2 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n
2.3.2 D¤ng chu©n tc trìn cho c¡c iºm k¼ dà g§p
Sè mô cõa mët iºm k¼ dà hyperbol cõa tr÷íng vectì tr¶n m°t ph¯ng ÷ñc x¡c ành l t l» cõa gi¡ trà ri¶ng mæun lîn nh§t cõa nâ tuy¸n t½nh hâa t¤i iºm nhä nh§t cho iºm y¶n ngüa, iºm nót vîi mæun t l» cõa ph¦n £o gi¡ trà ri¶ng vîi ph¦n thüc cho ti¶u iºm. Cho mët tr÷íng h÷îng, sè mô cõa mët iºm ký dà hyperbol ÷ñc ành ngh¾a l mët trong c¡c tr÷íng vectì t÷ìng ùng vîi iºm k¼ dà hyperbol. Sè mô ÷ñc b£o to n bði c¡c vi phæi.
ành lþ 2.3.8. Cho ph÷ìng tr¼nh trìn têng qu¡t
a(x, y)uxx +b(x, y)uxy +c(x, y)uyy = 0,
méi iºm k¼ dà g§p P l hyperbolic. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh n y l t÷ìng ÷ìng tæpæ vîi ph÷ìng tr¼nh
uxx+ (−y +Kx2)uyy = 0, (2.22) g¦n gèc tåa ë vîi K = −1,201 v 1 l iºm y¶n ngüa, iºm nót v ti¶u iºm t÷ìng ùng.
V½ dö 2.3.9. Tr¶n m°t ph¯ng cõa bi¸n sè u v v phæi cõa Ck- tuy¸n t½nh hâa têng qu¡t vîi k ≥ 1tr÷íng h÷îng g¦n nâ cëng h÷ðng iºm k¼ dà vîi sè mô α cõa iºm y¶n ngüa, iºm nót ho°c ti¶u iºm l Ck- quÿ ¤o t÷ìng ÷ìng tø phæi tr¶n iºm gèc cõa tr÷íng h÷îng x¡c ành bði tr÷íng vectì
0 2 −k 1 ! u ω ! vîi k = α
2(α+1)2 cho iºm y¶n ngüa v iºm nót, v vîi k = α28+1 cho ti¶u iºm. Vectì n y v ph²p n¥ng l¶n lôy thøa (u, ω) 7→(u,−ω) l t÷ìng th½ch.
ành lþ 2.3.10. (xem [5],[6]) Phæi cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (0.1) Ck- tuy¸n t½nh hâa. Khi â iºm k¼ dà g§p vîi sè mô α l phæi t¤i iºm gèc cõa ph÷ìng tr¼nh uxx + −y + kx 2 2 uxx = 0, trong h» tåa ë trìn th½ch hñp.
C¡c ph¡t biºu sau ¥y tr¼nh b y c¡c d¤ng chu©n tc t÷ìng ùng cho m¤ng l÷îi °c tr÷ng cõa ch½nh nâ.
ành lþ 2.3.11. (xem [5],[6]) Phæi cõa hå c¡c °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (0.1) l hyperbolic Ck- tuy¸n t½nh hâa v iºm k¼ dà g§p vîi sè mô α. Khi â C∞- çng phæi vîi phæi t¤i iºm gèc cõa hå c¡c ÷íng cong
|x±√y|−αx α ±√y = c, (c ∈ R), ho°c (|x±√y|−αx α ±√y = c)∪(x±√y = 0), c ∈ R, ho°c ( ±α−1√ y = Rsin(α−1lnR+c) x±√y = Rcos(α−1lnR+ c) ,0≤ c ≤ 2π, vîi iºm y¶n ngüa, iºm nót v ti¶u iºm th½ch hñp, t¤iR =
q
i·u ki»n cõa C∞ - tuy¸n t½nh hâa trong c¡c ành lþ n y khæng bà h¤n ch¸ nhi·u. Cö thº, ti¶u iºm khæng suy bi¸n luæn l C∞ - tuy¸n t½nh hâa, v mët nót l C∞- tuy¸n t½nh hâa n¸u sè mô cõa nâ khæng ph£i l sè tü nhi¶n. Cuèi còng, theo ành lþ cõa Segal, iºm y¶n ngüa vîi sè mô α l C∞- tuy¸n t½nh hâa n¸u iºm (1, α) l iºm câ d¤ng (M, ν) tùc l
min{|1−m1 −m2α|,|α−m1 −m2α| } ≥ |mM|v cho måi sè nguy¶n vectì m = (m1, m2) vîi m1, m2 khæng ¥m v vîi m1 +m2 ≥2. Ta bi¸t r¬ng ÷îc cõa tªp hñp c¡c iºm, vîi M > 0 l c¡c iºm câ d¤ng (M, ν) l b¬ng 0, n¸u ν > 1.
Do â, câ i·u ki»n C∞- tuy¸n t½nh hâa cho tªp con mð trò mªt mð ð khp måi cõa c¡c nót v ti¶u iºm, v ch¿ cho c¡c tªp con trò mªt ð khp måi nìi cõa iºm y¶n ngüa. B i to¡n l cëng h÷ðng cho iºm y¶n ngüa ð khp måi nìi trò mªt v cëng h÷ðng iºm y¶n ngüa nâi chung l khæng C∞- tuy¸n t½nh hâa. D¤ng chu©n tc cho cëng h÷ðng g§p têng qu¡t v c¡c iºm k¼ dà g§p sì c§p ·u ¤t ÷ñc trong b i b¡o sè [2].Vi»c ÷a ra c¡c k¸t qu£ t÷ìng ùng l t÷ìng tü vîi c¡c ành lþ ph¥n lo¤i ð tr¶n. Ð ¥y, tr¼nh b y tr÷íng hñp cëng h÷ðng iºm y¶n ngüa g§p º ho n th nh vi»c ph¥n lo¤i c¡c iºm k¼ dà cõa m¤ng l÷îi °c tr÷ng cho ph÷ìng tr¼nh hén hñp têng qu¡t g¦n c¡c iºm k¼ dà g§p, ngh¾a l cho tªp con mð trò mªt khp cõa (0.1) trong khæng gian cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh trong óng trìn ho°c trìn ¦y õ tæpæ Whitney.
ành lþ 2.3.12. (xem [2]) Phæi cõa hå c¡c °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (0.1) tr¶n iºm y¶n ngüa g§p vîi sè mô α = −rq, trong â r v q l sè tü nhi¶n v r
q l ph¥n sè tèi gi£n. Khi â C∞- vi phæi cho phæi t¤i iºm gèc cõa hå °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh uxx + −y − k 2x 2 ±xr+q+2+Ax2(r+q)+2 uyy = 0, trong â k = α 2(α+1)2 v A l tham sè thüc.
Chó þ 2.2. C¦n l÷u þ l d¤ng chu©n tc ¤t ÷ñc khæng l d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng vîi d¤ng chu©n tc n y l
nh÷ nhau l¶n h m trìn m b¬ng 0 trong mi·n D > 0. Ch¯ng h¤n nh÷, n¸u cho ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t phæi cõa m¤ng l÷îi °c t½nh cõa nâ trð th nh mët trong nhúng ph÷ìng tr¼nh uxx+ −y − k 2x 2 uyy = 0,
g¦n iºm gèc tåa ë, i·u â câ ngh¾a l kþ hi»u ch½nh cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng t÷ìng ùng bà gi£m câ d¤ng
(1 +a(x, y))uxx +b(x, y)uxy + −y − k 2x 2 (1 +c(x, y))uyy = 0,
vîi mët sè h m trìn a, b v c b¬ng 0 trong mi·n D > 0, b¬ng c¡ch thay êi trìn tåa ë v nh¥n tr¶n c¡c h m trìn khæng b§t bi¸n. L m th¸ n o º lo¤i bä nhúng a, b v c l mët v§n · mð c¦n câ thíi gian nghi¶n cùu ti¸p.
K¸t luªn
D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng l mët b i to¡n ÷ñc ÷a ra sau khi xu§t hi»n nhúng d¤ng chu©n tc m ¤i di»n cho c¡c ph÷ìng tr¼nh lo¤i eliptic v ph÷ìng tr¼nh lo¤i hyperbolic, ÷ñc sû döng nhi·u trong gi£i t½ch º ¡p döng trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n kh¡c nhau, mæ t£ sü chuyºn ëng cõa d¥y v sü thay th¸ vªn tèc cõa ch§t läng khæng n²n ÷ñc t÷ìng ùng. Nëi dung ch½nh ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n bao gçm:
1. Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai, d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbolic, parabolic, eliptic.
2. Tr¼nh b y d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai vîi hai bi¸n ëc lªp, d¤ng chu©n tc trìn, d¤ng chu©n tc khæng àa ph÷ìng. Sû döng c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc v o vi»c chùng minh sü ành l½ rót gån.
T i li»u tham kh£o
1. Bruce J .W, Tari F, Fletcher G J.( 2000), Bifurcations of binary differential equations, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 130: 485506. 2. Davydov A. A., Rosales-Gonzales E. (1996), Complete classification of generic linear second-order partial differential equations in the plane, Dokl Math, 350: 151154.
3. Davydov A. A. (2018), Normal forms of linear second order par- tial differential equations on the plane, Sci China Math, 61, https://doi.org/10.1007/s11425-017-9303-0
4. Davydov A. A, Diep L. T. T. (2010), Normal forms for families of lin- ear equations of mixed type near non-resonant folded singular points, Russian Math Surveys, 65: 984986.
5. Davydov A. A. (1985), The normal form of a differential equation that is not solved with respect to derivative, in the neighbourhood of its singular point, Funct Anal Appl, 19: 8189.
6. Davydov A A.(1994), Qualitative Theory of Control Systems. Trans- lations of Mathematical Monographs, vol. 141. Providence, Amer Math Soc, .
7. Davydov A. A, Diep L. T. T. (2011), Reduction theorem and normal forms of linear second order mixed type PDE families in the plane, TWMS J Pure Appl Math, 2: 4453.
8. Kondratiev V A, Landis E M. (1988), Qualitative theory of second order linear partial differential equations, Itogi Nauki i Tekhniki Ser Sovrem Probl Mat Fund Napr, 32: 99215.
9. Y. Pinchover, J. Rubenstein (2005), An Introduction to Partial Dif- ferential Equations, Cambridge.