Toán phổ thông
1.2.1.1. Mạch kiến thức ẩn tàng ở tiểu học
Yếu tố mang mầm mống “lượng giác” trong toán tiểu học được tiếp cận khá đơn giản, dưới dạng hình học. Những yêu cầu thường chỉ là ước lượng, xác định, so sánh, tính toán những số đo góc và cạnh trong các hình phẳng cơ bản (hình vuông, hình chữ nhật, tam giác, ...) hay nói một cách tổng quát là ở những bài toán “giải tam giác” rất đơn giản. Đây cũng là con đường hình thành lượng giác từ hình học trong lịch sử Toán học của loài người. Tuy nhiên những tiếp cận ban đầu, sơ khai này là cần thiết để HS làm quen với nhu cầu không chỉ là đo lường, mà còn tính toán các góc, các cạnh, khai thác mối liên hệ giữa chúng trong bài toán giải tam giác về sau.
1.2.1.2.Mạch nội dung về hệ thức lượng trong tam giác ở môn Toán THCS
Toán 7
Mạch kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác được trình bày trong Chương VI. Tam giác và Chương VII Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác.
Toán 8
Nội dung về hệ thức lượng trong tam giác trực tiếp trình bày ở Chương VII. Tam giác đồng dạng. Ngoài ra, trong các chương V. Tứ giác và VI. Đa
giác. Diện tích đa giác, những kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác được ẩn vào trong những tính chất của các loại tứ giác, đa giác (bởi lẽ suy cho cùng thì ở đó người ta đều quy về làm việc với các tam giác).
Toán 9
Ở Toán 9, hệ thức lượng trong tam giác được đặt vào trường hợp tam giác vuông, trọn vẹn ở Chương 1 – Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Nhận xét:
Ngoài chương 1 trực tiếp xem xét hệ thức lượng trong trong tam giác vuông, ở Toán 9, hệ thức lượng trong tam giác còn được ẩn vào các tính chất khác khi đặt các tam giác, tứ giác, đa giác nội, ngoại tiếp đối với đường tròn.
Đồng thời, HS bắt đầu được tiếp xúc trực tiếp với lượng giác thông qua tỷ số lượng giác. Đây là những kiến thức nền tảng đầu tiên, cơ bản để xây dựng phân môn lượng giác ở trường phổ thông, làm tiền đề trực tiếp để xây dựng nội dung lượng giác môn Toán lớp 10 THPT.
Như vậy, ở đầu cấp THCS HS tiếp cận với một số hệ thức về lượng của các yếu tố cạnh và góc trong tam giác, tam giác đồng dạng. Đến cuối THCS thì tiếp cận hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ứng dụng hệ thức lượng vào một số dạng bài tập tính toán hình học (trực tiếp nhất là giải tam giác) và giải một số bài toán thực tế.
Có thể nói: Đây là những kiến thức nền tảng đầu tiên, cơ bản để xây dựng nội dung lượng giác ở trường phổ thông, làm tiền đề trực tiếp để tiếp tục học hệ thức lượng trong tam giác (lớp 10) và xây dựng chủ đề lượng giác ở môn Toán lớp 11 THPT.
1.2.1.3.Mạch nội dung “phát triển tiếp nối” của hệ thức lượng trong tam giác ở môn Toán THPT
Trong chương trình môn Toán THPT, học sinh được nghiên cứu rộng và sâu hơn về lượng giác - xem như là “phát triển tiếp nối” của hệ thức lượng trong tam giác. Cụ thể là:
Đại số 10:
§1: Cung và góc lượng giác
§2: Giá trị lượng giác của một cung §3: Công thức lượng giác
Đại số 10 Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức
lượng giác Ôn tập chương VI
§1: Cung và góc lượng giác
§2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác §3: Công thức lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
§4: Một số công thức lượng giác Đại số 10 – Nâng cao Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Ôn tập chương 6
§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ 0° đến 180°)
§2. Tích vô hướng của hai vecto
§3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hình học 10
Chương II. Tích vô hướng của
hai vecto và ứng dụng
Ôn tập chương II
§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ 0° đến 180°)
§2. Tích vô hướng của hai vecto
§3. Hệ thức lượng trong tam giác Hình học 10 – Nâng cao Chương II. Tích vô hướng của
hai vecto và ứng dụng
Nhận xét:
Dựa trên nền kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, người ta xây dựng những kiến thức cơ sở của lượng giác, đồng thời lồng ghép với ngôn ngữ véc tơ và tọa độ để nghiên cứu sâu hơn hệ thức lượng trong tam giác và ứng dụng vào bài toán giải tam giác một cách toàn diện hơn. Cụ thể là:
Lớp 10, HS được tiếp cận một số hệ thức khi học các công thức lượng giác (chương VI - Đại số 10), trong đó có một phần chương II (Hình học 10) liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác. Việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác chủ yếu vẫn là để minh họa cho tích vô hướng của hai véc tơ.
Đại số và Giải tích 11:
Hệ thức lượng trong tam giác phát triển từ lượng giác ở lớp 10 thành hàm số và phương trình lượng giác, tập trung vào chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác:
§1. Hàm số lượng giác - Bài tập §2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập (có thực hành giải toán trên MTBT) §3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Bài tập (có thực hành giải toán trên MTBT)- Ôn tập chương I
Nhận xét:
Đây là nội dung kiến thức và phương pháp toán học được lồng ghép, xuyên suốt chương trình môn Toán, nói riêng là với nội dung hình học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong khi đó, phạm vi ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải bài tập toán khá rộng rãi, phong phú. Có rất nhiều bài toán nhận dạng tam giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác hay và khó, không được giới thiệu trong SGK.