2 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n
2.2 D¤ng chu©n tc khæng àa ph÷ìng
Xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng
dφ2 + (1−r)dr2 = 0. (2.4) Cho b§t ký ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng vîi h» sè khæng trìn nh®n, tròng vîi ph÷ìng tr¼nh (2.4) g¦n ÷íng trán r = 1 trong mi·n r ≥ 1 câ d¤ng
(1 +a(r, φ))dφ2 +b(r, φ)drdφ + (1−r)(1 +c(r, φ))dr2 = 0, (2.5) trong â a, b, c l c¡c h m trìn v ph¯ng tr¶n r = 1. Ngo i ra h m n y câ chu ký 2π vîi sü b£o to n φ.
ành lþ 2.2.1. Ph÷ìng tr¼nh (2.5) l rót gån v· mët trong nhúng k½ hi»u cõa ph÷ìng tr¼nh (2.4) trong mët sè l¥n cªn cõa ÷íng trán r = 1 khi mët sè tåa ë thay êi câ d¤ng
( e
r = r +R(r, φ)
e
èi vîi mët sè h m trìn R v Φ câ chu ký 2π trong φ v ph¯ng tr¶n ÷íng trán r = 1, khi g¦n ÷íng trán n y th¼ ph÷ìng tr¼nh eliptic ·u câ d¤ng
[D(r, φ) (1 +ur)]r + [D−1(r, φ)uφ]φ = 0, (2.7) vîi h m trìn D ÷ñc x¡c ành bði a, b, c v b¬ng 1 trong mi·n r ≥ 1 câ nghi»m trìn b¬ng 0 trong mi·n n y.
Nh÷ l÷u þ ð tr¶n b i to¡n ành lþ rót gån n y suy ra d¤ng chu©n tc c¦n thi¸t tø b i to¡n nêi ti¸ng èi vîi sü tçn t¤i cõa mð rëng trìn cho nghi»m cõa b i to¡n Cauchy èi vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh eliptic ·u thæng qua mët si¶u m°t. Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.7) mð rëng nh÷ vªy l duy nh§t.
Bê · 2.2.2. N¸u câ h m trìn f tr¶n m + 1 bi¸n thüc x ∈ R v y ∈ Rm
l ph¯ng tr¶n m°t ph¯ng x= 0, khi â vîi b§t ký sè thüc d÷ìng ν tçn t¤i h m trìn F tr¶n m+ 1 bi¸n thüc nh÷ tr¶n sao cho x ≥0
f (x, y) = F (xν, y).
Thªt vªy, vîi z 6= 0 ành ngh¾a F(z, y) := f(|z|ν1, y). Th§y r¬ng b¶n ngo i si¶u ph¯ng z = 0 h m F l h m trìn. Nh÷ng f l ph¯ng tr¶n x = 0, v do â h m F công ph¯ng tr¶n z = 0. V¼ vªy F l h m trìn v ph¡t biºu cõa Bê · l ch½nh x¡c.
Dòng ph¡t biºu n y, vi¸t l¤i (2.5) g¦n ÷íng trán r = 1 trong mi·n r ≤ 1 d÷îi d¤ng
(1 +A(z, φ))dφ2 +B(z, φ)dzdφ+ 4
9(1 +C(z, φ))dz
2 = 0,
vîi z := (1−r)32 v c¡c A, B, v C l h m trìn v ph¯ng tr¶n z = 0 vîi chu ký 2π trong φ. Sau khi chia cho h» sè 1 +A ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng
dφ2 + B(z, φ)dzdφ+ 4
9(1 +C (z, φ))dz
2
= 0, (2.8)
vîi c¡c h m sè mîi B, v C câ còng t½nh ch§t tr¶n. º chùng minh ành lþ, x²t ph÷ìng tr¼nh n y trong mi·n z ≥ 0 g¦n d¤ng ÷íng thay êi v
kiºm so¡t c¡c thay êi tåa ë ÷ñc sû döng cho sü çng nh§t cõa h m trìn, ph¯ng tr¶n ÷íng n y.
º lo¤i bä h m B c¦n l§y tåa ë mîi φe g¦n ÷íng trán z = 0 v h m â l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
2φez −Bφeφ = 0,
vîi gi¡ trà ban ¦u φ tr¶n ÷íng trán. Nghi»m n y tçn t¤i v l duy nh§t v¼ ÷íng khæng câ c¡c iºm °c t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh. Ngo i ra, nghi»m n y b¬ng φ cho ¸n mët h m ph¯ng tr¶n ÷íng trán bði v¼ h m B l ph¯ng tr¶n nâ.
V¼ vªy lóc n y x²t ph÷ìng tr¼nh (2.8) vîi B ≡ 0 câ d¤ng
dφ2 + (1 +C(z, φ))dz2 = 0, (2.9) câ thº thu ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2.8) khi B ≡ 0 vîi sü thay êi t l» cõa tåa ë z.
º chùng minh ành lþ 2.2.1 l ¦y õ trong mi·n z ≥ 0g¦n vîi ÷íng trán c¦n t¼m tåa ë cõa (2.6), tùc l
e
z = z+Z(z, φ), φe= φ+ Φ(z, φ), (2.10) vîi Z v Φ l c¡c h m trìn, chóng câ chu ký 2π vîi b£o tçn argument thù hai v ph¯ng tr¶n ÷íng trán z = 0. Nh÷ vªy, trong c¡c tåa ë mîi ph÷ìng tr¼nh (2.9) câ d¤ng (bä qua d§u ng¢)
dφ2 +dz2 = 0, l¶n ¸n ph²p nh¥n tr¶n mët h m trìn b§t bi¸n.
Thªt vªy, ph÷ìng tr¼nh cuèi còng cõa c¡c ph²p bi¸n êi
b
φ = φ, 2
3(1−rb)32 = z,
÷ñc gi£m trong mi·n z ≥ 0 g¦n ÷íng trán z = 0 v· d¤ng dφb2 + (1−rb)drb2 = 0,
trong mi·n br ≤1 g¦n vîi ÷íng trán br = 1. V¼ t½nh ph¯ng cõa h m Φ v Z tr¶n ÷íng trán ze= 0 sü thay êi cuèi còng cõa tåa ë
(r, φ) 7→(r,b φb),
l trìn trong mi·n r ≤ 1 g¦n vîi ÷íng trán r = 1 v câ thº ÷ñc mð rëng mët c¡ch d¹ d ng ¸n mët sè l¥n cªn cõa ÷íng trán n y nh÷ x¤ £nh çng nh§t trong mi·n r ≥ 1.
Do â, õ º chùng minh sü tçn t¤i cõa tåa ë (2.6) vîi c¡c t½nh ch§t ¢ y¶u c¦u. º x¥y düng tåa ë nh÷ vªy, tø (2.10) l§y vi ph¥n ta câ
dz = (1 + Φφ)dze−Zφdφe ∆ , dφ = −Φzdez+ (1 +Zz)dφe ∆ , trong â ∆ = (1 +Zz)(1 + Φφ)−ZφΦz,
v thay th¸ chóng cho (2.9). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh thu ÷ñc vîi ∆2 ÷ñc
[(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2]dφe2 −2[(1 +Zz)Φz + (1 +C)(1 + Φφ)Zφ]dzdφ
+[Φ2z + (1 +C)(1 + Φφ)2] = 0.
C¦n t¼m mët h m Z trìn v Φ ph¯ng tr¶n z = 0 sao cho trong ph÷ìng tr¼nh cuèi còng, h» sè trung b¼nh b¬ng khæng v hai sè kh¡c b¬ng nhau. i·u â d¨n ¸n h» ph÷ìng tr¼nh
(
(1 +Zz)Φz + (1 +C)(1 + Φφ)Zφ = 0
(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = Φ2z + (1 +C)(1 + Φφ)2. (2.11) Thay th¸ tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n cõa h»
Φz = −(1 +C)(1 + Φφ)Zφ
1 +Zz , ¸n b÷îc thù hai câ ph÷ìng tr¼nh sau ¥y
(1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = (1 +C)(1 + Φφ)Zφ 1 +Zz 2 + (1 +C)(1 + Φφ)2,
ho°c (1 +Zz)2 + (1 +C)Zφ2 = (1 +C)(1 + Φφ) 1 +Zz 2 [(1 +C)Zφ2 + (1 +Zz)2]. T¼m h m Z l ph¯ng tr¶n ÷íng trán z = 0. èi vîi h m nh÷ vªy, biºu thùc b¶n tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh cuèi l khæng b¬ng khæng g¦n ÷íng trán n y. Chia ph÷ìng tr¼nh cuèi còng b¬ng biºu thùc n y v sû döng t½nh ph¯ng (c¦n thi¸t) cõa Z v Φ câ ph÷ìng tr¼nh
√
1 +C(1 + Φφ) = 1 +Zz.
Ph÷ìng tr¼nh n y còng vîi ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa (2.11) d¨n ¸n
(
−Φz = √
1 +CZφ
1 + Φφ = √ 1
1+C(1 +Zz).
i·u ki»n kh£ t½ch cho h» n y cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai sau ¥y √ 1 +CZφ φ + 1 √ 1 +C(1 +Zz) z = 0. trong â h m D, D(z, φ) = p1 +C(z, φ) l h m trìn v b¬ng 1 trong mi·n z ≤ 0(r ≥ 1). Trong mi·n g¦n ÷íng trán n y, ph÷ìng tr¼nh cuèi còng câ nghi»m Z = 0. Do â, n¸u nghi»m n y câ thº mð rëng trìn ¸n mët l¥n cªn cõa ÷íng trán sau â ph¦n mð rëng l ph¯ng tr¶n ch½nh ÷íng trán â v sü thay êi c¦n thi¸t cõa tåa ë tçn t¤i. Do â ph¡t biºu cõa ành lþ 2.2.1 l óng.