωt l¶n Ω−t v (ϕt)−1 = ϕ−t vîi måi t∈ R.
Chùng minh. Ta câ J(ϕ(t, x)) =J(x)−t. Do â vîi måi x ∈ R v x∈ Ω, ta câ −t ∈ J(ϕ(t, x)) v do â ϕ(t, x) ∈ Ω. Tø ¥y ta câ
ϕ(−t, ϕ(t, x)) = ϕ(t−t, x) = x,
tùc l ϕ−t(ϕt(x)) = x vîi måi x ∈ Ω. N¸u ta thay t bði −t, ta câ ϕt(ϕ−t(y)) = y vîi måi y ∈ Ω−t. Tø ¥y ϕt l mët song ¡nh tø Ωt, l¶n