Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kĩ năng cơ bản về Tổ hợp xác suất

9. Bố cục luận văn

2.2.1. Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kĩ năng cơ bản về Tổ hợp xác suất

2.2.1. Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kĩ năng cơ bản về Tổ hợp xác suất cho học sinh cho học sinh

2.2.1.1. Cơ sở xây dựng biện pháp

Cở sở 1: Để làm đƣợc các bài tập về “Tổ hợp – Xác suất” thì điều quan trọng đầu tiên là học sinh là cần phải nắm đƣợc các khái niệm, quy tắc, công thức, định lý. Do đó để góp phần giúp cho học sinh rèn luyện,phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, ngƣời giáo viên cần giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tổ hợp – Xác suất”.

Cơ sở 2: Trong việc rèn luyện ngôn ngữ Toán học cho học sinh cần chú trọng cả hai phƣơng diện ngữ nghĩa và cú pháp nhằm giúp ngƣời học nắm vững tri thức Toán học, góp phần vào việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác.

Cơ sở 3: Hƣớng dẫn học sinh “Toán học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy rằng: nhiều học sinh (ngay cả một số giáo viên) cũng làm tắt bỏ qua công đoạn này, khi giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho học sinh cái biểu diễn và cái đƣợc biểu diễn, cái kí hiệu và cái đƣợc kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để góp phần bồi dƣỡng năng lực Toán học hóa các tình huống thực tiễn.

Cơ sở 4: Trong dạy học xác suất phải làm cho học sinh thấy đƣợc mối liên hệ của nó với thống kê.

2.2.1.2. Nội dung và thực hiện biện pháp

- Trong khi dạy từng tiết, mỗi bài học giáo viên cần có một phần củng cố kiến thức cốt lõi trong bài học, để học sinh có thể nắm vững nội dung kiến thức mới học. Đặc biệt, giáo viên cần hệ thống hóa kiến thức mà học sinh cần có trong mỗi chƣơng thông qua bài học và chƣơng ôn tập. Thực hành này là cần thiết đặc biệt là với giảng dạy định hƣớng năng lực. Vì kiến thức cơ bản, sinh viên có thể khám phá các vấn đề để giải quyết và giải quyết chúng một cách chính xác và nhanh chóng.

- Giáo viên giúp cho học sinh nắm vững các định nghĩa, định lý, tính chất và công thức. Ngoài ra giáo viên cần làm cho học sinh không còn bối rối, không biết khi nào nên sử dụng tổ hợp, khi nào nên sử dụng chỉnh hợp; làm cho học sinh không còn nhầm lẫn giữa các quy tắc cộng và nhân, ... Đặc biệt, khi học sinh đọc vấn đề có thể nghĩ ra giải pháp vì số lƣợng học sinh đọc bài toán "Tổ hợp - Xác suất" thƣờng lƣời biếng để suy nghĩ về cách giải quyết, nhƣng khi nói đến giải pháp thì thật dễ hiểu.

* Các kiến thức cơ bản trong chương “Tổ hợp – Xác suất” mà học sinh cần nắm:

Hai quy tắc đếm cơ bản:

Quy tắc cộng: Một công việc đƣợc hoàn thành bởi một trong hai hành

động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc nhân: Một công việc đƣợc hình thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có

n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Hoán vị:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị: Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử

 1 .  2 ...2.1 !

n

P n n n n (n! đọc là n giai thừa) Chỉnh hợp:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một

thứ tự nào đó đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n)      ! . 1 ... 1 ! k n n A n n n k n k       Tổ hợp:

Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Số các tổ hợp: Kí hiệu k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n)   ! ! ! k n C k n n k   Tính chất của các số k n C 0  k n k n n C C   k n , 1   1 1 1 k k k n n n C C C  k n Nhị thức Newton:   0 1 1 0 ... ... n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a  b C b C a  b         

Biến cố và xác suất của biến cố:

Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện, n(A) là số các kết quả thuận lợi của biến cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Kí hiệu

  n A   P A n   Tính chất của xác suất: Định lí: a) P  0, P  1

b) 0P A 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì ta có công thức cộng xác suất

     

P AB P A P B

Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có P A  1 P A 

Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất: A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B . P A P B .  

- Bên cạnh các yếu tố khách quan trên, bản thân học sinh là nhân tố chủ quan đóng vai trò quyết định trong sự thành công trong việc nắm vững kiến thức của mỗi học sinh. Học sinh phải có tinh thần học tập tích cực, tự giác, tự học kiến thức dƣới sự hƣớng dẫn của giáo viên.

- Hƣớng dẫn cho học sinh dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em khi dùng ngôn ngữ của mình có thể diễn tả “biến cố ngẫu nhiên” sai về mặt cú pháp.

Ví dụ 2.1: Để giúp học sinh phân biệt cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, giáo viên có thể cho học sinh giải ví dụ sau:

Trong một lớp học có 17 nam và 18 nữ. Cô giáo cần chọn học sinh để trực nhật. Vậy có bao nhiêu cách để chọn:

a) Một học sinh trực nhật (học sinh nào cũng có thể làm đƣợc). b) Hai học sinh trực nhật trong đó có một nam và một nữ.

Hƣớng dẫn học sinh:

quy tắc cộng hay quy tắc nhân trong ví dụ này, ta cần xác định xem việc chọn ra học sinh trực nhật là một công việc đƣợc hoàn thành theo các công đoạn hay các phƣơng án?

Học sinh cần chỉ ra: đây là công việc đƣợc thực hiện theo phƣơng án. Giáo viên: Có bao nhiêu phƣơng án để thực hiện công việc trên?

Học sinh cần chỉ ra: đây là công việc đƣợc thực hiện theo 2 phƣơng án. Giáo viên: Hãy chỉ ra từng phƣơng án?

Học sinh cần chỉ ra:

+ Phƣơng án thứ nhất là chọn ra một học sinh nam trong số17 học sinh nam của lớp.

+ Phƣơng án thứ hai là chọn ra một học sinh nữ trong số 18 học sinh nữ của lớp.

Học sinh cần chỉ ra: Ta sẽ dùng quy tắc cộng khi công việc hoàn thành theo các phƣơng án.

Theo quy tắc cộng ta có 17 + 18 = 35 cách chọn.

b) Giáo viên: Dựa vào kiến thức đã học em hãy cho biết việc chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trực nhật là công việc đƣợc thực hiện theo các phƣơng án hay theo các công đoạn?

Học sinh cần chỉ ra: đây là công việc đƣợc thực hiện theo công đoạn. Giáo viên: Công việc trên đƣợc thực hiện qua mấy công đoạn, đó là những công đoạn nào?

Học sinh: Hai công đoạn:

+ Công đoạn thứ nhất: chọn một học sinh nam từ 17 học sinh nam của lớp. + Công đoạn thứ hai: sau khi đã chọn đƣợc một học sinh nam thì tiếp theo ta phải chọn một học sinh nữ từ 18 học sinh nữ của lớp.

Giáo viên: Hãy áp dụng vào bài

Học sinh: Theo quy tắc nhân ta có 17.18 = 306 cách.

Anh, 3 học sinh chỉ biết tiếng Trung Quốc và 2 học sinh chỉ biết tiếng Nhật. Cần lập ra một nhóm đi thực tế gồm 6 học sinh, trong đó có 3 học sinh biết tiếng Anh, 2 học sinh biết tiếng Trung Quốc và 1 học sinh biết tiếng Nhật. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm đi thực tế từ tổ học sinh trên?

Hƣớng dẫn học sinh:

Số cách chọn 3 học sinh biết tiếng Anh là một tổ hợp chập 3 của 5 bạn, ta có: 3

5 10

C  cách

Số cách chọn 2 học sinh biết tiếng Trung Quốc là số các tổ hợp chập 2 của 3 bạn, ta có: 2

3 3

C  cách

Số cách chọn 1 học sinh biết tiếng Nhật là số các tổ hợp chập 1 của 2 bạn, ta có: 1

2 2

C  cách

Theo quy tắc nhân ta có số cách lập một nhóm đi thực tế là 10.3.2 = 60 cách.

Nhƣ vậy, để giải đƣợc bài toán trên học sinh cần phải nắm đƣợc : + Công thức của tổ hợp.

+ Quy tắc nhân.

Ví dụ 2.3: Để giúp học sinh phân biệt khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp, giáo viên có thể cho học sinh làm ví dụ sau:

Trong một nhà tù có 10 tù nhân đƣợc mặc áo đánh số từ 1 đến 10. Hỏi quản giáo có bao nhiêu cách chọn ra 1 tổ gồm:

a) 4 tù nhân bất kì để đi lao động;

b) 4 tù nhân xếp thành một hàng có thứ tự để đi lao động.

Hƣớng dẫn học sinh:

a) Chọn ra 4 tù nhân bất kì trong số 10 tù nhân là một tổ hợp chập 4 của 10, ta có: 4

10 210

C  cách.

b) Chọn ra 4 tù nhân xếp thành một hàng có thứ tự trong 10 tù nhân là một chỉnh hợp chập 4 của 10, ta có: 4

10 5040

Ví dụ 2.4: học sinh diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể không đúng về mặt cú pháp. Chẳng hạn

Chọn ngẫu nhiên một số có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Ở đây lẽ ra phải đặt biến cố A: “Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số

khác nhau” để tính xác suất của biến cố này thì không ít học sinh lại đặt A:

“Xác suất viết ra đƣợc số có 5 chữ số khác nhau bằng bao nhiêu?”

Ví dụ 2.5: Một ngƣời bỏ ngẫu nhiên 5 lá thƣ vào 5 chiếc phong bì đã ghi rõ địa chỉ. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ thƣ nhƣ vậy?

Trong ví dụ này cần chỉ rõ cho học sinh thấy đƣợc nếu ta cố định 5 bì thƣ thì việc bỏ 5 lá thƣ vào 5 bì thƣ là một hoán vị của 5 bức thƣ đó.

Không chỉ đƣa ra các ví dụ về các tình huống trong cuộc sống minh họa cho những suy luận của ngôn ngữ tự nhiên không hợp lôgíc mà còn tận dụng một số cơ hội trong dạy học để yêu cầu học sinh giải thích những vấn đề có liên quan đến các lập luận đó.

Ví dụ 2.6: Hai bạn Nam và Sa cùng chơi một trò chơi nhƣ sau: Gieo hai đồng xu nguyên chất, cân đối trên mặt phẳng nằm ngang. Quy ƣớc nếu hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa thì Nam thắng, nếu hai đồng xu xuất hiện mặt sấp thì Sa thắng. Tính xác suất thắng cuộc của mỗi bạn.

Có học sinh đã giải bài toán nhƣ sau:

Đặt N1: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa”; N2: “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa”. Ta có:

 1 2  1  2 1 1 1 2 2 4 N N N P N P P     1 2    1 2 1 1 1 2 2 4 N N N N P  P P    (Do N1,N2 độc lập, N1,N2 độc lập,  1  1 1 2 N N P P  ).

Vì vậy xác suất thắng cuộc của mỗi ngƣời là 1

4

Giáo viên nên cho học sinh kiểm tra lại lời giải và đặt vấn đề: Trong lời giải không có các biến cố A: “Nam thắng cuộc” và B: “Sa thắng cuộc” làm sao có thể kết luận nhƣ vậy? Mục đích của câu hỏi này buộc học sinh phải vận dụng những suy luận không lôgíc trong ngôn ngữ tự nhiên để giải thích: Các cặp biến cố N1N2 và A, N1N2 và B cùng mô tả một sự kiện (các biến cố tƣơng thích với nhau).

- Giáo viên cần phân biệt cho học sinh cái biểu diễn và cái đƣợc biểu diễn, cái kí hiệu và cái đƣợc kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để góp phần bồi dƣỡng năng lực Toán học hóa các tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho học sinh xét bài toán sau:

Ví dụ 2.7: Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác suất để: a. Gieo đƣợc mặt có số chấm là số nguyên tố.

b. Gieo đƣợc mặt có số chấm lớn hơn 2.

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh lập bảng sau đây để hƣớng dẫn các em thực hiện các hoạt động:

Cái đƣợc biểu diễn (cái đƣợc kí hiệu) Cái biểu diễn (kí hiệu) Phép thử: Gieo con súc sắc  1, 2, 3, 4, 5, 6

A: “Gieo đƣợc mặt có số chấm là số nguyên tố” A2, 3, 5

Khả năng xảy ra biến cố A là 1

2   1

2

P A 

B: “Gieo đƣợc mặt có số chấm lớn hơn 2” B3, 4,5, 6

Khả năng xảy ra biến cố B là 2

3   2

3

B

P 

Phân biệt cái đƣợc biểu diễn, cái đƣợc kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp cho học sinh thấy đƣợc sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ Toán học. Thông qua đó, học sinh cũng thấy đƣợc rằng: mô hình

toán của phép thử thứ tự là các tập hợp mô tả các biến cố A, B. Trong thực

tiễn dạy học, do không tách bạch rõ ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái đƣợc kí hiệu cái đƣợc biểu diễn nên nhiều em dễ mắc sai lầm.

- Giải thích cho học sinh khái niệm xác suất là mô hình toán để lƣợng hóa khả năng xảy ra các biến cố ngẫu nhiên. Trong một số ngữ cảnh nhất định, con số đó, đồng nghĩa với “tỉ lệ” hay “khả năng”. Làm nhƣ vậy, học sinh sẽ thấy đƣợc khái niệm này “gần gũi” với cuộc sống hơn và dễ áp dụng đƣợc vào trong cuộc sống.

- Cần chú ý rằng, các bài toán về xác suất trong chƣơng trình GDPT có liên quan đến các kiến thức về tổ hợp và chỉnh hợp. Các kiến thức này đƣợc xây dựng trên nền tảng tập hợp nên có tính phổ dụng rất lớn. Bởi vậy, khi hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán dạng này, cần yêu cầu học sinh phát biểu các bài toán cùng dạng trong những ngữ cảnh khác nhau, góp phần đƣa Toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống thực tiễn.

- Khi đƣa ra những giả thiết về những con số xác suất, phải giải thích cho học sinh nguồn gốc của những con số này. Chẳng hạn, quan sát xạ thủ A bắn đạt thật nhiều đợt, ngƣời ta nhận thấy tần suất bắn trúng tâm dao động xung quanh 0,8; ngƣời ta kết luận “Xác suất bắn trúng tâm của xạ thủ A là 0,8”. Nhƣ vậy, con số xác suất này có nguồn gốc từ thống kê. Điều này sẽ đƣợc thể hiện rõ ràng hơn, khi cho ngƣời học tiếp cận khái niệm xác suất