Một đặc điểm của bài toán trao đổi nhiệt với xi lanh và pít tông là trên bề mặt của nó đồng thời có nhiều biên trao đổi nhiệt khác nhau như bề mặt trao đổi nhiệt với khí cháy, bề mặt trao đổi nhiệt giữa pít tông với xi lanh, bề mặt trao đổi nhiệt với không khí v.v... Các bề mặt này có đặc tính trao đổi nhiệt khác nhau. Điều này làm phức tạp thêm khi xây dựng một mô hình hình
học và toán học phản ánh đầy đủ các đặc điểm trao đổi nhiệt của cặp pít tông - xi lanh động cơ. Hiện nay phương pháp tựa tĩnh (coi quá trình trao đổi nhiệt với tất cả các biên là không đổi cũng như nhiệt độ bề mặt là không đổi theo thời gian của một chu trình công tác) được áp dụng để tính toán trường nhiệt độ cho cặp pít tông - xi lanh động cơ. Như vậy, cần xây dựng mô hình toán tương ứng để sử dụng cho bài toán tựa tĩnh đối với cặp pít tông - xi lanh. Phương trình cân bằng nhiệt năng của một vật tổng quát, theo [3], [6], [12],
[16] như sau:
với q2 - lượng nhiệt sản sinh ra trong một đơn vị thể tích theo một đơn vị thời gian; V - thể tích vật thể;
Q3 - lượng nhiệt thoát ra khỏi hệ vật, [J];
Q4 - sự thay đổi nội năng của hệ vật, [J].
Lượng nhiệt nhận vào hệ vật Q1 và lượng nhiệt thoát ra khỏi hệ vật Q3 thông qua truyền nhiệt gồm có dẫn nhiệt và trao đổi nhiệt đối lưu, bức xạ.
Dòng nhiệt theo một hướng nhất định (hướng x chẳng hạn) trong quá trình dẫn nhiệt trong vật thể:
Trong đó: Ằr - hệ số dẫn nhiệt của vật liệu phụ thuộc vật thể theo hướng x; F - tiết diện truyền nhiệt vuông góc hướng truyền nhiệt; T - nhiệt độ; r - tham số chiều dài (hướng truyền nhiệt).
Dòng nhiệt đối lưu giữa bề mặt vật thể rắn và chất lỏng (khí) chảy bọc bề mặt đó:
Q1 + Q2 = Q3 + Q4 (2.39)
Trong đó:
Q1 - lượng nhiệt cấp cho hệ vật, [J];
Q2 - lượng nhiệt sản sinh ra trong lòng hệ vật, [J];
Q2 = q2V (2.40)
(2.41)
Trong đó: a - hệ số trao đổi nhiệt giữa bề mặt tiếp xúc của hai môi trường rắn-lỏng (khí); T - nhiệt độ bề mặt vật rắn; Tw - nhiệt độ chất lỏng (khí) chảy bọc.
Sự thay đổi nội năng của hệ vật có thể xác định:
/'ì _ T/ õT
Q4 = p C Ẽt (2.43)
Trong đó: p - khối lượng riêng; c - nhiệt dung riêng của vật liệu; V - thể tích vật thể; T - nhiệt độ tức thời của vật thể.
Sau khi biến đổi, ta có [3]: ? - V T = — õt c p — õ2 T õ2 T õ2 T ~õõẽ + ~õỹĩ + "õz7 + J q _ CP (2.44) Trong đó: a = — - hệ số khuếch tán nhiệt
Pc
Để giải bài toán này cần phải có các điều kiện ban đầu và điều kiện biên. Trong bài toán truyền nhiệt của động cơ diesel, do không có nguồn nhiệt bên trong pít tông và ống lót nên ta có thể viết lại hệ phương trình (2.44) như sau:
¥ = aV’T = —
õt c p
õ2 T õ2 T õ2 T
~ồxẽ + ặ ỹ ĩ + ã z 7 (2.45)