9. Kết cấu của đề tài
2.1.2. Ví dụ minh họa
2.1.2.1. Chủ đề “ àm số bậc nhất và đồ thị”
Nói đến hàm số bậc nhất và đồ thị học sinh thƣờng giải quyết các bài toán về tìm hệ số góc, tìm hệ số tự do, viết phƣơng trình đƣờng thẳng, tìm tọa độ giao điểm của hai đƣờng thẳng, vẽ đồ thị…
Tuy nhiên, trong chƣơng trình toán 9 chƣa có nhiều bài toán thực tiễn hoặc thực tế để học sinh thấy đƣợc việc học toán nội dung này mang lại. Dƣới đây là một ví dụ về việc áp dụng nội dung hàm số bậc nhất và đồ thị để giải quyết vấn đề thực tiễn. Ví dụ 1. Lựa chọn thông minh
Một hộ gia đình cần mua một cái bóng đèn để thắp sáng. Khi ra tiệm bóng đèn, đƣợc chủ tiệm giới thiệu cho hai loại bóng đèn phổ biến có cùng độ sáng 800 lm (đơn vị đo độ sáng) với giá thành khác nhau. Nếu là hộ gia đình đó, bạn sẽ chọn loại nào ?
(gợi ý hãy so sánh chi phí bỏ ra khi mua và sử dụng bóng đèn và đặt giả thiết về tiền điện sử dụng).
B n 2.1. Thôn tin bón đèn sợi đốt và bón đèn Led
Thông tin Bóng đèn sợi đốt Bóng đèn Led
Điện năng tiêu thụ 60W 8W
Độ sáng 800 lm
Tuổi thọ bóng đèn 1 năm 25 năm
Giá trung bình của bóng đèn 9 000 đ 70 000 đ
quan hệ chi phí điện năng, giá thành ban đầu và mục đích. 2.Xây dựng mô hình
Học sinh nhận ra đƣợc chi phí ban đầu không phải tiêu chí hàng đầu mà cần xem xét đến mức tiêu thụ điện năng, thời gian sử dụng và chi phí điện năng. Học sinh phải xây dựng đƣợc mối quan hệ giữa các đại lƣợng này. Đặc biệt học sinh phải giả sử đƣợc số tiền điện ứng với 1 kWh và số giờ sử dụng bóng đèn trong một ngày.
3.Tính toán
Học sinh xây dựng đƣợc số tiền điện phải trả ở mỗi ngày và số tiền phải trả khi sử dụng mỗi loại bóng đèn. Tính toán chính xác số tiền trong từng thời điểm khác nhau.
4.Giải thích
Sau khi tính toán đƣợc mối quan hệ giữa công suất và tiền điện. Chi phí bỏ ra khi sử dụng bóng đèn mỗi loại. Nhận xét đƣợc thời điểm chi phí của hai bóng đèn là bằng nhau. Dựa vào kết quả đó đƣa ra nhận xét chính xác với lập luận của mình.
5. iểm tra/ Phản hồi
Học sinh lựa chọn đƣợc phƣơng án của mình, học sinh hiểu cách sử dụng bóng đèn với công suất lớn theo thời gian chi phí sẽ lớn hơn rất nhiều.
6.Giải quyết vấn đề
Giả sử hộ gia đình đó sử dụng bóng đèn 12 giờ liên tục mỗi ngày. Do mỗi ngày hộ đó dùng 12 giờ liên tục nên năng lƣợng tiêu thụ: Bóng đèn sợi đốt là Wh kWh.
Bóng đèn led là Wh kWh. Gọi là số ngày sử dụng bóng đèn.
Giả sử giá điện là 1000đ/kWh.
Đối với từng bóng đèn số tiền phải trả sau ngày sử dụng là : Hàm số biểu thị số ngày sử dụng bóng đèn sợi đốt :
Hàm số biểu thị số ngày sử dụng bóng đèn led :
Đồ thị 2.1. ai đường thẳng f(x) và g(x)
Ta xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của và :
Nếu sử dụng 98 ngày thì chi phí hai loại là nhƣ nhau. Sử dụng nhiều hơn 98 ngày thì nên mua bóng đèn Led. Sử dụng ít hơn 98 ngày nên mua bóng đèn sợi đốt.
2.1.2.2. Chủ đề “Tỉ số lượn iác”
Trong chủ đề này có thể thấy nổi bật hơn cả là bài toán tính khoảng cách. Bài toán tính khoảng cách đã đƣợc giới thiệu đến học sinh từ rất sớm. Đầu tiên là ở tiểu học, học sinh đƣợc học đo chiều dài, chiều rộng của lớp học, từ đó tính đƣợc diện tích chu vi. Ngoài ra, ở cấp tiểu học học sinh còn đƣợc học đo chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật để tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích. Đến cấp trung học cơ sở, học sinh đƣợc học cách sử dụng tam giác bằng nhau để đo khoảng cách, sử dụng đƣờng trung bình và đặc biết nhất là sử dụng tam giác đồng dạng để tính khoảng cách. Do đề tài này tập trung vào chƣơng trình toán
góc, từ đó học sinh hình thành mô hình ƣớc lƣợng và tính toán vấn đề. Một điểm lƣu ý rằng hiện nay, con ngƣời có rất nhiều thiết bị hỗ trợ đo khoảng cách nhƣ thiết bị bằng laser hay sử dụng điện thoại thông minh vì vậy, với các bài toán thực tế thƣờng gắn với giả định không có các thiết bị hiện đại hỗ trợ.
Ví dụ 2. Đo khoảng cách
Trong lúc đi dạo gần một con sông, ngƣời đàn ông trông thấy một đảo nhỏ ở giữa dòng sông và ông ta muốn xác định khoảng cách từ đảo ấy đến một điểm trên bờ là bao nhiêu? Ngƣời đàn ông đã dùng chiếc la bàn của mình và đếm số bƣớc chân để tính đƣợc khoảng cách. Hỏi: Bằng cách nào ngƣời đàn ông có thể tính đƣợc khoảng cách muốn đo? Em hãy giải thích.
ình 2.1. Mô t khúc sông
1.Vấn đề
Học sinh biết cách sử dụng la bàn để tính góc và ƣớc lƣợng đƣợc số bƣớc chân để đo đƣợc khoảng cách. Chƣa dừng lại ở đó, học sinh cần phải kết hợp đƣợc góc và khoảng cách để giải thích đƣợc cách tính khoảng cách nhƣ thế nào.
2.Xây dựng mô hình
Học sinh có thể bắt đầu với vấn đề này từ bài toán sau.
ình 2.2. Mô t cách đo kho ng cách khúc sông
A
Chúng ta cần xác định các vị trí cố định trên đảo và trên bờ. Coi khoảng cách cần tính từ bờ đến đảo là khoảng cách AB. Ta tính đoạn AB biết đƣợc chiều dài đoạn BC bằng cách đếm số bƣớc chân. Mỗi bƣớc chân ta cần xác định chiều dài từ đến . Nhiệm vụ bây giờ là sử dụng la bàn để tính các góc ABC và ACB. Từ các dữ kiện trên ta có thể tính toán đƣợc AB.
Chuyển vấn đề thành bài toán nhƣ sau:
ình 2.3. Mô hình hóa cách đo khúc sôn sử dụng la bàn
Dùng la bàn xác định độ lớn của góc ABN hợp bởi đƣờng thẳng AB với phƣơng bắc (SN). Sau đó, ta đo độ dài đoạn BC và xác định độ lớn góc NBC giữa đoạn thẳng này với SN. Cuối cùng, ta cũng làm nhƣ vậy tại điểm C đối với đƣờng thẳng CA.
Giả sử thu đƣợc số liệu sau :
Phƣơng BA lệch với phƣơng SN về phía đông , Phƣơng BC lệch với phƣơng SN về phía đông Phƣơng CA lệch với phƣơng SN về phía đông .
Biết độ dài cạnh BC . Theo số liệu trên, tính khoảng cách BA? 3.Tính toán
Giả sử ta đã biết đƣợc số đo góc ABC và góc ACB và đoạn BC, bằng cách nào ta tính đƣợc độ dài đoạn AB? Đối với học sinh lớp 10, ta có thể sử dụng định lý hàm
sin. Đối với học sinh lớp 9, ta kẻ đƣờng cao BD. Từ đây ta có thể dễ dàng tính đƣợc số đo của BD. A B C N S N S
sinh mơ hồ trong việc giải thích nhƣng với việc phải giả định sẽ phát huy đƣợc tính sáng tạo của học sinh trong việc giải quyết vấn đề này. Tùy vào các giả định mà cho ta những đáp án khác nhau. Tuy nhiên, học sinh cần dựa vào toán học và tính toán để giải thích một cách hợp lí nhất.
5.Kiểm tra/ Phản hồi
Kiểm tra lại mô hình học sinh đã xây dựng và giải thích. Từ đó khái quát và liên hệ với những bài toán cơ bản nào đã học. Các cách giải bài toán nhƣ thế nào?
6.Giải quyết vấn đề
Ta giải quyết bài toán với các số đo nhƣ trên. Trong tam giác ABC, ta đã biết cạnh BC.
̂ ̂
Trong tam giác này, hạ đƣờng cao BD. Ta có :
Trong tam giác ABD, ta biết cạnh BD.
̂ ̂
Đến đây ta có thể sử dụng các công thức tỉ số lƣợng giác kết hợp với định lý Pythagoras để tính cạnh AB.
̂
Vậy khoảng cách đến đảo khoảng m.
2.1.2.3. Chủ đề “ àm số Parabol và đồ thị”
Chủ đề hàm số parabol và đồ thị là một chủ đề khó đối với học sinh cấp trung học cơ sở bởi lí do các chuyển động đƣợc nêu ra trong quá trình học chủ yếu là các đại lƣợng biến đổi đều hoặc tỉ lệ. Các vấn đề thực tiễn có liên quan đến hàm số parabol
A
B C
có sự thay đổi rõ ràng ở từng thời điểm. Ví dụ 3. Tên lửa
Cho đồ thị bên dƣới, quả tên lửa đƣợc bắn lên không trung với chiều cao là h (feet), thời gian t (giây). Độ cao di chuyển của quả tên lửa đƣợc cho bởi hàm số:
a) Quãng đƣờng tên lửa di chuyển trong khoảng thời gian từ giây 0 đến giây 1 là bao nhiêu ?
b) Quãng đƣờng tên lửa di chuyển trong khoảng thời gian từ giây 3 đến giây 4 là bao nhiêu ?
c) Theo em, từ giây 0 đến 1 hay giây 3 đến giây 4, khoảng thời gian nào tên lửa bay nhanh hơn? Em hãy giải thích.
Đồ thị 2.2. Qu tên lửa bắn lên không trung phụ thuộc vào chiều cao và thời gian
1.Vấn đề
Học sinh cần đọc đƣợc các giá trị trên đồ thị, hiểu đƣợc hình ảnh hàm số đề bài cho và tính toán đƣợc độ cao từng thời điểm của tên lửa. Từ đó, học sinh có thể nhận thấy rằng tốc độ của tên lửa nhanh chậm khác nhau không chuyển động đều nhƣ các
Học sinh nhận định đƣợc đại lƣợng thời gian và độ cao phụ thuộc vào nhau theo hàm số bậc hai là và hiểu đƣợc hình ảnh của đồ thị hàm số đó theo hình dạng một parabol. Từ dữ liệu bài toán, học sinh khai thác hai yếu tố nhƣ sau 2 giây độ cao của tên lửa là 190ft, sau 5 giây tên lửa đạt đỉnh là 250ft, sau 6 giây độ cao của tên lửa là 240ft. Đây chính là tọa độ . Bài toán hỏi khoảng thời gian nào bay nhanh hơn có nghĩa ta đi tìm vận tốc của tên lửa tại thời điểm đó.
3.Tính toán
Từ đây, học sinh tính toán đƣợc độ cao từng thời điểm bất kì của tên lửa hoặc dựa vào đồ thị xác định tƣơng đối đƣợc độ cao của tên lửa ở từng thời điểm. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras.
4.Giải thích
Do hàm số là một đƣờng cong nên việc tính quãng đƣờng đi đƣợc chỉ mang tính chất tƣơng đối. Với từng thời điểm ta có thể coi quãng đƣờng bay đƣợc của tên lửa là một đƣờng thẳng. Do đó, ta có thể tính toán đƣợc vận tốc ở từng thời điểm của tên lửa.
5.Kiểm tra/ Phản hồi
Học sinh kiểm tra đƣợc ý kiến của mình thông qua tính toán. Lựa chọn đƣợc đáp án đúng khi tên lửa càng gần điểm cao nhất thì tốc độ càng giảm, có thể giải thích theo vật lý là tên lửa mất năng lƣợng và chịu lực hút của trái đất.
Học sinh có thể thực địa mô hình theo các giả định khác nhau, có thể nhìn vào hàm số để giải thích từ đó tiếp tục có dữ liệu liên hệ với vật lý.
6.Giải quyết vấn đề
Quan sát đồ thị và sử dụng công thức đã cho, ta có: Độ cao sau 1 giây là . Độ cao sau 3 giây là . Độ cao sau 4 giây là .
Coi quãng đƣờng di chuyển của tên lửa từ 0 đến 1 giây và 3 đến 4 giây là đƣờng thẳng.
Quãng đƣờng từ 3 đến 4 giây là .
Nhƣ vậy, vận tốc di chuyển của tên lửa từ giây 0 đến giây 1 giây bay nhanh hơn từ giây 3 đến giây 4.
2.1.2.4. Chủ đề “ ình trụ, hình nón, hình cầu”
Hình khối nói chung đƣợc trình bày trong chƣơng trình phổ thông từ bậc tiểu học lên đến bậc trung học cơ sở xuất phát từ các hình đơn giản nhƣ hình lập phƣơng, hình hộp chữ nhật sau đó là hình lăng trụ, hình trụ, hình nón và hình cầu. Trong chƣơng trình lớp 9, học sinh tập trung vào việc nghiên cứu các khối hình trụ, hình nón, hình cầu với mục tiêu xác định đƣợc hình dạng, kích thƣớc và các chỉ số liên quan.
Ví dụ 4. Mua bình hoa
Bạn Lan muốn chọn một bình hoa chứa đƣợc nhiều nƣớc nhất. Trong cuốn catalog có ba mẫu bình hoa ấn tƣợng. Lan muốn chọn một trong ba bình sao cho đựng đƣợc nhiều nƣớc nhất. Bình đầu tiên là hình trụ có đƣờng kính đáy là 10cm và chiều cao 40cm. Bình thứ hai là hình nón có đƣờng kính đáy là 16cm và chiều cao là 45cm. Bình thứ ba là hình cầu có đƣờng kính là 18cm. Lan nên chọn bình nào?
ình 2.4. Hình ba lọ hoa
B n 2.2. Thông tin về ba lọ hoa
Lọ hoa Tokyo Lọ hoa Paris Lọ hoa Tucan
Hãy đặt lọ hoa tuyệt vời này trong căn phòng đầy nắng
Hãy cắm hoa theo cách của bạn
Hãy đặt những bông hoa đối xứng nhất bên cạnh tôi.
1.Vấn đề
Học sinh cần lựa chọn đƣợc một trong ba bình theo yêu cầu đựng đƣợc nhiều dung tích nhất. So sánh thể tích của ba lọ hoa là điều đầu tiên cần phải làm và từ đó có thể thấy đƣợc mối quan hệ giữa các đại lƣợng tính thể tích.
2.Xây dựng mô hình
Học sinh cần nhận ra công thức tính ba hình khối: hình trụ, hình nón và hình cầu là thể tích hình trụ: , thể tích hình nón: , thể tích hình cầu: . Tiếp theo thay thế tƣơng ứng các chỉ số ở các lọ hoa vào công thức để tính toán và so sánh.
3.Tính toán
Học sinh áp dụng công thức với tính thể tích khi nhìn trong quyển catalog xác định đƣợc đâu là bán kính, đâu là chiều cao.
Từ đó so sánh đƣợc kết quả. 4.Giải thích
Mục tiêu của Lan là chọn bình hoa có thể tích lớn nhất nên việc so sánh thể tích là quan trọng nhất, nhƣng việc học sinh có thể thuyết phục đƣợc Lan mua một lọ khác mà không phải lọ lớn nhất cũng cần phải xem xét.
5.Kiểm tra/ Phản hồi
Việc tính toán và xác định đúng công thức, đúng chỉ số khi thay vào công thức là điều cần cẩn thận. Học sinh thận trọng khi đọc chỉ số, thay số và tính toán.
Lựa chọn theo hƣớng thẩm mĩ vẫn có thể đƣợc đánh giá cùng lúc với lựa chọn lọ nào có thể tích lớn nhất. 6.Giải quyết vấn đề Ta cần xác định các bán kính của các lọ vì thực tế chỉ số đều là đƣờng kính, ta có đƣợc thể tích của các hình nhƣ sau : Thể tích hình trụ : Thể tích hình nón :
Thể tích hình cầu :
Lọ hoa Tokyo Lọ hoa Paris Lọ hoa Tucan
Hình trụ Hình nón Hình cầu
10cmx40cm 16x45cm 18x18cm
1 000
Ta thấy thể thích lọ hoa hình trụ có thể tích lớn nhất, nhỏ nhất là hình nón và hơn kém nhau .
2.1.2.5. Chủ đề “Thống kê”
Đây là một chủ đề không mới trong chƣơng trình giáo dục phổ thông nhƣng lại là mới nếu thống kê đƣợc học ở lớp 9 cuối cấp trung học cơ sở. Bởi vì học sinh đã có thể liên hệ đƣợc rất nhiều kiến thức và tƣ duy phân tích để đƣa ra đƣợc đánh giá và nhận định của bản thân về các vấn đề. Ở nội dung này, luận văn sẽ đi sâu vào phần thống kê liên quan đến đƣờng xu hƣớng Parabol mà không đề cập đến ví dụ đƣờng xu hƣớng là hàm bậc nhất bởi lý do có thể giúp học sinh có cái nhìn khác về thống kê. Ngoài ra, giáo viên có thể giới thiệu đƣờng xu hƣớng của đại dịch Sars-Covid 2. Ví dụ 5. Đƣờng xu hƣớng Parabol.
Thái Thụy là một khu vực thuộc tỉnh Thái Bình. Cho bảng dữ liệu nông nghiệp về sử dụng phân bón và năng suất cây trồng ở Thái Thụy. Phân bón đƣợc đo bằng 100 000 tấn. Năng suất cây trồng đo bằng 10 kg mỗi ha.Trong suốt những năm thu thập số liệu này, lƣợng đất canh tác không thay đổi. Hãy đƣa ra lời khuyên cho chính quyền Thái Thụy về việc sử dụng phân bón và giải thích.