Tình huống gợi vấn đề và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập

10. Cấu trúc đề tài

2.2.1. Tình huống gợi vấn đề và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập

đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.

2.2.1.1. Hoạt động dạy học bài tập lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước.

Mục tiêu của hoạt động:

- Học sinh tự hình thành một thuật giải lập PTTQ của đƣờng thẳng khi biết một điểm thuộc đƣờng thẳng và song song với một đƣờng thẳng cho trƣớc.

- Học sinh thành thạo trong việc xác định VTPT của đƣờng thẳng.

- Áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng tự: “Lập PTTQ đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng

cho trước”.

- Học sinh mở rộng đƣợc thuật giải cho dạng bài tƣơng tự trong không gian khi học lên lớp 12.

Triển khai hoạt động dạy học: Giáo viên giúp học sinh phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện nhiệm vụ học tập sau.

Bài toán 2.1.Trong hệ trục Oxy, cho M1;2 và đƣờng thẳng

: 2 3 1 0

d x y  . Lập PTTQ của đƣờng thẳng  đi qua điểm M và song song với d .

Bài toán có thể trở thành một tình huống gợi vấn đề vì nó thoả mãn các điều kiện sau:

- Bài toán trên bao gồm trong nó một vấn đề viết phƣơng trình đƣờng thẳng  đi qua điểm một điểm và song song với một đƣờng thẳng mà học sinh chƣa có một quy tắc mang tính thuật giải để giải bài toán trên.

- Tuy chƣa có ngay lời giải nhƣng học sinh đƣợc học các kiến thức có liên quan đến phƣơng trình đƣờng thẳng nên nó gợi nhu cầu nhận thức của học sinh và gây đƣợc niềm tin có khả năng giải quyết vấn đề.

- Trên cơ sở đó, hƣớng dẫn học sinh giải theo 4 bƣớc của Polya.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Yêu cầu học sinh nêu giả thiết, kết luận của bài toán.

Học sinh sẽ trả lời đƣợc bài toán cho điểm M1;2 và đƣờng thẳng

: 2 3 1 0

d x y  , kết luận của bài toán lập PTTQ của đƣờng thẳng  đi qua điểm M và song song với đƣờng thẳng .

Giáo viên có thể hỏi học sinh các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng đã học. Với giả thiết của bài toán này, ta nen dùng phƣơng trỉnh ở dạng nào?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để xây dựng chƣơng trình giải đầu tiên giáo viên yêu cầu học sinh nêu dạng của phƣơng trình đƣờng thẳng khi  song song với đƣờng thẳng d.

Khi đã nhận ra  song song với đƣờng thẳng d mà đã biết PTTQ của d

Nhƣ vậy, công việc còn lại học sinh tìm c. Muốn tìm c, học sinh sẽ dùng giả thiết  đi qua điểm M1;2 nên thay tọa độ điểm M vào phƣơng trình đƣờng thẳng  ta tìm đƣợc c.

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Yêu cầu học sinh trình bày lời giải sau khi đã xây dựng chƣơng trình giải ở bƣớc trên. Với quy trình đã xây dựng cùng hƣớng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ giải quyết đƣợc bài toán này qua các hoạt động sau:

- Do đƣờng thẳng  song song với đƣờng thẳng d: 2x3y 1 0 nên đƣờng thẳng  có PTTQ là: 2x3y c 0 (c 1)

- Vì  đi qua điểm M1;2 nên M        2 6 c 0 c 4 - Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng cần lập: 2x3y 4 0

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Sau khi học sinh lập đƣợc PTTQ của , giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra xem và dcó song song với nhau không.

Học sinh sẽ dựa vào VTPT n và VTPT nd và nhận thấy hai VTPT này trùng nhau.

Giáo viên kiểm tra lại lời giải và cho các nhóm giải theo nhiều cách khác nhau đồng thời lập bài toán tổng quát cho bài toán trên.

Các nhóm nhận nhiệm vụ mới, lập bài toán tổng quát “Lập PTTQ của đƣờng thẳng  đi qua điểm M x y 0; 0 và song song với đƣờng thẳng

: 0

d AxBy C ” . Sau đó học sinh sẽ lập cách giải cho bài toán tổng quát nhƣ sau:

- Vì / /d nên chọn VTPT nd làm VTPT n, khi đó  có dạng

0

AxByD (DC)

  0 0 0 0 . . 0 . . A x B y D D A x B y         - Vậy PTTQ đƣờng thẳng :AxByA x. 0 B y. 00

Cuối cùng, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu và nêu cách giải bài toán tƣơng tự đƣợc suy ra sau khi sử dụng thành thạo thuật giải khi thay tính song song bởi tính vuông góc.

Với gợi ý đó, học sinh sẽ nêu đƣợc bài toán tƣơng tự: “Lập PTTQ của đƣờng thẳng  đi qua điểm M x y 0; 0 và vuông góc với đƣờng thẳng

: 0

d AxBy C ” sau đó nêu cách làm

-Vì  d nên ta chọn VTPT nd làm VTCP u

nd ( , )A B n  ( B A, ), khi đó  có dạng Bx AyD0. - Hơn nữa,  đi qua điểm M x y 0; 0

0 0 0 0

. . 0 . .

B x A y D D B x A y

       

- Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng  : Bx AyB x. 0  A y. 00

2.2.1.2. Hoạt động dạy học bài tập lập PTTS của đường thẳng chứa một đường cao trong tam giác.

Mục tiêu của hoạt động:

- Học sinh tự hình thành một thuật giải lập PTTS của đƣờng thẳng chứa một đƣờng cao trong tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác.

- Học sinh thành thạo trong việc xác định VTPT, VTCP của đƣờng thẳng.

- Học sinh áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết bài toán tƣơng tự: “Lập PTTQ, PTTS đƣờng thẳng chứa một đƣờng trung tuyến, đƣờng trung bình, đƣờng trung trực”.

- Mở rộng đƣợc thuật giải cho dạng bài tƣơng tự trong không gian khi học lên lớp 12.

Triển khai hoạt động dạy học: Giáo viên giúp học sinh phát hiện, thâm

nhập vấn đề thông qua việc thực hiện nhiệm vụ học tập sau.

Bài toán 2.2.Cho tam giác ABC, biết A  1;2 ,B 3;1 ,  C 5;3 . Lập PTTS của đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH của tam giác.

Bài toán có thể trở thành một tình huống gợi vấn đề vì nó thoả mãn các điều kiện sau:

- Một vấn đề bao gồm trong bài toán trên đó là viết phƣơng trình đƣờng thẳng chứa đƣờng trung tuyến của tam giác mà học sinh chƣa có một quy tắc mang tính thuật giải để giải bài toán trên.

- Học sinh đã đƣợc học cách lập phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP hoặc một VTPT của nó nên mặc dù học sinh chƣa có ngay lời giải nhƣng nó gợi nhu cầu nhận thức và gây đƣợc niềm tin có khả năng giải quyết vấn đề.

- Trên cơ sở đó, hƣớng dẫn học sinh giải theo 4 bƣớc của Polya.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Giáo viên yêu cầu học sinh nêu giả thiết, kết luận của bài toán.

Học sinh sẽ trả lời đƣợc giả thiết cho ba điểmA  1;2 ,B 3;1 ,  C 5;3 là ba đỉnh của tam giác, yêu cầu lập PTTS của đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH của tam giác.

Để lập đƣợc PTTS, yêu cầu học sinh nhắc lại dạng PTTS của đƣờng thẳng.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để trực quan, giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình trƣớc khi xây dựng chƣơng trình giải.

Để viết đƣợc phƣơng trình đƣờng cao AH, giáo viên yêu cầu học sinh

xác định các yếu tố liên quan nhƣ điểm thuộc đƣờng thẳng và VTCP , VTPT của đƣờng thẳng.

Quan sát hình vẽ, giáo viên hƣớng cho học sinh nhận thấy rằng yếu tố điểm cần quan tâm của đƣờng thẳng AH chính là điểm A, vì đây là điểm mà đƣờng cao AH đi qua. Vấn đề còn lại, học sinh chỉ cần xác định đƣợc một

VTPT, hoặc VTCP của đƣờng cao. Cũng dựa vào hình vẽ, sẽ nhận thấy rằng

AH vuông góc với BC nên nAH BC, việc tìm tọa độ của véc tơ BC lúc này trở nên đơn giản với học sinh.

Cuối cùng, học sinh chỉ cần viết PTTQ của đƣờng cao AH khi đã biết

điểm A và tọa độ VTPT là véc tơ BC Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Yêu cầu học sinh trình bày lời giải sau khi đã xây dựng chƣơng trình giải ở bƣớc trên. Với quy trình đã xây dựng cùng hƣớng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ giải quyết đƣợc bài toán này qua các hoạt động sau:

- Viết phƣơng trình đƣờng cao AH, đi qua A(1;2) và có một VTPT là

 8;2

BC hoặc nAH 4BC 2;1 uAH  1; 2

- Đƣợc PTTS của đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH là: 1

2 2 x t y t       

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Sau khi học sinh giải xong ở bƣớc 3, giáo viên kiểm tra lại lời giải và cho các nhóm giải theo nhiều cách khác nhau đồng thời lập bài toán tổng quát cho bài toán trên.

Các nhóm nhận nhiệm vụ mới, lập bài toán tổng quát : “Cho tam giác ABC, biết A x y A; A ,B x yB; B ,C xC;yC. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng chứa các đƣờng cao của tam giác”. Sau đó lập cách giải cho bài toán tổng quát:

- Cách 1: Viết PTTQ của đƣờng thẳng BC. Đƣờng thẳng AH vuông góc

với đƣờng thẳng BC.

- Cách 2: Đƣờng cao AH có một VTPT là BCxC x yB; C yB.Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH đi qua điểm A và nhận BC

làm VTPT.

Cuối cùng, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu và nêu cách giải một số bài toán tƣơng tự đƣợc suy ra sau khi sử dụng thành thạo thuật giải với gợi ý ngoài đƣờng cao thì trong tam giác còn có các đƣờng nào đặc biêt?

Với gợi ý đó, học sinh sẽ nêu đƣợc bài toán tƣơng tự:“Lập PTTQ, PTTS đƣờng thẳng chứa một đƣờng trung tuyến, đƣờng trung bình, đƣờng trung trực”, sau đó nêu cách làm.

2.2.1.3. Hoạt động dạy học bài tập viết phương trình đường phân giác trong của một góc trong tam giác.

Mục tiêu của hoạt động:

- Học sinh tự hình thành một thuật giải lập PTTS (hoặc PTTQ) đƣờng phân giác trong của một góc trong tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác.

- Học sinh thành thạo trong việc xác định VTPT, VTCP của đƣờng thẳng. - Học sinh áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng tự: “Lập phƣơng trình đƣờng phân giác các góc trong của tam giác”.

- Mở rộng đƣợc thuật giải cho dạng bài tƣơng tự trong không gian khi học lên lớp 12.

Triển khai hoạt động dạy học: Giáo viên giúp học sinh phát hiện, thâm

nhập vấn đề thông qua việc thực hiện nhiệm vụ học tập sau.

Bài toán 2.3.Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có tạo độ

 2;1 ,   2;3 , 1; 5

A  B C  .Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của góc A. Bài toán có thể trở thành một tình huống gợi vấn đề vì nó thỏa mãn các điều kiện sau:

- Một vấn đề xuất hiện trong bài toán trên là viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác mà học sinh chƣa có một quy tắc mang tính thuật giải để giải bài toán.

- Học sinh đã đƣợc học cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng và những kiến thức về tọa độ nên cho dù bƣớc đầu sẽ gặp khó khăn khi chƣa có ngay lời giải nhƣng nó gợi nhu cầu nhận thức và gây đƣợc niềm tin có khả năng giải quyết vấn đề dựa vào những kiến thức quen thuộc và kĩ năng vốn có của học sinh.

- Hƣớng dẫn học sinh giải theo 4 bƣớc của Polya.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Yêu cầu học sinh nêu giả thiết, kết luận của bài toán.

Học sinh sẽ trả lời đƣợc giả thiết cho tam giác ABC có

 2;1 ,   2;3 , 1; 5

A  B C  và kết luận là viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của góc A.

Với yêu cầu trên, chúng ta cần sử dụng những kiến thức liên quan nào? Cho biết tọa độ ba đỉnh, ta sẽ tìm đƣợc yếu tố nào có liên quan đến đƣờng phân giác? Tính chất đƣờng phân giác của góc trong một tam giác là gì?...Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để kích thích suy nghĩ tìm tòi của học sinh.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Trƣớc khi xây dựng chƣơng trình giải, giáo viên gợi mở cho học sinh một số vấn đề để phân tích bài toán. Giả sử gọi D là chân đƣờng phân giác

góc A trên cạnh đối diện BC. Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của

một góc A tức là ta viết phƣơng trình đƣờng thẳng AD. Để viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng AD, ta tìm tọa độ các điểm A , D. Tìm tọa độ điểm D, theo định lí về tính chất tia phân giác ta có điều gì?

Rất có thể học sinh sẽ không nhớ đƣợc tính chất này, khi đó giáo viên nhắc lại cho học sinh rằng: theo tính chất tia phân giác ta có DB AB

vậy, D là điểm chia trong đoạn BC theo tỉ số AB

AC .

Đến đây, giáo viên hoàn toàn có thể hỏi học sinh công thức tính tọa độ điểm D. Học sinh sẽ rút ra đƣợc công thức ;

1 1 B C B C D D x kx y ky x y k k      

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Yêu cầu học sinh trình bày lời giải sau khi đã xây dựng chƣơng trình giải ở bƣớc trên. Với quy trình đã xây dựng cùng hƣớng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ giải quyết đƣợc bài toán này qua các hoạt động sau:

- Bƣớc đầu, học sinh sẽ gọi D là chân đƣờng phân giác góc A trên cạnh đối diện BC thì D là điểm chia trong của đoạn thẳng BC theo tỉ số AB

AC . Từ các tọa độ của A, B, C học sinh tìm đƣợc 2 5; 3 5; 2 3 AB AB AC AC   

- Sau đó sử dụng tính chất vì D là điểm chia BC theo tỉ số 2 3 k  8 2 2 5 1 3 3 5 D D x DB DB DC DC y               . Vậy 8; 1 5 5 D      

- Bƣớc cuối cùng, để viết đƣợc đƣờng phân giác AD, sẽ cho đƣờng thẳng đi qua điểm A2;1 và nhận AD3; 1  làm VTPT, phƣơng trình sau khi viết sẽ có dạng: 3x  y 7 0

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Sau khi học sinh giải ở bƣớc 3, giáo viên kiểm tra lại lời giải và cho các nhóm giải theo nhiều cách khác nhau đồng thời lập bài toán tổng quát cho bài toán trên.

Các nhóm nhận nhiệm vụ mới, lập bài toán tổng quát :“Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của một góc trong tam giác”. Sau đó lập cách giải

cho bài toán tổng quát

- Gọi D là chân đƣờng phân giác góc A trên cạnh đối diện BC thì D là

điểm chia trong của đoạn thẳng BC theo tỉ số AB

AC . - Tính độ dài AB, AC và tính tỉ số k AB AC  - Tìm D thỏa mãn ; 1 1 B C B C D D x kx y ky x y k k       .

- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AD.

Tiếp theo, các nhóm sẽ hoạt động, suy nghĩ để tìm ra cách giải khác. Giáo viên có thể gợi mở cho học sinh ap dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng để tìm ra phƣơng trình đƣờng phân giác.

Để làm theo cách này cần:

- Viết phƣơng trình hai đƣờng phân giác của các góc tạo bởi hai đƣờng thẳng AB, AC.

- Thế các tọa độ của B, C vào trong các phƣơng trình của các đƣờng

phân giác nói trên.

- Phân giác trong có phƣơng trình mà khi thế các tọa độ của B, C vào ta