Các đặc trưng của tư duy thuật tốn trong chủ đề phương trình và hệ

8. Bố cục của luận văn

1.2.2. Các đặc trưng của tư duy thuật tốn trong chủ đề phương trình và hệ

bỏ túi).

- Giải được một số bài tốn thực tế đưa về việc lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.

- Biết dùng máy tính bỏ túi để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.

1.2.2. Các đặc trưng của tư duy thuật tốn trong chủ đề phương trình và hệ phương trình phương trình

Từ những vấn đề lý luận về tư duy, tư duy tốn học, tư duy thuật tốn; Từ nội dung của chủ đề phương trình, hệ phương trình. Chúng tơi xác định một số đặc trưng của tư duy thuật tốn trong chủ đề phương trình và hệ phương trình trong đại số 10 – THPT :

a) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn giải bài tốn trong chủ đề phương trình và hệ phương trình cho trước. Cĩ thể phát biểu một số quy trình giải tốn PT, HPT thành những thuật tốn dưới dạng ngơn ngữ tự nhiên và khả năng thực hiện các quy trình đĩ, từ đĩ giúp HS nắm vững các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy trình.

Ví dụ 1.5: Thuật tốn giải phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a0) 1. Xác định các hệ số a b c, , .

2. Nếu a0 thì yêu cầu bài tốn khơng đảm bảo nên kết thúc thuật tốn. 3. Nếu a0 thì tính giá trị  b24ac (hoặc  ' b'2ac)

3.1. Nếu  0 thì phương trình vơ nghiệm. Kết thúc thuật tốn.

3.2. Nếu  0 thì phương trình cĩ nghiệm kép 1 2

2 b x x a    Kết thúc thuật tốn.

3.3. Nếu  0 thì phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 1,2

2 b x a     Kết thúc thuật tốn.

22

Áp dụng: Giải các phương trình sau: i) 3x2 2x 1 0

ii) x22x 1 0 iii) 3x22x 1 0

Giải i) 3x2 2x 1 0

a3,b 2,c1;   8 0. Phương trình vơ nghiệm. ii) x2 2x 1 0

a1,b2,c1;  0. Phương trình cĩ nghiệm kép x1  x2  1 iii) 3x22x 1 0

a 3,b2,c1;  160. Phương trình cĩ hai nghiệm

1 1; 2 1 3

x  x 

b) Cĩ khả năng phân tích quá trình giải bài tốn phương trình, hệ phương trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định. Thực hiện các thao tác đĩ khơng chỉ đối đối với thuật tốn mà cả những bài tốn cĩ tính chất tựa thuật tốn.

Ví dụ 1.6: Quy trình giải phương trình AB Bước 1: Đặt điều kiện B0

Bước 2: Bình phương 2 về đưa về dạng A B 2(1)

Bước 3: Giải phương trình (1), tìm nghiệm, so sánh với điều kiện Bước 4: Kết luận nghiệm

Quy trình này cĩ hiệu quả với dạng phương trình: ax b cxd

c) Khái quát một quá trình giải bài tốn phương trình, hệ phương trình trên một số bài tập cụ thể của chủ đề thành một quá trình giải bài tốn trên lớp các bài tập. Thể hiện ở khả năng sử dụng những quy tắc suy đốn, tương tự hố, phân tích tổng hợp và so sánh, khả năng tìm ra đặc điểm chung về hình

23

thức, nội dung của những dạng bài tốn đơn giản, từ đĩ xây dựng thuật tốn cho một số dạng tốn tổng quát.

Ví dụ 1.7: Từ việc giải các phương trình bậc nhất cụ thể: 3x 8 0; 5 0

x

   ; 0.x 8 0; 0.x0 xác định cách giải phương trình bậc nhất tổng quát 0

ax b  (1)

Hướng dẫn HS thực hiện: Mục đích chính của bài tập này là cho HS luyện tập hoạt động (T3). Mục đích này thể hiện ở yêu cầu xác định cách giải phương trình (1), nhưng giải các phương trình là bước chuẩn bị, là cơ sở để thực hiện yêu cầu bài tốn. HS sẽ khơng khĩ khăn lắm khi giải các phương trình, nhưng sẽ gặp lúng túng khi xác định cách giải phương trình (1). Khi đĩ tuỳ thuộc vào diễn biến tình hình HS mà đặt ra những câu hỏi gợi ý như sau:

- Về nghiệm của phương trình (1) cĩ thể chia làm mấy trường hợp, đĩ là những trường hợp nào ?

(Cĩ 3 trường hợp: Cĩ 1 nghiệm duy nhất, vơ số nghiệm, vơ nghiệm)

- Trong từng trường hợp, số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào điều kiện nào?

- Hãy nêu các bước giải phương trình ax b 0 một cách hồn chỉnh? Bước 1: Xác định a b, .

Bước 2: Nếu a0 thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất x b a

  .

Nếu a0,b0 thì phương trình vơ nghiệm. Nếu a0,b0 thì phương trình cĩ vơ số nghiệm.

Dạy học khái quát hố như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trường hợp riêng (nghiệm duy nhất, vơ số nghiệm, vơ nghiệm).

d) Mơ tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động trong quá trình dạy và học chủ đề phương trình, hệ phương trình. Tức là khả năng diễn đạt ngơn ngữ (tự nhiên, tốn học) để mơ tả chính xác một quá trình giải bài tốn. Cĩ khả năng diễn đạt quy trình đã học, đã biết bằng nhiều cách khác nhau.

24

Ví dụ 1.8: Trình bày các cách phát biểu của một quy trình nào đĩ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x 1 m (*) .

- Bước 1: Xem số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị: y 2x1 ( )d và y = m ( ')d

- Bước 2: Vẽ đồ thị (d)

+ Vẽ đồ thị ( ) :d1 y2x1

+ Giữ nguyên phần đồ thị (dn) của ( )d1 1 2

x 

+ Lấy đối xứng qua Ox phần cịn lại ( )d1 được (dm). Khi đĩ phần đồ thị ( )d là hợp của (dn) và (dm).

- Bước 3: Dựa vào đồ thị ( )d biện luận số giao điểm của đường thẳng '

( )d

với đồ thị ( )d .

+ m0 : Phương trình (*) vơ nghiệm. + m0 Phương trình (*) cĩ 1 nghiệm. + m0 Phương trình (*) cĩ 2 nghiệm. Hình 1.1 2 -2 2 -2 x y y=m 1 -1 -1 1 O

25

e) Xác định quy trình tối ưu để giải quyết một nội dung lý thuyết hay các dạng bài tập trong chủ đề phương trình, hệ phương trình. Thể hiện ở khả năng so sánh những quy trình khác nhau thực hiện cùng một vấn đề và phát hiện ra quy trình tối ưu.

Ví dụ 1.9: Giải phương trình sau: 2 3x 2 2x 1 1 (x)

Yêu cầu HS thực hiện, sau đĩ hướng dẫn HS so sánh và tìm ra cách giải tối ưu cho bài tốn.

* Lời giải 1: Điều kiện: 2

3

x

Đặt a 3x2 ;b 2x1 (a0;b0) a2 3x2 ;b2 2x1; 2a23b2  1

Mặt khác PT đã cho tương đương với 2a b 1. Ta cĩ hệ PT:

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3(4 4 1) 1 10 12 2 0 a b b a b a a b a a a a a                             2 1 1 3 ( , ) (1;1); ; ( 1)(5 1) 0 5 5 b a a b a a                  Loại trường hợp ( ; ) 1; 3 5 5 a b      Với a  b 1 3x 2 2x   1 1 x 1 PT đã cho cĩ nghiệm duy nhất x1

- GV hướng dẫn HS nêu ra quy trình giải tốn như sau:

f x( ) g x( )m (x) (1) Bước 1: Tìm điều kiện của PT.

Bước 2: Đặt a f x( ) ;b g x( ) (a0;b0) . Bình phương các ẩn phụ để khử căn thức, viết lại PT (1) theo ẩn a b2, 2.

Bước 3: Lập hệ phương trình gồm hai phương trình được viết lại từ phương trình (1) theo ẩn a b, và a b2, 2.

26

Bước 4: Giải hệ phương trình tìm nghiệm a b, . Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Bước 5: Đồng nhất nghiệm của hệ phương trình và căn thức giải tìm nghiệm của phương trình (1).

Bước 6: Kết thúc.

* Lời giải 1: Điều kiện: 2

3

x PT đã cho tương đương với:

2 3x2 2x  1 1 12x 8 2x2 2x 1 5x 4 2x1 2 2 4 4 1 5 5 25 40 16 2 1 25 42 17 0 x x x x x x x x                      

Đối chiếu điều kiện nhận được nghiệm x1

- GV hướng dẫn HS nêu ra quy trình giải tốn như sau:

f x( ) g x( )m (x) (1) Bước 1: Tìm điều kiện của PT.

Bước 2: Biến đối phương trình về dạng f x( ) g x( )m và bình phương hai vế.

Bước 3: Thu gọn phương trình đưa về dạng AB và giải tìm nghiệm. Bước 4: Kết thúc.

Lời giải 2 cĩ số lượng phép biến đổi ít hơn, và mỗi phép tính đều thực hiện nhanh hơn, HS cĩ thể thực hiện nhẹ nhàng và thậm chí cĩ thể nhẩm được. Nên quy trình giải bài tốn ở lời giải 2 tối ưu hơn.

1.3. THỰC TRẠNG VỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 Ở TRƯỜNG THPT