cao sử dụng mô hình hóa toán học
2.2.3.1. Mục đích biện pháp
Giúp GV xây dựng được các hoạt động phù hợp với việc phát triển NL MHH Toán học của học sinh thông qua các tình huống thực tế có độ khó tăng dần. Từ đó giúp GV phân hóa được NL Toán học nói chung và MHH Toán học nói riêng của từng HS có trong lớp và đưa ra các cách cụ thể để thúc đẩy sự phát triển của từng HS. Ngoài ra, việc xây dựng hệ thống bài toán như trên giúp HS phát triển NL MHH Toán học một cách tự nhiên, có hệ thống và không bị gò ép.
2.2.3.2. Nội dung a. Đối với GV
- GV xây dựng kế hoạch, dự án, ý tưởng liên quan đến phát triển NL MHH Toán học của HS liên quan đến chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” dựa theo hệ thống các bài toán thực tế từ cơ bản đến nâng cao.
- Hướng dẫn HS sử dụng thành thạo các dụng cụ đo trong thực tế (thước dây, giác kế…) để tìm ra các yếu tố thiết yếu của bài toán.
- Hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức đã học trong chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” đặc biệt là các bài toán giải tam giác vào các tình huống cụ thể.
b. Đối với HS
- Áp dụng thành thạo và nhuần nhuyễn các công thức vào các bài giải tam giác. Từ đó vận dụng các công thức vào các tình huống thực tế. Đây là biện pháp đầu tiên để HS có thể phát triển NL MHH Toán học vận dụng vào các bài toán thực tế sau này.
- Sử dụng thành thạo các công cụ đo khoảng cách và góc trong thực tế. - Xây dựng dữ liệu cần thiết trong các bài toán cụ thể.
2.2.3.3. Tình huống minh họa
Bài toán 1. Đo chiều cao của một cây bất kì có trong sân trường (khu
đô thị, quanh nhà…) của HS. Vì không thể đo chiều cao của cây trực tiếp nên HS sẽ thể hiện các NL MHH Toán học như sau:
(1) Đơn giản giả thuyết: Cây mọc vuông góc với mặt đất. (2) Làm rõ mục tiêu: Yêu cầu tính chiều cao của cây.
(3) Thiết lập vấn đề: Do không thể đo chiều cao trực tiếp nên bắt buộc phải áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
(4) Xác định biến, tham số, hằng số: Các số đo có được do HS sử dụng trực tiếp dây đo, thước đo góc trong thực tế. Khi đó, các số đo có được nhờ quá trình đo đạc bao gồm: chiều cao của người là 'h , Khoảng cách từ người đến gốc cây là
x, Đứng nhìn lên đỉnh cây thì hướng nhìn tạo với mặt đất góc α .
(5) Thiết lập mệnh đề Toán học: Đưa bài toán thực tế tìm chiều cao của cây thành bài toán giải tam giác.
(6) Lựa chọn mô hình: HS giải bài toán hệ thức lượng trong tam giác vuông.
(7) Biểu diễn mô hình thích hợp:
a x h' h C A F E B Hình 2.6 Ta có h h BC= +' .
Xét ∆CAB vuông tại C ta có: tanA BC BC x.tan
AC α
= ⇒ =
Khi đó h h x= +' .tanα
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn: trên thực tế có rất nhiều vật thể cần được đo chiều cao giống như cây. Vì vậy, bài toán có thể áp dụng được nhiều trong thực tế như đo chiều cao của tòa nhà, chiều cao của cây cột…
Minh họa cho Bài toán 1.
Giai đoạn 1. Toán học hóa
Sau khi đo đạc, HS thu thập được số liệu như sau: Chiều cao của người đo h' 1,7= ( )m
Khoảng cách từ người đến gốc cây là x=20( )m
Đứng nhìn lên đỉnh cây thì hướng nhìn tạo với mặt đất góc α =35o
Khi đó h h BC= +'
Hình 2.7 Giai đoạn 2. Giải bài toán
Xét ∆ABCvuông tại C:
( )
tanBAC BC BC AC.tanBAC 20.tan35o 14,004 m
AC
= ⇔ = = ≈
Khi đó chiều cao của cây
( )
14,004 1,7 15,704
h BF BC CF= = + ≈ + ≈ m
Giai đoạn 3. Thông hiểu bài toán
Từ bài toán đo chiều cao của cây, HS có thể vận dụng từ bài toán ban đầu vào các tình huống tương tự trong thực tế như đo chiều cao của một vật thể bất kì mà HS không thể đo trực tiếp. Ví dụ như: ngôi nhà, cây cột điện…
Bên cạnh đó HS sẽ nhận ra được hạn chế khi vận dụng mô hình toán học này đó là việc cần đo chiều dài từ chân vật thể đến vị trí đặt giác kế. Trong một số tình huống thực tế thì đây cũng là nhiệm vụ không thể thực hiện (đo chiều cao của một tòa nhà, đo chiều cao của ngọn núi…)
Giai đoạn 4. Đối chiếu thực tế
HS vận dụng mô hình đã được xây dựng ở trên để đo chiều cao của các vật thể gần gũi với cuộc sống hàng ngày của mình.
Bài toán 2. Đo chiều cao của một tòa nhà bất kì có ngoài sân trường
(khu đô thị, quanh nhà…) của HS.
Các năng lực MHH được thể hiện cụ thể như sau:
(1) Đơn giản giả thuyết: Tòa nhà xây dựng vuông góc với mặt đất (2) Làm rõ mục tiêu: Yêu cầu tính chiều cao của tòa nhà.
(3) Thiết lập vấn đề: Do không thể đo chiều cao trực tiếp của tòa nhà nên bắt buộc phải áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
(4) Xác định biến, tham số, hằng số: Sau khi đo đạc, HS có được số liệu như sau Chiều cao của giác kế b m( ).
(5) Thiết lập mệnh đề Toán học: Tìm chiều cao của tòa nhà khi biết chiều cao của giác kế và góc đo được khi sử dụng giác kế
(6) Lựa chọn mô hình: theo bài toán 2.1 HS chọn mô hình giải bài toán tam giác vuông. Khi đó, bài toán sẽ không giải được tiếp khi HS không thể đo khoảng cách từ tòa nhà đến chân giác kế. Vì vậy HS cần phải xây dựng một MHH Toán học mới để đáp ứng yêu cầu thực tế này
HS sử dụng 2 giác kế đặt cách nhau a m( ). Tại vị trí A, HS đo được số đo α .
Tại vị trí B, HS đo được số đo β
Khi đó, HS tìm chiều cao của tòa nhà khi biết chiều cao của 2 giác kế, khoảng cách giữa 2 giác kế và góc đo được khi sử dụng giác kế.
Hình 2.8 Mục tiêu h h FB= +' Xét : sin sin EF DE EDF EDF DFE ∆ = ( ) .sin .sin sin sin EF DFE x DE EDF α β α ⇒ = = − Xét ∆HBD vuông tại H ta có: ( ) .sin
sin .sin .sin
sin HD x HD DE DE α β β β β α = ⇒ = = − Khi đó ( ) .sin ' .sin sin x h h FB α FB β β α = + = + −
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn: Việc đo chiều cao của các vật thể, công trình kiến trúc… hiện tại trở nên dễ dàng hơn với mô hình toán học của Bài toán 2.
Minh họa cho Bài toán 2.
x h h' D B C F H A E
Giai đoạn 1. Toán học hóa
Sau khi đo đạc, HS có được số liệu như sau Chiều cao của giác kế h' 1,3= ( )m
Khoảng cách giữa hai lần đặt giác kế là AB=12( )m Tại vị trí A, HS đo được số liệu HED = =α 49o
Tại vị trí B, HS đo được số liệu HFD= =β 35o
Khi đó h h HC= +'
Giai đoạn 2. Giải bài toán
Hình 2.9
Xét ∆DEFta có:
49o 35o 14o
EDF = − =α β − =
Áp dụng định lý hàm sin cho ∆DEFta có:
sin sin sin
DE EF DF EDF DEF β = = .sin sin EF DE EDF β ⇔ =
Xét ∆HDE vuông tại H ta có
.sin
sin .sin .sin
sin DH EF DH DE DE EDF β α = ⇔ = α = α
( ) 12.sin 35 .sin 49 21,47 sin14 o o o DH = ≈ m
Giai đoạn 3. Thông hiểu bài toán
HS hiểu được lời giải của bài toán. Ngoài ra HS có thể rút ra kết luận: trên thực tế có rất nhiều vật thể cần được đo chiều cao giống như tòa nhà trong bài toán, khó khăn trog việc đo đạc là chúng ta không thể đo khoảng cách từ chân vật thể cần đo đến chân của giác kế. Vì vậy mô hình của bài toán 2.2 mang tính khái quát hơn.
Giai đoạn 4. Đối chiếu thực tế
Với việc áp dụng MHH của bài toán 2.2, HS hoàn toàn có thể đo chiều cao của một vật thể bất kì như tòa nhà cao tầng, ngọn núi…
Bài toán 3. Hai ngôi nhà A và C bị ngăn cách bởi một con sông. HS
đóng vai trò là một kĩ sư, cần xây một chiếc cầu để nối hai bờ của con sông này. Việc đầu tiên cần làm là khoảng cách từ ngôi nhà A đến ngôi nhà C
Hình 2.10
Các NL MHH Toán học được thể hiện cụ thể bao gồm
(1) Đơn giản giả thuyết: Hai ngôi nhà và con sông đều nằm trên một mặt phẳng
(2) Làm rõ mục tiêu: Tính khoảng cách giữa hai ngôi nhà.
(3) Thiết lập vấn đề: Do không thể tính được khoảng cách trực tiếp của hai ngôi nhà nên bắt buộc phải áp dụng hệ thức lượng trong tam giác. Từ đó cần thêm một vị trí B đặt giác kế để tạo ra một tam giác.
(4) Xác định biến, tham số, hằng số:
Sau khi đo đạc, HS có được số liệu như sau: độ dàiAB, ,
CAB =α CBA= β
(5) Thiết lập mệnh đề Toán học: Tính độ dài một cạnh của tam giác khi biết 2 góc và độ dài một cạnh còn lại của tam giác.
(6) Lựa chọn mô hình: HS lựa chọn mô hình giải bài toán vận dụng hệ thức trong tam giác.
(7): Biểu diễn mô hình thích hợp
Hình 2.11
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC ta có:
( )
.sin 180 .sin
sin sin sin sin
o AB A C AB AC AB B AC C B C C − − = ⇒ = =
(8) liên hệ lại với thực tế: Trong thực tế có rất nhiều tình huống cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm. Việc xây dựng MHH Toán này học sẽ giúp HS giải quyết nhiều bài toán trong cuộc sống.
Minh họa cho Bài toán 3. Giai đoạn 1. Toán học hóa
Sau khi đo đạc, HS có được số liệu như sau
Khoảng cách AB=45m α =CAB =44 ;o β =CBA=63o
Hỏi khoảng cách giữa hai ngôi nhà (tính AC)
Hình 2.11 Giai đoạn 2. Giải bài toán
Xét ∆ABC: 180 180 180 44 63 73 O O O O O O A B C C A B + + = ⇔ = − − = − − =
Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác ABC ta có:
sin sin sin
AB AC BC
C = B = A
( )
.sin 45.sin 73
48,29
sin sin sin sin 63
o o
AB AC AB B
AC m
C = B ⇔ = C = =
Giai đoạn 3. Thông hiểu bài toán
HS hiểu bài toán và lời giải của bài toán. Từ đó HS hiểu được ý nghĩa của mô hình hóa không chỉ được vận dụng khi đo chiều cao của một vật thể mà còn vận dụng để đo khoảng cách giữa hai vật thể trong các tình huống thực tế.
Giai đoạn 4. Đối chiếu thực tế
HS vận dụng vào các bài toán đo khoảng cách trong thực tế.
Dựa vào các bài toán từ 2.1 đến 2.3, chúng tôi đưa ra một số bài toán có thể vận dụng để phát triển NL MHH Toán học trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” cụ thể như sau
Bài toán 4. Một ô tô đi từ A và C nhưng giữa A và C là một ngọn núi
cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB=15km, BC =10km và góc
105o
B= biết rằng cứ 1km đường ô tô phải tốn 0,5 lít dầu Diezen.
a) Tính số dầu ô tô phải tiêu thụ khi chạy từ A đến C mà phải qua B. b) Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C thì ô tô chạy trên con đường này tiết kiệm được bao nhiêu tiền so với chạy đường cũ biết rằng 1 lít dầu giá 18.710 nghìn đồng.
Nhận xét. Bài toán trên có sử dụng định lý cos khi tính chiều dài quãng đường AC. Đồng thời, nó cho thấy một thực tế rằng nếu trong quy hoạch giao thông sử dụng các công nghệ tiên tiến hiện đại để tạo ra các con đường thẳng nối giữa các thành phố, các tỉnh hay các địa điểm khác nhau sẽ giúp giảm chi phí đi lại, tiết kiệm thời gian, tiết kiệm nhiêu liệu từ đó giúp giảm khí thải từ phương tiện giao thông, giảm tai nạn giao thông,…Có thể nêu ví dụ cụ thể như là: Đường hầm Hải Vân, các cây cầu bắc qua sông,đường hầm vượt sông Sài Gòn đường bay vàng Hà Nội Sài Gòn,… mang lại hiệu quả kinh tế rất cao.
Bài toán 5. Một hồ nước nằm giữa các con đường AB, BC, CA. Biết
300 , 450
AB= m BC = mvà AC=350m. Bạn Hùng đứng trên bờ hồ tại điểm M nằm ở trung điểm BC. Bạn muốn bơi qua hồ đến vị trí điểm A bên kia hồ để về nhà. Bằng các kiến thức đã học em hãy tính toán và đưa ra lời khuyên cho bạn Hùng là có nên bơi qua hồ không. Biết rằng bạn hùng bơi tối đa được 200m.
Hình 2.12
Nhận xét. Bài toán 5 là bài toán rất hữu ích trong đời sống, nó là bài toán tìm các giải pháp, các con đường đi sao cho oan toàn và tối ưu, vừa mang tính kiến thức vừa mang tính rèn luyện kỹ năng sống cho học sinh.
Bài toán 6. Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C
của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30'o . Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Bài toán 7. Để đo chiều cao từ chân núi Lũng Cú đến đỉnh Cột Cờ Lũng Cú ở Hà Giang người ta làm như sau. Đứng ở vị trí A dùng giác kế ngắm lên đỉnh cột cờ tạo với phương nằm ngang AC một góc 300 đứng tại vị trí B trên AC ngắm lên đỉnh cột cờ tạo với phương nằm ngang một góc 36030’. Hãy tính chiều cao từ chân núi đến đỉnh cột cờ Lũng Cú biết rằng AB=250m và chiều cao từ chân đến mắt của người ngắm là 1,6m.
Hình 2.14
Bài toán 8. Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm được một
mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình tròn bị vỡ. Họ muốn làm một chiếc đĩa mới phỏng theo chiếc đĩa này. Hãy tìm bán kính của chiếc đĩa hình tròn đó.
Hình 2.16
Nhận xét. Bài toán này có ý nghĩa lớn trong thực tế. Bài toán này không chỉ phục vụ cho ngành khảo cổ học mà còn có thể dùng trong công nghiệp thực phẩm (Chế tạo hộp đựng bánh qui, chế tạo bánh quy theo mẫu là 1 phần bánh qui), trong công nghiệp chế tạo máy (làm lại phần bị hỏng của bánh xe, bánh lái tàu, …)
Bài toán 9. Ba điểm M, N, P tạo thành một tam giác có
360 , 410
MN = m MP= mvà NP =680m. Q là một điểm nằm trên đoạn NP. Người ta kéo một đường điện từ M đến N rồi kéo từ N đến Q hết 600 m dây điện. Nếu kéo đường dây điện chạy thẳng từ M đến Q thì khi đó sẽ tiết kiệm được bao nhiêu m dây điện?
Nhận xét. Bài toán 9 là những bài toán có một số nội dung thực tiễn nhằm cho học sinh biết vận dụng định lí cosin. Trong hai bài toán trên học sinh làm quen với những vấn đề về lợi ích kinh tế.
Bài toán 10. Tam giác Bermuda còn gọi là Tam giác Quỷ là một vùng
biển bao la nằm về phía tây Đại Tây Dương và đã trở thành nổi tiếng nhờ vào nhiều vụ việc được coi là bí ẩn mà trong đó tàu thủy, máy bay hay thủy thủ đoàn được cho là biến mất không có dấu tích. Nó được xác định là phần diện tích tam giác có ba đỉnh là tại ba điểm ở ba vị trí là Florida, Puerto Rico và quần đảo Bermuda. Hãy tính diện tích tâm giác này biết: Khoảng cách giữa Florida và Puerto Rico là 1938,89km, Khoảng cách giữa Florida và Bermuda