Trong thực tế, kênh không thật sự là Rayleigh i.i.d. Có rất nhiều yếu tố dẫn đến điều này, và kết quả làm giảm giá trị hoạt động của các hệ thống MIMO. Một trong những yếu tố đó là sự tương quan. Vấn đề tương quan xuất hiện bởi vì khoảng cách rời rạc giữa các thành phần anten trong một trạm gốc. Thông thường khoảng cách rời rạc này được chia theo vài centimeter, trong khi khoảng cách giữa điện thoại di động và trạm gốc được cách nhau vài Km.
Vì thế, tín hiệu đến tại trạm gốc từ một đầu thu thường rất gần nhau, xuất hiện do tương quan giữa chúng. Nó xảy ra vì tất cả các thành phần anten thu cùng một tín hiệu, bởi vì tính hình học của hiện tượng này. Mức độ “giống nhau” xác định hệ số tương quan với 1 khi tương quan lớn nhất và 0 khi không có tương quan. Điều này sẽ được khắc phục trong một trạm gốc bởi:
Sử dụng các anten lưỡng cực độc lập nhau được cách biệt bởi 1 khoảng cách D để thực hiện khoảng cách coherent cho kênh đó.
Sử dụng hai mảng anten độc lập được cách biệt bởi một khoảng cách D để thực hiện khoảng cách coherent cho kênh đó.
Chúng ta có thể triển khai các anten song hướng độc lập lẫn nhau hay các mảng anten độc lập lẫn nhau. Trong hình 1.14, cả trường hợp (a) và (b) đều khả thi. Khoảng cách D thông thường phân theo 10 đến 6 bước sóng cho một trạm gốc, bởi vì nó là điểm ưu thế cao và xa với các đầu thu di động. Vấn đề không chỉ phục vụ cho vài điện thoại di
động bởi vì chúng được định vị một cách biến thiên trong môi trường tán xạ mạnh. Trong những trường hợp này, khoảng cách tách biệt thường là 2 đến 3 bước sóng. Trong tương quan, các thành phần của ma trận kênh thì không tương quan và có thể mô hình hóa như sau:
1 2
( ) ( w)
vec H R vec H (1.54) Với Hw là một ma trận kênh Gauss với i.i.d Rayleigh có kích thước MRxMT và R là ma trận hiệp biến MRMTxMTMR được xác định như sau:
( ) ( )H
RE vec H vec H (1.55)
(a)
(b)
Hình 1.14 Vấn đề tương quan
R là ma trận Hermitian bán xác định tích cực. Nếu R là hạng đầy đủ (tức là R= IMTMR), như trong trường hợp H=Hw. Ý tưởng về mô hình này mô tả sinh động một cách ảnh hưởng hiệu quả ảnh hưởng tương quan trong kênh. Để thực hiện điều này rất phức tạp, bằng cách sử dụng một mô hình tổng quát hóa hơn như sau:
1 1
2 2
r w t
H R H R (1.56)
Với Rt là ma trận hiệp biến phát MTxMT , Rr là ma trận hiệp biến thu MRxMR. Cả Rt, Rrđều là ma trận Hermitian bán xác định tích cực.(1.56) được giải thích là:
Tín hiệu được phát khi đến đầu thu, thì được tương quan bởi đặc điểm hình học tại đầu thu (Rr). Kênh trên giây được mô tả như Rayleigh i.i.d (Hw)
Tín hiệu được phát thì tương quan với chính đầu phát bởi vì đặc điểm tại đầu phát (Rt) hay do góc trái nhỏ.
R, Rt và Rr thì tương quan bởi T
t r
Chú ý Hwlà hạng trên giây (rank per sec) đầy đủ, nhưng hạng ảnh hưởng của H bị giảm bởi sự tương quan tại đầu phát hay đầu thu hay cả hai và ảnh hưởng này được biểu diễn như là min(r(Rr),r(Rt)) với r(A) xác định hạng của A.
Giả sử cả ma trận Rr và Rt được chuẩn hóa khi đó chúng có các giá trị duy nhất trên đường chéo của chúng, điều này đạt đếnE h{ i j, 2} 1 . Dung lượng của kênh MIMO trong tương quan Fading không gian không có nhận biết kênh tại đầu phát như (1.35)
12 2 2 log det R H H M r w t w r T C I R H R H R M (1.57)
Giả sử MT = MR = M, các ma trận tương quan của đầu phát và đầu thu có hạng đầy đủ. Khi đó SNR cao, dung lượng có thể xấp xỉ với:
2 2 2
log det w wH log det r log det t
T C H H R R M (1.58)
Chú ý từ (1.58) các ma trận tương quan có cùng ảnh hưởng đến dung lượng kênh. Bây giờ chúng ta khảo sát điều kiện Rrđể tối đa hóa dung lượng.
1 det( ) ( ) 1 M r i r i R R (1.59)
Hình 1.15: Dung lượng ergodic với thu tương quan cao và thấp. Sự suy hao dung
lượng Ergodic khoảng 2.47 bit/s/Hz và hệ số tương quan 0.8
Chú ý rằng sự giới hạn công suất trong
1 ( ) M i r i R M
2
log det(Rr)0 Nó chỉ có thể bằng 0 nếu tất cả các giá trị riêng của Rr bằng nhau (Rr=IM). Vì thế, tương quan tín hiệu Fading làm giảm số lượng giá trị riêng do đó giảm dung lượng kênh MIMO. Nó giảm dung lượng ergodic hay dung lượng outage được cho bởi
2 2
log det Rr log det Rt bit/s/Hz.
Giả sử một kênh trực giao với MT = MR = 2 và hơn nữa giả thiết rằng chỉ có tương quan tại đầu thu, khi đó chúng ta chọn ma trận tương quan thu như sau:
1 * 1 r r r R (1.60)
Chú ý hình 1.15 có sự suy hao 2.47 bit/s/Hz khi tỉ số SNR cao được so sánh với trường hợp không có tương quan. Đây là suy hao do thành phần log det(2 Rr). Nếu hệ số tương quan của Rr và Rt là duy nhất, khi đó ma trận H sẽ trở thành hạng 1. Nó giống như một kênh SISO. Vì thế tương quan không phải là điều tốt.